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1、微积分在经济学中的若干应用摘 要微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似与极限求精确的基本思想是学习高等数学的基础.随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者科学决策的制定提供依据.对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用微积分定量的方法进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析方法和新思路，积分模型在经济应用中有较大的发展空间，尤其是当前计算机应用的不断推广.通过建立数学微积分模型，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路.关键词：微积分；边际分析；弹性函数
2、 ABSTRACTCalculous is one of the greatest achievements of human wisdom, local approximate, limit and precision is the basic idea for further study higher mathematics. With the continuous development of market economy, using of mathematical knowledge to solve economic problems becomes increasingly im
3、portant, using of the differential and integral on economic activity in the actual problem to carry on quantitative analysis, so as to provide the basis for scientific decision-making of enterprise operators. For enterprise management and decision makers in the economic analysis of calculus, applica
4、tion of quantitative method, precise, rigorous decision-making, can provide decision makers and operators to provide a critical analysis and a new train of thought, integral model in economic application has larger development space, especially the current spreading of the computer application, thro
5、ugh the establishment of mathematics model, is to realize the efficient decision-making and scientific decision-making important way, also is the enterprise to improve the competitiveness of the route one must take.Key words: Calculus; Marginal analysis; Resilient functions目 录1 引言.12 微积分的基本思想-局部求近似、
6、极限求精确 .12.1 微分学的基本思想.22.2 积分学的基本思想.23 微积分在经济学中的基本应用.23.1 边际分析.23.2 一般均衡理论中的微积分方法.33.3 消费者均衡理论.53.4 弹性分析.63.5 最大的生产要素组合.83.6 最优化问题.94 其他相关问题.105 对待在经济学中使用数学方法的问题上应持的态度.106 结论.11附录.12参 考 文 献.13致 谢.14 1 引言在经济学领域中，高等数学的运用非常广泛，微积分更是学好经济学，剖析现实经济现象的基本工具.高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题
7、进行分析，将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用.2 微积分的基本思想-局部求近似、极限求精确微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确.以下我们具体阐述微分学与积分学的思想.2.1 微分学的基本思想微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示.直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线.在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线-该点处的“切线”.它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分.这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化.现在我们来举一个例子-
8、物理中物体的运动速度：取坐标轴如下图，设路程函数s(t).已知, 求物体的运动速度(即s变化率)的方法分为两步 （1）“局部求近似”：尽管物体在时段上作非匀速运动，但在微小时段上可近似看成是匀速运动的.以“匀”代“不匀”，或者说对变化率以“不变”代“变”，使用处理均匀问题的除法得近似值. （2）“极限求精确”： 越小，近似程度越高，于是令，利用极限法便将此近似值转化为精确值，即.2.2 积分学的基本思想积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分.蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限.因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法.现在我们来举一个例子物理中运动物体经过的路程
9、：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤： （1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现： “分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段； “求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，. （2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步： “求和”： ； “求极限”： ，其中.可见，微分与积
10、分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的.可归纳为两步：（1）微小局部求近似值；（2）利用极限求精确.微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题3 微积分在经济学中的基本应用对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的.将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现.因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，例如微积分，从而为科学经营决策的制定提供可靠
11、依据.3.1 边际分析在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际成本、边际收益、边际利润等等，从文献赵树源.经济应用数学基础（一）微积分看，经济学中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率问题，即把一个经济函数的导数称为该函数的边际函数，边际函数在某一点的值称为边际值，总成本函数关于产量的导数称为边际成本，其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位（即）所增加的总成本；边际收益是指总收益函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即）所增加的总收益；边际利润是指总利润函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即）所增加的总利润. 例 已知某企业某
12、种产品的收益R（元）是销售量q（吨）的函数求销售50吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义.解 依题意得，销售q吨产品的总收益函数为因此，销售50吨该产品的边际收益为其经济含义是：当销售量为50吨时，再增加一吨（即）所增加的总收益是199元.看似简单的东西在实际应用中却意义重大，边际革命是西方经济学在价值理论上的一种新发展,用边际效用学说来重新认识和分析价值问题,即产品的价值取决于边际效用的大小。边际分析的出现比之要早很多，但是引入数学微积分带来个人争取极大化经济均衡点的处理,才使得边际分析成为可能,才使它以不可阻挡之势出现在经济学各个分支。边际分析的实质就是经济学家们利用心理学和数学微积分方
13、法对经济学的一个整合。又例如：例 某企业生产某种产品，每月的总成本C（千元）是产量x（件）的函数且为，如果每件产品的销售价格为2万元，求每月生产6件、9件、156件、24件时的边际利润，并说明其经济含义. 解 依题意得，每月生产x件产品的总收入函数为因此，生产x件产品的利润函数为： 于是，边际利润函数为 则每月生产6件、9件、15件、24件时的边际利润分别是： , , , ,其经济含义是：当月产量为6件时，再增产件，利润将增加18000元；当月产量为9件时，再增产1件，利润将增加12000元；当月产量为15件时，再增产1件，利润则不会增加；当月产量为24件时，再增产1件，利润反而会减少1800
14、0元.3.2 一般均衡理论中的微积分方法经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品市场的供求进行边际分析,从而寻求一个均衡价格体系,使经济达到一般均衡。其思路是由商品需求和要素供给及厂商商品供给和要素需求的分析,到整个商品市场和要素市场的一般均衡。首先考虑h的产品需求和要素供给,然后再将所有H的商品需求和要素供给分别相加求得每种商品的市场需求和每种要素的市场供给。h的效用取决
15、于它所消费的各种商品数量(，)以及它提供的各种要素数量(，) 。于是h的效用函数可写成:= (， ; ，) 。h的全部收入均来自其要素供给。由于产品和要素价格对单个来说是既定不变的常量(产品和要素市场均为完全竞争),且不存在储蓄和负储蓄,故h的全部收入就等于 + +,式中 , 分别为各种要素的价格,h在各种商品上的支出则为+ +,式中 ,分别为各种产品的价格。h的预算约束即“预算线”为： 于是,h是在预算约束的条件下,选择最优的商品消费量即商品需求量和最优的要素销售量即要素供给量,以使其效用函数达到最大。根据在约束条件下的极值原理可知,h对每种商品的需求量取决于所有的商品价格和要素价格,即取决
16、于整个经济的价格体系。如:假定某个效用函数为:;其预算约束为:。式中,I为既定收入。由此可建立拉格朗日函数如下: ;是拉格朗日乘数。于是,在预算约束条件下的效用最大化的条件为: 由这些效用最大化条件可以求得最优消费量和,显而易见,如果改变约束条件中的价格P1和P2,则最优消费量Q1和Q2也将随之变化。这就是说,最优消费量Q1和Q2均是价格P1和P2的函数。上述对单个h的讨论也适用于所有其他h。将所有H对每一种产品的需求加总起来,就得到每一种产品的市场需求;与单个h的需求情况一样,每一种商品的市场需求显然也是整个经济的价格体系的函数,即有: 。式中，（）,为第i种产品的市场需求。再将所有H对每一
17、种要素的供给加总起来,就得到每一种要素的市场供给;与单个h的供给情况一样,每一种要素的市场供给显然也是整个价格体系的函数。从而得到结论:存在一组价格,使得所有市场的供给和需求都恰好相等,也即存在着整个经济体系的一般均衡。3.3 消费者均衡理论消费者均衡理论的核心是:消费者如何获得效用最大化。无论是从基数效用论入手还是从序数效用理论入手,都可以得出相同的消费者均衡条件的结论: ( MU 为边际效用, P 为价格)其分析工具是微积分。基数效用论和边际效用分析法是:设TU表示总效用,以U表示边际效用,Q表示消费者,总效用是边际效用之和。边际效用是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用增
18、量。则总效用函数为: 边际效用为：消费者实现效用最大化的均衡条件是:若消费者货币收入是固定的,市场上各种商品的价格是已知的,那么消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等(或者说消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱带来的边际效用相等) 。即 （1）其中I 为消费者的最高收入，分别为 n 种商品的价格,为不变的货币边际效用。 分别为n 种商品数量。进而可以求出需求曲线。序数效用论者运用无差异曲线和预算线得到消费者效用最大化的均衡条件为:即在一定的约束条件下,为了实现最大的效用, 消费者应该选择最优的商品组合,使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。(或在消费者的均衡点
19、上,消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量,应该高于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量)以上各种不同的分析方法, 都得出消费者均衡的相同条件,其原因是:由于在保持效用水平不变的前提下, 消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的,即有:上式可以写为: 根据以上两个式子, 序数效用论者关于消费者的均衡条件即上式可改写为: 或 （2）其中为货币的边际效用。并且由式(1)和(2)得到消费者实现效用最大化的均衡条件与序数效用论者关于消费者的均衡条件是相同的。3.4弹性分析商品价格的提高或降低会引起需求
20、量的减少或增加，但价格变化以后，需求量所作出的反应或增减变化程度，不同的商品时不同的，同一种商品在不同的价格水平上也是不同的.所以需求的弹性可以用来衡量价格变动的比率所引起的需求量变动的比率，也就是两者之间的灵敏程度.在经济学中，弹性可以理解为：它是一个因变量的相对变动和一个自变量的相对变动之比，以E来表示弹性系数，即：,如果设数量变动的百分比为2，价格变动的百分比为-1，则弹性系数为 （3.1）函数称为的弹性函数，在处的弹性为其弹性函数在处的函数值.在，时，.设需求函数为，定义需求价格弹性, （3.2）表示在价格为时，价格上涨(或下跌)1%需求量约减少(或增加)，表明需求与价格反方向变化.
21、若，表示需求量的相对变化率高于价格的相对变化率，需求对价格的反应较强，价格变化，需求量的变化将超过，称为弹性需求或富有弹性，一般高档消费品属此类；若，表示需求量的相对变化率低于价格的相对变化率，需求对价格的反应较弱，价格变化，需求量的变化将小于，称为非弹性需求或缺乏弹性，一般生活必需品多属此类.许多商品在不同的价位上，需求价格弹性的性态是不同的，一般当价格较低时是非弹性需求，当价格较高时是弹性需求；若，表示需求量的相对变化率与价格的相对变化率相同，需求对价格的反应按相同比例反方面进行，称为单位弹性需求；时，价格的任何变动都不会改变需求量，这样的商品并不多见，时，价格的微小变化将会引起需求的巨大
22、变化，这样的商品也不多见.但在完全竞争市场上，单个厂商的价格变化，在其余厂商作出反应之前，它面临的需求曲线具有无穷大的弹性.对其余一元经济函数，可类似地定义其弹性，如供给弹性、成本弹性等.设某商品的需求函数为，这里为商品的需求量，为该商品的价格，若该商品是完全垄断的，生产商的产销均衡，则厂商的销售收入为,其中为需求价格弹性.当时，此时涨(降)价会使总收入减少(增加)；当时，此时涨(降)价会使总收入增加 (减少)；当时，.此时涨(降)价，总收入几乎无变化.由可导函数取极值的必要条件，在R(P)的驻点唯一时，单位弹性可使总收入最大.收入的价格弹性为,边际收入与弹性的关系为.3.5最大的生产要素组合
23、在生产理论中,为了简化分析,通常以两种可变生产要素的生产函数来考察长期生产问题。假定生产者使用劳动和资本两种可变生产要求来生产一种产品,则两种可变生产要求的生产函数为:L 为可变要求劳动的投入量, K 为可变要求资本的投入量, Q 为产量厂商可以通过对两投入要素的不断调整实现既定成本条件下的最大产量的要素组合。假定要素市场上既定的劳动的价格即工资率为,既定的资本的价格即利息率为r , 厂商既定的成本支出为C ,则成本方程为: ，C 在一定的条件限制下,即: 建立拉格朗日方程： 产量最大化的一阶条件为: （3） （4）由（3）、（4）式得: 由此得既定条件下实现最大产量的要素组合原则:即厂商通过
24、对两要素投入量的不断调整,使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量极高, 从而实现既定成本条件下的最大产量。3.6 最优化问题边际分析研究的是函数边际点上的极值。也就是研究因变量在某一点上(即边际点) 是由递增变为递减,还是由递减变为递增的规律。这种边际点的函数值就是极大值或极小值。边际点的自变量是作为判断并加以取舍的最佳点,而寻找这个可据以做出最优决策的最合理的边际点,正是经济研究的一个焦点。因此,微积分法是研究最优化规律不可缺少的方法。其实,在任何一种经济学说中最优化理论都明里暗里起着重要的作用。因为经济学是研究一个社会应该如何组织起来进行活动,使经济效益达到最佳
25、的一门学问。这里先不说“经济效益最佳”的确切定义是什么,或许是全社会的物质财富最大,或许是逐年消费增长的速度为最大等等,它总是一个求极大值的问题。西方经济学从理论上推出了所谓最佳资源配置、最优收入分配、最大经济效率以及整个社会达到最优的一系列条件和标准。最优化理论成为经济分析的真正基石,也是经济决策的重要依据。实现最优化,相当于要求一切经济活动处于“顶峰”位置,任何一点偏离都要从顶峰向下倾斜,它必然要用到微分方法中令导数等于零的数学原理。例 设生产个产品的边际成本，其固定成本为元,产品的单价规定为元.假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润.解 总成本函数为 总收益函数为 总利润
26、 ，令，得 当生产量为个时，利润最大 最大利润为（元）在这里，应用了定积分，分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才能取得最大的利润.因此，作为一个合格的企业经营者应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠的依据.4 其他相关问题根据最大利润原则确定商品价格 例 某商品进价为(元/件)，根据以往经验，当销售价为(元/件)时，销售量为件，(均为常数,且).市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求最大利润.解 设表示销售价，表示销售量.由题意 ,则得线性需求函数,总利润函
27、数. 令得唯一驻点而则为极大值点,也是最大值点，因为，故,故应降价销售，降价幅度为(元/件).最大利润为5 对待在经济学中使用数学方法的问题上应持的态度中国现阶段产生的经济学是否数学化这个争论的本质不是在于经济学研究方法其中的一种数学方法本身,而是有些人用数学方法的功利性在作怪,要批判的是这种“工具理性”和“科学主义”的倾向性。我国经济学的一代宗师陈岱孙先生曾说过:“我们过去对于定量分析忽视了,数学本来是一个严密的分析工具,没有理由不让它为我们研究的经济服务。这决不是否定定性的研究。我们更要反对滥用数学,把经济探讨变成数学游戏。”虽然数学方法本身也存在局限,但这会随着经济理论的发展和方法的创新
28、得以完善,这就需要发挥人的主观能动性,是要去建设而不是破坏数学方法本身。现在讨论这个问题的人更多的看到的是数学方法本身,而不是对研究者采用这种方法的内在动因进行深入的分析。因此我们在对待经济学中使用数学方法的问题上既要反对违背经济理论和经济现实,一味从主观出发的先验假设建立起来的各种经济模型以及这种不良的研究风气,也要反对不问青红皂白带着有色眼镜来看待数学方法在经济学中广泛应用的偏激思想。对此我们应持的态度是:对一般技术性较强的经济学,可以运用数学方法来确定经济政策的力度和边界,预测经济政策的直接和间接效果的。比如产业结构、经济增长率、货币增长率、物价上涨率、失业率、工资率、基尼系数、税率、利
29、率、汇率、开放度、外债率等国民经济参数的临界值。但同时要注意社会经济毕竟是人造的社会系统,应用数学方法应该有一定的限制。6 结论经济管理属于经济学门类应用经济学科，主要研究对社会经济活动进行合理组织、合理调节的规律和方法，它包括两大方面：宏观经济挂历，即国家对国民经济体系和社会经济活动的控制，微观经济管理，即各类企业、合作经济组织，各个劳动者的经营管理.经济管理融合多种社会科学、自然科学的学科知识，注重总结实践经验和可行性研究.经济管理力求在盈利性、成长性和风险之间谋求一种良好的动态平衡.运用微积分将经济管理中的问题量化之后，能比较清晰的知道经济管理中企业规模、销售增长、市场份额、技术领先、品
30、牌知名度等目标的实现情况，微积分主要着眼于变量之间的变化，即当自变量每发生一个变化时，因变量的变化程度.因此，随着金融市场和现代企业制度的建立,高等数学的知识越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域.要很好的利用高等数学知识,使经济管理走向定量化、精密化和准确化.附 录附录1边际：是指随着某一事物超过一定界限而随着再增加而带来的效用递减的状况.附录2 弹性：是对供求相对于价格变动的反应程度进行定量分析的方法.参 考 文 献1祁卫红，罗彩玲.微积分学的产生和发展J.山西广播电视大学学报，2003，（02）：2-4.2晏能中.微积分数学发展的里程牌J
31、.达县师范高等专科学校学报，2002：2-3.3向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用J.科技信息，2009（26）：57-82.4髙哲.浅谈微积分在经济中的应用J.中国科技博览，2009（7）：103-126.5王志平.高等数学大讲堂M.大连：大连理工大学出版社，2004：26-48.6吴赣昌.微积分M.中国人民大学出版社，2004：261-309.7谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析J.商场现代化，2008（4）：289-326.8张先荣.谈微积分在经济分析中的应用J.濮阳职业技术学院学报，2009,22（4）：172-184.9明清河.数学分析的思想与方法M.山东大学出版社，20
32、04：64-82.10谢明文.微积分教程M.四川.2002.西南财经大学出版社：267-281.11李春萍.导数与积分在经济分析中的应用.商业视角，2007,（5）：38-52. 12褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用.枣庄学院学报，2007,（10）：47-103.13Sornn-Friese, H. and J. S rensen, Linkage lock-in and regional economic development: the case of the resund medi-tech plastics industry. Entrepreneurship & Regional
33、 Development, 2005，17(4): 267-291.14Warner, M., Putting Child Care in the Regional Economy: Empirical and Conceptual Challenges and Economic Development Prospects. JOURNAL-COMMUNITY DEVELOPMENT SOCIETY, 2006，37(2): 7-21.15Andr, F., M. Cardenete, and E. Velzquez, Performing an environmental tax reform in a regional economy. A computable general equilibrium approach. The Annals of Regional Science, 2005，39(2): 375-392.13