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1、培训题目一摘要本文讨论的是晚自习教室开放问题。通过对教室座位数，灯管数，灯管功率，以及同学满意度之间相关关系的综合分析，建立线性规划模型，利用软件进行编程求解。对于问题一，利用题中所给数据，计算得到每晚上自习的人数约为5600人。在满足题中各项限制要求的前提下，引入变量，表示该教室是否被开放，结合教室利用率及学生满意程度的相关限制，以用电功率最小作为目标函数，建立单目标的线性规划模型。利用软件计算得出，为节约用电，学校应安排开放的教室编号分别为：3、4、5、6、8、9、10、11、12、13、14、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、
2、33、34、35、36、37、38、39、40、43。对于问题二，首先，根据题目介绍，并结合实际情况，本文对学生满意程度的度量进行了定性分析，从而将学生满意程度的度量定义为学生到自习室自习的总路程长短。在此基础上，结合问题一所给的对教室满座率及学生满足程度的要求，进一步考虑学生的满意程度，从而建立以用电最省，学生满意程度最高，自习区开放数最少为目标的多目标线性规划模型。对多目标线性规划问题进行简化计算得到满足题意的自习室安排计划,即开放教室编号为：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、
3、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40。 关键词：单目标线性规划 定性分析 多目标线性规划 变量 目录1 问题重述32 问题分析43 模型假设44 符号说明55模型的建立与求解65.1 问题一65.1.1 问题的理解65.1.2 目标函数与约束条件的确定65.1.3 建立数学模型65.1.4 模型的求解及结果75.2问题二75.2.1问题的理解75.2.2目标函数与约束条件的确立75.2.3 建立数学模型85.2.4 模型的求解85.2.5模型的计算结果106模型的评价10参考文献11附录111 问题重述培训题目一近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种
4、情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。下面是某学校收集的部分数据，请完成以下问题.管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00-10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。完成以下问题：1假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于80%，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的. 2假设这8000名同
5、学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。表2 学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米)B1B2B3B4B5B6B7B8B9A135530565838041
6、9565414488326A2695533469506434473390532604A3512556384452613572484527618A4324541320466422650306607688A5696616475499386557428684591A6465598407476673573385636552A7354383543552448530481318311A8425305454573337314545543306A9307376535323447553587577334A104824774413615705805914915222 问题分析问题一，首先，对题中数据进行分析，利用
7、概率知识得到，每晚学校内约有5600人会上自习。开放教室的总座位数需满足5600名学生的满足程度。以5600名学生满足程度及开放教室满座率为限制条件。在此前提下，利用变量刻画，建立以用电功率最小为目标的线性规划模型。问题二，在问题一的基础上进一步引入学生满意程度的概念，通过分析得到，学生宿舍区距自习室距离越短则满意度越高，由此本文将学生宿舍区距自习室的距离长短作为学生自习满意程度的度量。为方便解题，首先假设学校总人数平均分布在各宿舍区。相较问题一，各自习区座位数的限制，以及各宿舍区自习人数的限制是新增的约束条件。同时，本文将学生自习满意程度作为新增目标函数，结合问题一中原有目标函数，建立多目标
8、线性规划模型。对于多目标线性规划的求解，首先在问题一的基础上，引入问题一的结论将问题转化为单目标线性规划问题，进而利用软件进行求解。对于题中另一原则尽量安排开放同区的教室，需要在前两步基础上，对结果进行检验，通过比较做出最优选择。3 模型假设1.假设开放教室内的所有灯管全部打开；2.假设不存在外界或其他因素影响学生上自习的可能性；3.假设8000名同学平均分布在10个宿舍区，即每个宿舍区有800名学生；4.假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同；5.假设问题一中，学生满足程度只与教室满座率有关。4 符号说明符号含义到教室自习的同学达到满足程度的人数变量，表示教室是否开放
9、各教室的座位数各教室的灯管数各教室每只灯管的瓦数从宿舍区到自习区的距离从宿舍区到自习区自习的人数5模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 问题的理解 根据题意，每晚约有5600名学生去自习室自习。而学校对自习室的安排需使自习的同学满足程度不低于95%，也即至少95%的同学自习时，教室满座率介于80%到90%之间，将此转化为约束条件。引入变量，建立以用电最省为目标函数的线性规划模型。5.1.2 目标函数与约束条件的确定1）.对于任一教室，因为每晚开放时间一定，故开放此教室需要用电量与灯管总功率成正比，因此，用电量的多少可直接用电功率来刻画。引入变量，在此基础上，以电功率最小作为目标函数，具体表
10、达如下：2）.根据文中要求，要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于80%，同时尽量不超过90%。引入整型变量，得到约束条件：5.1.3 建立数学模型综合以上分析，建立单目标线性规划模型如下：目标函数：约束条件：5.1.4 模型的求解及结果利用软件编程解得：（程序见附录一）需要开放的教室编号为3、4、5、6、8、9、10、11、12、13、14、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、43。5.2问题二5.2.1问题的理解通过对学生满意程度的定性分析，本文将学生满意程
11、度的度量定义为学生从宿舍区到自习区的距离长短。学生宿舍区到自习区距离越短则相关满意程度越高。假设名学生平均分布在十个宿舍区内，学生上自习可能性始终满足相互独立，且为。通过对题意的进一步理解，得到问题二求解过程中主要目标：1）节约用电，即用电功率较低；2）学生满意程度较高；3）在前两项基础上，尽量安排开放同区教室。5.2.2目标函数与约束条件的确立1).目标函数一：根据问题一，对于用电最省的刻画，可直接用电功率最小表示： 目标函数二：要保证学生满意程度的提高，根据之前的分析，只需保证上自习学生从宿舍区到各教室区的距离最小，具体表示如下：2）.每个自习区的自习总人数与该区每个教室自习人数之间存在关
12、系如下：自习区存在座位数及满座率的限制，根据以上分析，加入如下约束条件：利用概率公式，计算得到从各宿舍区到教室自习的人数约为560，同时基于问题一中原则，需要使上自习的同学满足程度不低于95%。对每个宿舍区自习学生的人数进行限制，得到约束条件：5.2.3 建立数学模型目标函数：约束条件： 5.2.4 模型的求解考虑到利用软件无法对多目标线性规划问题直接进行求解，于是将问题简化进行如下三步求解1.根据问题一，在只考虑用电量最省的情况下，求解得到教室开放情况，同时得到最小用电量数值，如下：开放教室编号：3、4、5、6、8、9、10、11、12、13、14、17、18、19、20、21、22、23、
13、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、43。最小用电功率：2.将最小用电功率作为条件，总距离最小作为目标函数，利用软件进行单目标线性规划的求解。（见附录2）解得：开放教室编号：3、4、5、6、8、9、10、11、12、13、14、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、43。求得最小总距离为：1934055m3.在前面的基础上，考虑尽量安排开放同区的教室的原则。分析得到，第9自习区的五个教室中只开放43号教室，显然与上述原则不符
14、。由此，进一步考虑在其他区教室中寻找新的教室对其进行替换。具体过程如下：1） 因为自习区存在座位数及满座率的限制及宿舍区自习学生的人数的限制，分析得到，对于43号教室，存在以下两种替换方式： 用7号和15号教室替换43号教室 .用1号和7号教室替换43号教室 2） 进一步计算得到，两种情况教室电功率相等。故问题转化为同学满意程度的比较。为此本文建立如下模型，对以上两种情况进行比较：对于情况一，引入变量如下：符号意义1宿舍区到7号教室的人数1宿舍区到15号教室的人数9宿舍区到7号教室的人数9宿舍区到15号教室的人数以学生到自习室距离最短作为目标函数：约束条件：利用软件求解。（见附录3）解得：用7
15、号和15号教室替换43号教室时，目标函数最小取值：对于情况二，引入变量如下：符号意义1宿舍区到1号教室的人数1宿舍区到7号教室的人数9宿舍区到1号教室的人数9宿舍区到7号教室的人数改变数值代入上述模型中 计算得到，用1号和7号教室替换43号教室得到的目标函数最小取值：（见附录4）显然，用7号和15号教室对43号教室进行替换时，学生满意程度相对较高。通过第二问的所有因素的考察分析，最终确定在约束条件下，求得的总距离最小为：1943478m5.2.5模型的计算结果综合以上计算得到：晚自习需要开放的教室编号为：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、17、18、19、20、2
16、1、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40。6模型的评价优点：引入变量，将教室开放与否用变量进行刻画，简化了大量计算过程。问题二中模型的求解，采用分步方法，大量简化计算难度弥补软件求解过程中的不足。不足：对于问题二中，多目标线性规划问题的求解，由于软件功能限制，本文采取分步控制变量进行求解。题中得到的仅为近似解，对于问题的最优结果，有待进一步改善。参考文献：1 谢金星，薛毅，优化模型与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005年7月；2 萧树铁，姜启源，高立等，大学数学第二版数学实验，北京：高等教育出版社
17、，2005年12月；3 薛毅，耿美英，运筹学与实验，北京：电子工业出版社，2008年9月；4 赵静 但琦，数学建模与数学实验（第二版） 北京 高等教育出版社 2003年6月5 胡运权，运筹学教程（第二版），北京：清华大学出版社，2003.5附录附录1：model:sets:js/1.45/:zw,dg,ws,k,x;endsetsdata:zw= 64 88 193 193 128 120 120 120 110 120 64 247 190 210 70 85 192 195 128 120 120 120 110 160 70 256 190 210 190 205 110 160 70
18、256 190 210 190 190 210 200 150 150 180 70 120;dg= 42 42 48 50 36 36 36 36 36 36 27 75 48 50 42 42 48 50 36 36 36 36 36 36 27 75 48 50 48 50 36 36 27 75 48 50 48 48 50 48 50 48 48 25 45;ws=40 40 50 48 45 45 48 45 40 45 40 45 48 50 40 40 50 48 45 45 48 45 40 45 40 45 48 50 48 50 40 45 40 45 48 50 48
19、48 50 48 50 48 48 50 48;enddataobj min=sum(js(i):k(i)*dg(i)*ws(i);sum(js(i):x(i)-8000*0.7*0.95=0;for(js(i):x(i)-0.8*k(i)*zw(i)=0);for(js(i):x(i)-0.9*k(i)*zw(i)=0);for(js(i):x(i)-0.9*k(i)*zw(i)=0);for(js(i):bin(k(i);for(js(i):gin(x(i);for(zxq(j):sum(xsq(i):m(i,j)=x(5*j-4)+x(5*j-3)+x(5*j-2)+x(5*j-1)+x
20、(5*j);for(xsq(i):sum(zxq(j):m(i,j)=532);sum(link(i,j):m(i,j)=sum(js(i):x(i);sum(js(i):k(i)*dg(i)*ws(i)=74525;for(link(i,j):gin(m(i,j);End(部分结果)Global optimal solution found. Objective value: 1934055. Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 1189 Variable Value Reduced Cost ZW( 1) 64.00000 0
21、.000000 ZW( 2) 88.00000 0.000000 ZW( 3) 193.0000 0.000000 ZW( 4) 193.0000 0.000000 ZW( 5) 128.0000 0.000000 ZW( 6) 120.0000 0.000000 ZW( 7) 120.0000 0.000000 ZW( 8) 120.0000 0.000000 ZW( 9) 110.0000 0.000000 ZW( 10) 120.0000 0.000000 ZW( 11) 64.00000 0.000000 ZW( 12) 247.0000 0.000000 ZW( 13) 190.00
22、00 0.000000 ZW( 14) 210.0000 0.000000 ZW( 15) 70.00000 0.000000 ZW( 16) 85.00000 0.000000 ZW( 17) 192.0000 0.000000 ZW( 18) 195.0000 0.000000 ZW( 19) 128.0000 0.000000附录3：min=305*a+658*b+376*c+535*d;a+b=109;c+d=53;a+c=96;b+d=56;gin(a);gin(b);gin(c);gin(d);附录4：min=355*a+305*a+695*c+533*d;a+b=109;c+d=53;a+c=51.2;b+d=96;gin(a);gin(b);gin(c);gin(d);14