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1、山西师范大学本科毕业论文 数形结合思想在高中知识中的应用姓 名系 别 专 业班 级学 号指导教师答辩日期成 绩 数形结合思想在高中知识中的应用内容摘要 对数形结合思想在高中数学知识的应用的研究，有利于使问题简单化，抽象问题，有助于把握数学问题的本质。文章在简要概述数形结合的思想内容、可以用其解决地几种类型问题以及解题途径及其原则的基础上，重点列举数形结合在函数与方程、不等式、平面向量、解析几何、导数、平面几何六种典型例题来具体阐述在高中数学知识的应用，体现了数形结合的重要性和实用性。 【关键词】数形结合 以形助数 以数解形Title：The using of combining the ope
2、ration with figure in the high schoolAbstract For several form combining ideas in high school maths is the application of knowledge of the research, to the problem is simplified, abstract problems, help to grasp the essence of mathematics problems. The essay briefly overview of the combination of th
3、e number form the ideological content, can be used to solve the problem and the problem solving to several types of ways and its principle, and on the basis of key gives several form in function and equations, combining, inequality plane vector and analytic geometry, derivatives, plane geometry six
4、kinds of typical examples to the paper in the high school mathematics the application of knowledge, reflected the importance of combining several form and practical.【Key Words】Combining the operation with figure Geometry helps understand algebra Algebra helps understand geometry目 录一、 数形结合思想的概论 (6) （
5、一）数形结合的数学思想内容（6） （二）数形结合思想可以解决几类型问题（6）二、数形结合思想的解题途径及其原则 (6) （一）数形结合的途径（6） (二）通过转化构造数题形解（7） （三）数形结合的原则（7）三数形结合思想的几点说明 (8) 四数形结合思想的几点应用举例 (8) （一）数形结合在函数与方程中的应用（8） （二）数形结合在不等式中的应用（9） （三）数形结合在平面向量中的应用（10） （四） 数形结合在解析几何中的应用（11） （五）数形结合思想在导数问题中的应用（12） （六）数形结合思想在平面几何问题中的应用（14）附录（15） 参考文献（15）致谢（16）数形结合思想在高中
6、知识中的应用学生姓名： 指导教师： 数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合就是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合是历届高考的重点和热点，数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其中“以形助数”是其主要方面，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探求解题途径，对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果，对于解答题要注意数形转换的等价性论述，避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。函数的图像、方程的曲线，集合的韦恩图或数轴表示等，是“以形
7、示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都很好的说明了数形结合思想在高中知识点中的应用。恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。 华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，
8、形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.一、数形结合思想的概论（一）数形结合的数学思想内容：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。（二）数形结合思想可以解决几类型问题数形结合思想解决
9、的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定
10、理的结合。二、数形结合思想的解题途径及其原则（一）数形结合的途径1.通过坐标系数形解题借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，数形解题时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（
11、直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。(二）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化。例如将与距离互化，将（以下为展示某个数结构对应的几何意义）与面积互化将与余弦定理沟通，将且中的、与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元
12、二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。常见的转换途径为：1.或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。2.平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。3.几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将正方形的面积互化，将互化，将与勾股定理沟通等等。4.解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）
13、、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。（三）数形结合的原则1.等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。2.双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。3.简单性原则就
14、是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。三数形结合思想的几点说明数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：（一）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（二）用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图
15、)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。四数形结合思想的几点应用举例 （一）数形结合在函数与方程中的应用 已知且,试求使方程有解的实数的取值范围.分析:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出的取值范围.xyol3l2l1图8-2 解：原方程等价于构造曲线C:,直线从而使问题转化为直线和双曲线C: 在x轴上半部分有交点，求
16、实数的取值范围,如图8-2所示：有三条临界直线当在和之间时，直线在y轴上的截距满足时，与有一个交点，解之可得当在上方时，直线在轴上的截距满足时, 与有一个交点，解之可得综合可得，所求的取值范围是易错点分析: 解方程时很可能扩大的取值范围,另外数形结合不会利用双曲线渐近线.说明：数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。(二)数形结合在不等式中的应用 若不等式的解集为区间,且,则 . 分析：通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求
17、一条直线与半圆何时有交点. 解：令, .其示意图如图8-3:若,要满足,则,此时.从而.若,要满足,则.则,从而不存在.易错点分析：如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.类似题型举例：已知函数有两个零点，则有（ ）A. B. C. D.说明：“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。（三） 数形结合在平面向量中的应用在中，G为外心，求的值.分析:结合图形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题. 解：如图8-4
18、所示，易错点分析：不能将表示成，不能发现与的垂直关系.（四） 数形结合在求最值中的应用1.求函数最小值.xyA(0,1)B(2,2) 分析：由题意可知，函数的定义域为，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决。 解：令A(0,1),B(2,2),P(,0)则问题化为:在轴求一点P(,0),使得 取得最小值，因为A关于轴的对称点为所以 取最小值易错点分析：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题，往往会陷入其中，不得其解.而将代数问题几何化则使问题变得容易解决.（五）数形结合思想在导数问题中的应用 1.（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的
19、图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个。说明：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。2.（06浙江卷）已知函数，数列的第一项，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行（如图）求证：当时，()（）。证明：（I）因为，所以曲线在处的切线斜率。因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故说明：切线方程的斜率与函
20、数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。（六）数形结合思想在平面几何问题中的应用已知三顶点是，求的平分线的长。解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点，画出的边及其的平分线。（如图） 第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：（1）；（2）；（3），（4）等等。证明：,（1），是的平分线；（2），(角平分线定理)；（3），（4）不正确，第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点作，交于点，则有或等等。又在中，（可以口答出）。说明：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键
21、是挖掘图形的几何属性，切忌只重数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形的几何属性，是很失败的。附录：从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争
22、取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。参考文献：2012年高考数学 冲刺60天解体策略 专题八 运用数学思想方法解体的策略 第二节 ,1,2,3。陈婉华。在数学教学中提高学生的多种能力。青年探
23、索，2005（06）.傅其英。浅谈数形结合；教育教学论坛；2011年25期。董涛。建构主义视野中的数学概念教学；曲阜师范大学学报（自然科学版），2001（02）张连生，名师伴你行，天津人民出版社。致谢：本文是在X老师精心指导和大力支持下完成的。X老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。X老师渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。同时，在此次毕业论文设计过程中我也学到了许多了关于数形结合思想方面的知识，知识应用有了很大的提高。另外，我还要特别感谢同学们对我论文写作的无私的帮助使我得以顺利完成论文。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感。 14- -