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1、 新疆师范大学2012届本科毕业论文 2012届本科毕业论文高中数学解题教学研究 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学08-1班 学生姓名： 指导教师： 答辩日期：2012年5月4日 新疆师范大学教务处 目 录1 引言42 数学解题方法4 2.1 分析与综合4 2.1.1 分析法4 2.1.2 综合法7 2.1.3 分析法和综合法的应用9 2.2 特殊化方法与一般方法9 2.2.1 特殊化方法9 2.2.2 一般化方法11 2.2.3 特殊化与一般化的关系12 2.3 类比与化归13 2.3.1 化归13 2.3.2 类比14 2.4 函数与方程16 2.5 数形结合173 小结18
2、 参考文献19致谢20 高中数学解题教学研究摘要:在数学解题教学中研究数学解题方法尤为重要，本章主要介绍了数学解题和数学问题解决的分析与综合、特殊到一般等基本的数学解题方法及基本解题思想方法。教师在数学解题教学中应该注意这些方法的综合应用及数学思想方法的渗透以提高学生的解题能力。关键词:分析与综合；特殊化与一般化；类比与化归；函数与方程；数形结合An Analysis of Mathematics Question-Resolved Teaching in High schoolAbstract: The research of methods is the point in mathemat
3、ics question-resolved teaching. This paper mainly introduces the analysis of mathematical problem solving, and some comprehensively,specially and ordinarily mathematical problem solving methods as well as their respectively thinking methods. Teachers should focus on comprehensive application of thes
4、e methods and penetrating thinking methods to improve students ability to solve mathematics problems.Key words: Analysis and synthesis; The particular and the general; Analogy and return; The function and equation; The number shape union翻译结果重试抱歉，系统响应超时，请稍后再试 支持中英、中日在线互译 支持网页翻译，在输入框输入网页地址即可 提供一键清空、复制
5、功能、支持双语对照查看，使您体验更加流畅翻译结果重试抱歉，系统响应超时，请稍后再试 支持中英、中日在线互译 支持网页翻译，在输入框输入网页地址即可 提供一键清空、复制功能、支持双语对照查看，使您体验更加流畅1 引言大量事实和调查数据表明，随着数学内容的逐步深化，对于高中生而言，数学学习的难度越来越大，而社会、学校以及家庭也给学生形成无形的压力，使得学生的学习成绩逐渐下降。为了减轻学生学习数学的负担，我认为教师在数学解题教学中，要讲究科学的数学解题方法，不断渗透数学解题思想，使学生在解题中灵活运用数学方法解题，以提高学生的数学解题能力。2 数学解题方法数学解题方法即在数学解题中用数学语言表述事物
6、的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。高中数学是一门重要的基础课程，它不但能够提高学生的逻辑思维能力，还可以提高学生数学水平的运用能力。在数学解题教学中，让学生充分掌握、熟练解题方法，远比做100道题更加有效。在高中数学解题教学中研究数学解题方法尤为重要，数学中常用的方法，主要是指在数学教学及解决数学问题时常用到的方法，尤其是指初等数学的教学及解决问题时经常用的方法。这里主要介绍了数学教学和数学问题解决的分析与综合、特殊化与一般化、类比与化归、函数与方程和数形结合等常用的数学解题方法及数学解题基本思想方法。 2.1 分析与综合分析与综合是人们在解决和
7、处理问题时常用的一种重要的思维方式。在高中数学中分析与综合法有着特殊的表现形式。2.1.1 分析法分析法是把研究对象分解成各个组成部分、各个不同的因素、各种不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而深刻地认识和理解事物的一种方法。在数学中，我们处理问题时经常采用这种分析的思维方法。在这里所说的数学中的分析法特指从结果追溯到其产生原因的思维方法，即数学中的分析法是从所需论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步逆推，从而达到已知条件。用通俗化的语言描述就是，要论证结论成立，即应该证明出什么结论，要证这个新的结论，又需要证明出什么结论，以此类推从而得出题目当中的已知条件。其中的思维过程是一个
8、逆推的过程，这种思维可以说是一种逆向思维，所以这种分析法又被称为执果索因法。作为数学的教学，这种执果索因的分析法可以引导我们进行数学实践。在讲述、分析、讨论一个数学问题时，要学会从已有或已知的结论方面着手，然后根据数学内容的规律和学生固有的思维方式，把问题讲清楚并且使学生掌握和运用这样的思维方式，从而得到严谨的复合逻辑的推理过程。在这种意义上，执果索因的分析方法对我们的数学教学，尤其对初等数学的教学有指导和启发的意义。作为一种特定的推理方法，人们常运用分析法来寻找解题的思路，特别是用它来解实际应用题、证明几何题和证明三角函数恒等式及不等式。当分析法的推理可逆时，它的每一步又是一种证明的方法。分
9、析法往往用于代数恒等式及不等式的证明。有时人们也把它称为逆证法。例1 若为互不相等的正数，求证： 解题思路：运用分析法，假设不等式成立，我们从结论成立的条件把不等式进行变形整理（有时要多次变形以便找出能够解决问题的分解形式）。这种变形使得我们最容易想到关于均值不等式的知识，则有那么，原不等式作为一个整体，就可分解成以下三个部分，这三个部分按题设条件是成立的，所以原不等式成立。这种解题方式可以用图表示如下：例2 已知都是正数，求证：解题思路：运用分析法，假设结论成立，可以发现由是正数，有整理这个分析法的思维过程，写出证明步骤。证明：因为都是正数。所以 将以上四个等式求和，可得， 所以命题得证。例
10、3 已知三内角成等差数列，求证三边满足： 解题思路：运用分析法，假设结论成立，从结论开始进行变形，并且在适当的时候运用等差数列的条件。设 所以 因为成等差数列，所以要导出式，由余弦定理：把整个过程加以整理，就可以得到完整的证明过程。对于以上几例，都是关于代数恒等式或不等式的证明，对于此类问题，我们仅仅根据题目的已知条件去证明结果成立，会比较困难，这时候我们往往假设所要证明的结果是成立的，将结果进行变型加以分析和整理，再根据题目已知条件，问题就迎刃而解。在解题教学中，教师要强调这种执果索因也就是进行逆证的分析方法，这样，学生在面对这样的问题时就不会那么束手无策了。分析法作为数学中常用的方法，它在
11、教学及解决问题时，对我们至少在两个方面有积极的作用。首先，现代的数学教育都强调要提高学生的数学思维能力。分析法作为一种思路和一种方向明确的数学思维方式，可以使学生运用已有的数学理论、知识、方法，按执果索因的方式积极主动地探索和解决问题。其次，在许多数学教育的研究中，有关数学素质的研究涉及数学技能的分析。尽管各种不同的研究方法有所差异，但涉及的数学技能不仅包括数学思维的能力还包括数学论证的能力（有的研究还要求数学建模、提出和解决问题、使用观察、猜想等诸多方面的能力）。分析法作为一个明确的思维方式、作为一个清晰表述数学问题由结论向已知条件的发展变化，表现了一种明确的数学论证能力。因此，可以认为，分
12、析法的数学可以帮助提高学生的数学能力。2.1.2 综合法综合法是把研究对象的各个部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑，从而在整体上认识和掌握事物的本质和规律的一种思维方法。综合法的思维特点是从事物的各部分、方面、因素的特点和属性出发，寻找它们的内在联系，然后再去认识事物的整体规律。数学中的综合法，是指从已知的定义、条件出发，逐步推演从而导致所求结论的一种方法。这是一种由因索果的方法。作为数学的一种特定形式，综合法可以较好地展示数学思路、方法及理论构建的逐步发展过程。作为数学问题的解决方法，综合法既可以用来寻找解题思路，又可以作为证明的方法，同时也是一种应用广泛的推理或证明的方式。由于分析法也
13、称为逆证法，所以，综合法思维的逆过程就是分析法的思维过程。当解决一个具体的数学问题时，采用分析法还是综合法要由具体的实际问题来确定。有时还可能两者综合应用，既用分析法也用综合法。综合法可用如下框图表示：例4 设为任意三角形的三边的长，求证：解题思路：运用综合法，从已知条件向结论逐步分析。由与的条件及的出现，得到：我们发现，要达到的结论应该证明：再分析条件，为任意三角形三边的长，显然有 由于所证明的结果中有出现，对以上不等式进行变型，得到 同理， 将三式同时相加，得到又因为对任意恒有再将此三式相加，得到，综上所述，即得对上述从已知条件分析得到的过程加以整理，即运用综合法得到了正确的论证。在应用综
14、合法进行解题时，也往往先应用到分析法，先将我们所论证的结果当成已知，对其进行分析变形，化为比较简单的结论，再根据题目的已知条件向这个结论逐步分析，从而得到论证。在数学教学中，教师不能仅仅只是对学生讲述这道题证明的本身，而是要引导学生发现问题的规律，让学生去体会证明这类问题的过程和方法。2.1.3 分析法和综合法的应用由数学中分析法和综合法的思维方式可以发现，这两种方法是沿着两个完全相反方向进行论证的。由于思维的方向不同，所以两种方法的应用各有所重：分析法偏重于探求解题思路，从结论中追溯问题的本身，比较容易达到目的；综合法以直接、有序的形式在解题表述中占有优势。但是作为思维的方式，两者各有所长，
15、在实际应用中有时无法截然分开，所以在具体解决数学问题时，两种方法常常交替地运用。中学的数学教材中，大都是分析法和综合法的联合运用，教学时应弄清楚数学问题、数学例题所内含的思维方式。从分析这些思路的过程中，说明使用的分析法或综合法的方式，从而使数学问题的论证、运算以及表示都有一个清晰的表述过程。2.2 特殊化方法与一般方法众所周知，“从特殊到一般”与“一般到特殊”是人类认识客观世界的一个普遍规律。特殊与一般是对立统一的。数学也被纳入到这一规律的模式之中。数学教育家波利亚说：“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉。”一般化方法和特殊化方法是数学中常用的两种重要方法
16、。2.2.1 特殊化方法一般性总是寓于特殊性之中，从特殊的性质有可能推出一些一般的规律。人们的认识通常也是从特殊到一般，因为前者往往比后者更容易认识。在数学解题中，往往是先解决特殊问题，然后解决一般问题。特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子，正如波利亚所说：“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”也就是说，当数学问题的一般性不十分明显时，我们从特殊的数、形的数量关系和位置关系入手，从而找到解题方法或构成解题起点。波利亚在他的著作数学与猜想中给出了一个“古老的然而非常有名的难题”。例5 两人轮流在圆桌上摆硬币（大小相同），每次摆一个，每个硬币不能重叠，也
17、不能有一部分在桌子的边缘以外。这样经过充分多次以后，谁先摆不下硬币就算输。试问先摆的人还是后摆的人能胜？分析 首先考虑特殊情形，假如硬币恰如圆桌一样大小，那么先摆者必胜。这种特殊情形给我们启示先摆的人可以把第一枚硬币放在桌子的中心，因为圆桌是中心对称的，以后不论对方把硬币放在何处，先摆的人总把硬币摆在与其中心对称位置。这样便可知道，先摆者必胜。特殊化是把研究对象或问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形进行考察的思维方法。由于一般性总是寓于特殊性之中，所以要研究某一对象或问题时，就可以先考虑它的若干个特殊情形，利用各个特殊情形中包含着的共性和个性，通过比较、归纳、分析和综合来把握原有对象或问题的
18、有关性质。一般情况下，一般问题的特殊化方法大致可以分为两种类型：1）把问题简单化当一个问题比较复杂而看不清楚时，可先把问题进行简化。将问题简化，有助于我们找到解决问题的突破口。把问题简化包括：以简化的问题为起点和由简化的问题提供对比等。2）从特殊对象看问题从特殊对象看问题包括：着眼极端情形（以某种数量达到极端值为对象，把数值的极端性质作为分析问题的出发点）；考虑特殊对象（从具有其他特殊性质的对象入手考虑问题）；考察上下界限（考虑某种数值的上下界限）。将问题的一般特殊化用框图表示：待解的一般性问题问题的特殊情形 特殊化一般性问题的解特殊性问题的解 一般化例6 求证：（1）（2）在的展开式中，二项
19、式的奇数项的系数之和等于二项式的偶数项的系数之和。本例题中都涉及到二项式定理，我们显然要运用二项式定理这一知识点。而二项式定理中二项式形式是冗长的，其中又有很多未知量，如何将我们所要证明的结论变得简单呢？这两个小题的证明，就是将二项式定理特殊化而实现的。事实上，在二项式 中，令，则可得到第（1）题的结论；令则可得到第（2）题的结论。这两小题的结论，显然是二项式的特殊情形，然而它们是颇具价值的，这两个有价值的结论从形式上到内容上都比原来简单了许多，也都比一般结论前进了一步，所以将一个一般化的数学问题转化为特殊化问题时，特殊化的这种解题方法可引导我们发现新内容。在解决很多数学问题时，我们经常可以采
20、用这种特殊化的方法，使复杂的问题变得简单。2.2.2 一般化方法一般化方法又称为普遍化，它是把研究对象或问题从原有范围推广到更大范围进行考察的思维方法。它把局部、特殊的数学问题上升到整体、普遍的数学问题，再根据问题本身特性，引出数量关系或位置关系。所以它是特殊的概括，但它又不等同于概括。概括的特点是把若干个事物或对象的共同点归结在一起，而一般化特点是将个别事物或对象推广到更普遍的情形，概括是从若干个事物或对象中发现它们的共同规律，是寻求同一性的思维方法，而一般化则是将某一事物或对象的有关性质加以保留，而将其置于更大范围的相关事物或对象中加以考察，是利用事物之间相似性的思维方法。例如，我们从研究
21、二维空间的问题过渡到维空间的问题，就是一般化；但只考虑二维空间过渡到三维空间问题，就不是一般化。例7 求经过和直线相切于点的圆的方程。解题思路：我们运用两次一般化来进行求解。第一次一般化：把切于点看成点圆由此，看作直线与点圆有公共点。第二次一般化：过直线与点圆公共点的圆系方程为在这个圆系方程中寻找过点的特殊的圆，为此把代入上式，得由此可得所求方程一般化方法在数学研究和数学教学中的作用：1） 数学命题的推广把一个数学命题的某些特殊条件一般化，从而得到更普遍的结论，就是数学问题的推广。它是借助于一般性问题来解决特殊问题的“已进求退”的思维方法。我们知道，一个数学命题的条件改变了，则其结论也会相应的
22、改变。从上述可看到，把一个命题的条件一般化，可以得出新的结论。但是，我们应该知道，不是所有的推广都是有意义的，有的推广是没有什么价值的，就如同用水把酒冲淡。2） 通过一般化来解决问题当一些特殊问题不易直接求解时，我们不妨把它一般化。若一般化后的问题是易于解决，则原特殊问题也就随之解决。这种方法就是所谓的“特殊一般特殊”思想方法。这种方法是否有效，关键在于原问题的一般化命题是否较易解决。这种方法，可用框图表示：待处理的特殊问题原问题的一般化问题 一般化原问题的解一般性命题的解 特殊化例8 求证：解题思路：将待证明的不等式的化为一般形式 因为两边乘方次，一般化问题便得到解决。此时只需令就使得原问题
23、获证。本例题说明了某些问题的解决可先将其一般化，解决一般性问题可能比解决特殊性问题更容易。当然，对于本例题而言，利用“分解、合成”来证明也是比较容易的，即由将这个式子左右两边分别相乘即可得证命题成立。这样的证明题形式看起来比较简单，直接证明起来却往往难于下手。所以对于这样的题目我们可先观察其中蕴涵的关系式，然后找到其中的一般关系，尝试一般关系是否比较容易解决，进而找到特殊关系。在解题教学中，教师应适当采取多种例题让学生熟悉这种从特殊到一般再到特殊的数学解题方法，这对于他们解题有极大帮助。2.2.3 特殊化与一般化的关系特殊化方法和一般化方法是数学思维中不可缺少的组成部分，也是解决数学问题的关键
24、所在。尽管特殊化与一般化是在两个相反方向上进行的，但这两者在实际的数学研究和教学中又是密切、相互依赖的。具体来说，从特例去考察一般对象往往为抽象对象提供了必要的基础材料和依据，由此看来，特殊化很大程度上是为一般化服务的。反过来，只有上升到一般性的高度，我们才能更深刻地认识和理解各个特例的性质和特点。就怎样解题而言，特殊化方法与一般化方法贯穿于整个解题过程之中，正如英国数学家梅森（J.Mason）所说的，“特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础”。只有借助特殊化我们才能很好的弄清问题，一般化又显然构成了“回顾”（即解题后的反思）的主要内容。在解题过程中，往往存在着特殊化与一般化的交互作用。2.3
25、 类比与化归把一个陌生的、复杂的数学问题化成熟知的简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学方法。化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键在于要构造转化的方法。2.3.1 化归所谓“化归”，从字面上看，可以理解为转化和归结的意思。这里所论及的“化归”方法，是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一种手段和方法。在解决数学问题时，人们的眼光并不完全落在问题的结论上，往往是去寻觅、追溯一些熟知的结果，促使要解决的问题转化为某个已经解决了的问题，基本思想过程如下：例9 解方程解题思路：经观察，令 则方
26、程变形为 于是我们可知，原方程的解就是方程组、的解，由于、互为反函数，则利用反函数的性质，它们关于直线对称，它们的公共解满足，故方程化为 原方程与方程有相同的正根，同理，方程与方程 有相同的正根。由解得（舍去），故原方程的解为在此进行了多次化归的过程，将原问题转化为我们比较熟知的另一个问题，而在转化过程中，我们往往也会应用到其他的数学解题方法。在这里我们就应用到了换元及方程等基本的解题中的思想方法和解题方法。这实际上也是我们最熟悉的“分析综合”的过程，前一部分问题的转化是分析过程，后一部分解答是综合过程，由此实现了化归。在数学解题教学中，应该注意将问题转化为我们便于解决的熟知的问题。2.3.2
27、 类比类比法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，它在科学发展史上起过重大作用，开普勒说过：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最不容忽视的。”拉普拉斯指出：“甚至在数学里发现真理的主要工具是归纳与类比。”类比法就是根据两个不同对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法。类比法常常可以引导我们发现新的数学内容。类比的推理模式为还要注意的是，运用类比的方法所推出的结论仅仅只是一个猜想，为使这个结论成立，我们需要给出严格的证明。例10 空间n个平面最多能把空间分割成多少部分？分析 这是平面分割空间问题，由问题的
28、内容容易联想到与它相似的一个问题：平面上n条直线最多能把平面分割成多少个平面块。后一个问题是我们已经熟悉的，因此可以作为类比对象。我们已经知道，平面上n条直线，最多可以把平面分割成个平面块。这是用平面上n条直线（一维的）分割平面（二维的）所得的块数的表达式。这个表达式是n的二次式，且分母为2，运用类比推理，用n个平面（二维的）分割空间（三维的）所得的块数，就可能是n的三次式，且分母可能是3，即其中是待定系数，可由实验得联立之后解得于是就有这个结论仍是一种猜想，并未得到证明。为了证明这个猜想，我们还可以仿照处理直线分割平面问题的方法，用归纳法递推这个关系式。用n个平面分割空间得到的块数后，当再增
29、加一个平面时，这个增加的平面与原来的n个平面有n条交线，这n条直线把新增加的平面分割成个平面块，而这个个平面块的每一块把它所在空间一分为二。因而增加了个空间块，所以n+1个平面把空间分割成的块数是即 这个关系是正确的，可以作为证明猜想的基础。作为一名数学教师，教给学生的不仅仅是如何解出一道数学题，教学中体会其中所运用的数学方法和解题中的思想方法更为重要。通常，这些方法并不是单一的应用在一道题中，一个数学问题中有可能涉及到更多的数学方法，例如观察与实验法常常与类比和化归综合应用在同一个数学问题中。在这里，除了了解和掌握基本的数学方法，掌握数学当中的基本思想也是解题的关键。尽管数学解题离不开逻辑，
30、但是单纯的逻辑推理无论怎样的娴熟圆通，都无法把人带进解题这一创造的境地，在知识和解题之间隔着一层不薄不厚的心智的膜，穿透它需要思想和智慧的锋芒。解题有待知识作酝酿，却并不单是牵连在已有知识的逻辑纠结之中，数学解题思想方法才是决定性因素。在较为具体的意义上讲，数学解题思想与数学思想方法基本一致，比如函数与方程，数形结合等数学解题思想方法。 2.4 函数与方程函数和方程是密切相关的，对于函数，当时，函数就转化为方程也可以把函数式看作二元方程 函数问题（例如求反函数、求函数的值域、求函数的极值以及求函数的单调性等）往往可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程就是求函数的
31、零点。例11 已知求分析 由题设的表面信息，企图由三角函数的恒等变形得到问题的答案，将徒劳无功，极其艰难 因为要求而 则必须先求 四个中间变量的值，而题目条件仅仅只有两个方程，欲挖掘隐含，联立求解，将非常费力，转换思维角度，要求可以直接先求这两个未知数的值，转换为建立关于的方程组，由即得到一个方程，再由，从中找出与的关系，设法演化出含的方程，问题便迎刃而解。解题过程如下：解 由于 ，所以 设所以解得因此 本例是用函数与方程思想方法解三角问题的一个范例。若题目条件分散，联系比较隐蔽，难于发掘或者解题过程十分繁琐，在数学解题教学中，教师应主动应用基本的数学思想方法，灵活转动思维角度，寻求最优解法。
32、分析题目中的未知量，根据条件布列关于未知数的方程或方程组，使原问题得到解决，这种方法可以称为构造方程法，这是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面。2.5 数形结合数形结合思想在高中数学解题中是非常重要的数学思想方法，在高中数学函数、空间立体几何、圆锥曲线以及概率等这几大板块中显得尤为重要，它几乎贯穿于整个高中数学教学及解题教学。所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。例如学习关于一元二次不等式的解法或讨论关于正弦函数及余弦函数的性质，我们便可以灵活运用数形结合的方法。例12 已知三个顶点是
33、求的平分线的长。分析 第一步，数学结合，在直角坐标系下，描出已知点画出的边及其的平分线 第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出图形所具有的特性。第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。在很多数学问题中，常常采用数形结合的数学思想方法，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来，这样就把比较抽象的数量关系转化为较形象的位置关系，对我们解题有极大的帮助。数形结合的基础是作图基本准确，最好不要随手作图。数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只注重数量关系而不注重位置关系，如果把本题的图形随手作成一般平面图形，则失去了数形结合的基础，
34、很难挖掘出图形的几何属性，是很失败的。3 小结综上所述，在高中数学解题教学中，教师在数学解题教学中了解和掌握数学解题时常用的数学方法以及方法中所渗透的数学思想方法，对学生所做的习题进行充分的分析，启发学生的思维，引导学生进行反思，有助于提高学生的数学解题能力，这不仅可以减轻学生的数学学习负担，更使学生在数学思想方法的基础上形成数学意识或数学观念，对于他们进一步学习和研究数学很有益处，而且使其在意志、情感、品质及思维方法等方面，都会受到广泛的熏陶。参考文献1 王宪昌.数学思维方法M. 北京：人民教育出版社，2010. 2 张雄 李得虎.数学方法论与解题研究M. 北京： 高等教育出版社，2010.3 王全林 吴有昌.中学数学解题研究M. 北京：科学出版社，2009.4 张国栋.数学解题过程与解题教学M. 北京：北京教育出版社，1996.5 程华新.高中数学解题研究J.中学生数理化学研版. 2011.6 张家珩.高中数学中的函数与方程思想的关系及培养J.数学学习与研究. 2012. 致谢本论文的所有研究工作从论文的选题、实现条件到论文的写作等阶段都是在田宏根教授的悉心指导下完成的。田宏根教授以严谨的治学态度、渊博的学术知识、诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风范使我获益颇多。在这里谨向田宏根教授表示深深的敬意和最衷心的感谢!19