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1、8 98级 毕业论文 对称在第一型曲线积分计算中的应用 摘要 在积分计算中，恰当地利用被积函数的奇偶性和积分区域（或曲线）的对称性，可以使积分运算大大简化。本文把这些方法应用于第一型曲线积分的计算中，并给出了证明。同时本文给出多元函数的偏奇偶函数，奇偶函数及对称,对称变量的定义，并且将积分计算中的对称性方法推广到了一般情形，并提出了通过适当改造被积函数以利用对称性来简化计算的方法。使一些较繁、较复杂的问题变得简单化，是问题不攻自破，还可以节约时间，达到事半功倍的目的。 关键字 奇偶性，积分曲线，对称，狭义对称性，广义对称性，轮换对称性 预备知识定义1 若关于xoy坐标面对称，则称坐标z为对称变
2、量; 若关于x轴对称，则称坐标y,z为对称变量;若关于原点O对称，则称坐标x,y,z为对称变量。若z0x坐标面上的平面区域D关于x轴对称，则称坐标z为对称变量;若D关于坐标原点O对称，则称坐标z，x为对称变量，z轴上线段关于坐标原点O对称时，称坐标z为对称变量。定义2 如果是定义在区域(或曲线)D上的二元函数，并且对D上的任意一点(x,y),满足=（或=），就称为关于x的偏奇（或偶）函数。定义3 如果是定义在区域(或曲线)D上的二元函数，并且对D上的任意一点(x,y), (满足=（或=），就称为关于y的偏奇（或偶）函数。定义4 如果是定义在区域(或曲线)D上的二元函数，并且对D上的任意一点(x
3、,y),满足=（或=），就称为二元奇（或偶）函数。定义5 如果是定义在区域(或曲线)D上的二元函数，并且对D上的任意一点( x , y )满足=（或=），就称为轮换奇（或偶）函数。同样对于三元函数有类似的定义.如:定义6 如果 是定义在区域(或曲线)D上的三元函数，并且对D上的任意一点( x, y, z ) , 满足=（或=），就称为关于x的偏奇（或偶）函数。定义7 如果是定义在区域(或曲线)D上的三元函数，并且对D内的任意一点( x , y , z ),满足=（或=），就称为轮换奇（或偶）函数。在各类高等数学教材中，讲授定积分与重积分时都谈到了奇偶性，对称性可使计算简化，但在曲线积分中却很少
4、谈及。实际上，在曲线积分，也有相应的问题。本文拟系统地介绍有关第一型曲线积分这方面的内容并举出相关例子，为简化叙述，我们假定以下涉及到的积分都存在，积分函数均满足通常的条件。一 几个一般的结论结论1 设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，而是L上的连续函数，其中是L在上半平面的部分；例1 计算，其中 L ：x = cost , y = sint , 由点（0 ，）经（，）到（，）。解：一法： x(t) = -3cost sint. y(t) = 3sint cost, ds = = 3 ,则 = + = 0二法： L关于X轴对称， 而( x, y) = y 是y 的奇函数， 由结论1可知=0例2：
5、 求 ，其中 L为 圆周 =ax .解 因为曲线L 关于X轴对称，而被积函数( x, y)= 满足 ： ( x, - y) = ( x, y)所以 = 2 = 2 a结论2 设分段光滑平面曲线L关于y轴对称，而是L上的连续函数 其中是L的右半段：（x,y）L| x0例3计算，其中 L ：x = 2cost , y = 2sint , 由点（2，0）经（0，2）到（-2，0）。解： 因为曲线L为星形线在、象限的部分，所以L关于y轴对称，又被积函数是相应于变量x奇函数，所以 = 0例4 （1998 年考研题）设L为 椭圆 ， 其周长记为 a， 则= _.解 因为L 关于 y 轴对称, 且2xy 关
6、于变量x 为奇函数, 故= 0. 又因为在 L上 ， 所以原积分 = = 0 + = 12a结论3 设分段光滑平面曲线L关于直线y=x对称, 而是L上的连续函数，则：结论4（空间曲线）41 若分段光滑的空间曲线关于xoy面对称，在L上关于z为连续的奇偶函数 其中为L在xoy 面的上半部分。42若分段光滑的空间曲线L关于Y0Z面对称，在L上关于x为连续的奇偶函数， 其中为L在YOZ面的前半部分。（ 积分曲线L 关于ZOX面对称，有类似的结论）43若分段光滑的曲线关于xoz,yoz面对称，f在L上同时是x,y的连续的奇、偶函数，则有其中为L在1，5卦限的部分。44若分段光滑的曲线关于z轴对称，f同
7、时关于x,y为连续的奇、偶函数，则有其中为L在平面x=y(或x= y)一侧的部分。45若分段光滑的曲线关于三个坐标面都对称，连续的f关于三个变量同时具有奇、偶性，其中为L在第一卦限的部分。46 若分段光滑的曲线关于原点对称，连续的f关于三个变量x,y,z同时具有奇、偶性，其中为L在原点一侧的部分。例5 计算, 其中的T为螺旋线x=a cos t, y = a sin t, z = kt 上相应于t 从-到 的一段弧.解: 此题中( x, y, z)关于x, y 为偶函数,关于x轴对称,有:I = 2 = 2 证明： 设 ， ，选x为参数， ： ，: ， = + = + = 所以，若= ，则 （
8、其中是L在上半平面的部分）；若 = -，则这里只证明结论1，其他证明类似。二轮换对称性定义1： 若P（），有P（）（=1,2,n）成立，则称关于具有轮换对称性。定义2： 若函数F（）F（）（=1,2,n），则称函数F（）关于具有轮换对称性。特别地，如果函数在轮换x换y ,y 换 x（记为 ）不变，称为二元轮换对称函数，如果函数( x, y，z)在轮换x换y ,y 换 z，z 换x ，（记为 ）不变，称( x, y，z)为三元轮换对称函数。在第一型曲线积分的计算过程中，若积分曲线L 具备轮换对称性，则可以简化的计算过程。下面就来讨论利用轮换对称性简化第一类曲线积分方法。1.在第一类平面曲线积分的
9、计算过程中，若积分曲线L关于x,y具有轮换对称性，则：（1） = = ；（2）：L关于直线 y=x 对称，记：L 位于直线 y=x上半部分区域为，则（i）当=时，由结论3得： = 2 (ii) 当 = - 时，由结论3得： =02.在第一类空间曲线积分 的计算过程中，若积分曲线关于x,y,z具有轮换对称性 = = = 例6 ：计算 ，其中 解： 由于积分曲线方程中的变量 x, y ,z 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置，方程不变，而且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关，故有= = 例7：计算 ，其中C： 解: 原式 = = ，而C是半径为R的圆，从而，原式 = = 三广义对称性在结论1，结
10、论2，结论3，结论4中，我们利用对称性第一型曲线积分时，要求的是积分曲线关于坐标轴，坐标面，以及直线y=x对称。这种对称性，不妨称之为狭义对称性。其实，这种要求可改为积分曲线关于任一点、任一条直线或任一平面是对称的，即在一般意义上的对称，本文称之为广义对称性，下面我们不加证明地给出修改以后的结论。为了论述方便起见，将被积函数用点函数表示，积分曲线记作L，L的度量微分记作ds，在L上的积分记作结论5 设 是定义在积分曲线L上的连续函数，且L具有某种对称性（即可以关于任一点、任一条直线或任一平面对称），记P的对称点为，那么(1) 若P，有成立， = 0； （2）若P，有成立， =2 ，L为L的一半
11、。 （3） =2 但是，如果对称的两点P和对于被积函数没有奇偶性，我们进一步研究就可得到更一般的结论来。 结论6 设是定义在区域或曲线上的连续函数，且具有某种对称性，设点P的对称点为，则 =。即将被积函数改造为，这样，当不易计算，而易于计算时，可采用此法。由此可见，结论5只是结论6的一个特例，同时，结论6也是对第一目中四个结论的总体概括，把第一型曲线积分的计算，由利用狭义对称性推广到了广义对称性上来了。(注：结论5，结论6稍加修改还适用于定积分，二重积分，三重积分，第一类曲面积分)例 8算 其中L是x=o, y= o, x= 4 , y = 2所构成的矩形回路。解： 积分路径L显然关于直线 x
12、 = 2对称， 也关于直线 y = 1对称，将被积函数xy = (x)y =(x)y+2y = (x)y+2(y1) + 2 , (x2) y 与（y1）满足对称性要求，故24上述的结论显示对称性在化简第一型曲线积分计算中的有效作用，同时我们在应用对称性求第一型曲线积分还必须注意：1） 必须兼顾被积函数与积分曲线两方面，只有两个方面的对称性相匹配时才能利用2） 有些问题要想到用轮换对称性来解决。正确，有效地利用上面的结论，可以起到化难为易，化繁为简，事半功倍的效果。参考书目文献1对称性在积分计算中的应用（高等数学研究2001年第4期，作者：徐小湛）2对称性在重积分中的应用（川东学刊1997年第2期，作者：文武）3轮换对称性在积分中的应用（高等数学研究2001年4期，作者：陈云新）4广义对称性在积分计算中的应用（工科数学2001年第6期，作者：李久平）5同济大学数学教研室高等数学（第四版 下册）8