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1、人教版八年级下册数学第十八章平行四边形备课攻略【课程标准解读】课程标准对本章节内容要求掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间的关系，了解四边形的不稳定性；探索并掌握平行四边形的有关性质；探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质；探索并了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法并能运用；把握中位线定理和直角三角形斜边的中线推论。【知识要点解析】（一）平行四边形1平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形用符号“”表示平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD2平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等 (2)平行四边形的
2、对角相等，邻角互补。(3)平行四边形的对角线互相平分(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积【典型例题】（泰安中考，19，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB4，BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DGAE，垂足为G，若DG1，则AE的边长为（）A2 B4 C4 D8【分析】：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到ADDF，由F为DC中点，ABCD，求出AD与D
3、F的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AFEF，即可求出AE的长【解答】：解：AE为ADB的平分线，DAEBAE，DCAB，BAEDFA，DAEDFA，ADFD，又F为DC的中点，DFCF，ADDFDCAB2，在RtADG中，根据勾股定理得：AG，则AF2AG2，在ADF和ECF中，ADFECF（AAS），AFEF，则AE2AF4【点评】：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形
4、的判定与性质是解本题的关键【变式训练】（泰安中考，8，3分）如图，五边形ABCDE中，ABCD，1、2、3分别是BAE、AED、EDC的外角，则123等于（）A90 B180 C210 D270【分析】：本题考查平行线的性质根据两直线平行，同旁内角互补求出BC180，从而得到以点B点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解【解答】：解：ABCD，BC180，45180，根据多边形的外角和定理，12345360，123360180180故选B【点评】：本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键3两条平行线间的距离
5、：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离(2)两平行线间的距离处处相等【典型例题】，将度相同（对边平行）交叉，你认为是什么图形，为什么？【答案】是菱形【解答】解： 依题意可知ABCD，ADBC所以四边形ABCD是平行四边形分别作CD，BC边上的高为AE，AF，因为两纸条相同，所以纸条宽度AE=AF因为平行四边形的面积为AECD=BCAF，所以CD=BC所以平行四边形ABCD为菱形【点评】熟练掌握菱形的性质及判定，考查菱形的判定，四条边相等的四边形即为菱形【变式训练】如图，平行四边形ABCD的相邻边AD：AB=5：4，过点A作AEBC，AFCD
6、，垂足分别为E、F，AE=4，求AF的长 CDBAEF【答案】5【解答】用等面积法做 因为AD比AB=5比4 所以设AD=5x AB=4x AF=a AE*BC=AF*CD 5X*4=4X*a a=5【点评】本题主要考查了平行四边形两平行线之间距离问题。已知两边的比，求一高，可考虑利用面积法。4平行四边形的周长、面积：（1）平行四边形的周长=四条边长之和。(2)如图，(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图，有公共边BC，则【典型例题】（ 四川泸州，16，3分）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=5cm，BC=4cm，则，平行四边形ABCD的周长为 cm.【答案】：18.【解析
7、】：根据平行四边形性质，找出对边长度，再求四边的和即为平行四边形周长.周长为（5+4）2=18（cm）.【点评】：平行四边形周长等于两邻边和的2倍.【变式训练】、平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC间的距离是4cm，则对边AB和CD间的距离是_【答案】8cm.【解答】解：设对边AB和CD间的距离是xcm，根据平行四边形的面积公式可得：6x=124，可得x=8故答案为8【点评】“等面积法”是数学中的重要解题方法在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系根据平行四边形的面积公式求解即可5平行四边形的判别方法：(1)两组对
8、边分别平行的四边形是平行四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形【典型例题】（四川泸州中考，6，2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（） AAB/DC，AD/BC BABDC，ADBC CAOCO，BODO DAB/DC，ADBC【答案】D【解析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；
9、根据“对角线互相平的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形所以答案选D【点评】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断【变式训练】（ 江苏泰州市，23，本题满分10分)如图，四边形ABCD中，ADBC,AEAD交BD于点E，CFBC交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形【解析】要证四边形ABCD是平行四边形只要证AD=CB，需证AEDFCB，结合易知证明就较为简单【答案】ADBC,ADE=CBF，又DAE=B
10、CF=900，AEDFCB，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形【点评】本题是一个简单的考查平行四边形的判定的证明题，平行四边形的相关知识是初中阶段必须掌握的这类中考题目一般并不难，侧重考查对课本知识的掌握和理解运用6平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行(3)先识别个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题【典型例题】（ 浙江省湖州市，20，8分）已知，如图，在ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD交BC于点E。（
11、1）说明DCEFBE的理由；（2）若EC=3，求AD的长。【解析】（1）分析图形，在DCE和FBE中，隐含DEC=FEB,结合平行四边形的性质，应用“AAS”可证得；（2）根据全等三角形的性质，可得EC=BE,即BC=6，结合平行四边形的性质，可得AD=6.【答案】（1）在ABCD中，AB=DC,ABDC,CDE=F,又BF=AB,DC=FB,DEC=FEB,DCEFBE;（2）DCEFBE,EB=EC,EC=3，BC=6，又ABCD，AD=BC,AD=6.【点评】本题主要考察了全等三角形的判定和性质，以及平行四边形的性质，解决问题的关键是从图中挖掘隐含条件：对顶角，探求全等的判定方法，是中度
12、题。【变式训练】在等腰ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点，DEAC交直线AB于E，DFAB交直线AC于点F，解答下列各问：（1）如图1，当点D在线段BC上时，有DE+DF=AB，请你说明理由；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE、DF、AB之间的关系（不要求证明）【点拨】（1）由题意可得四边形AEDF时平行四边形，所以DF=AE，通过平行线可得到角相等，转化为线段相等，进而可得出结论（2）依据题意，作出图形即可，而对于线段DE、DF、AB之间的关系，由（1）可得四边形AEDF时平行四边形，进而通过线段之间的转化即可得出结论【解答】：（
13、1）DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，DF=AE，又AB=AC，B=BCA，DEAC，BDE=BCA，B=BDE，BE=DE，DE+DF=BE+AE=AB（2）如图，DE-DF=AB四边形AFDE是平行四边形，AE=DF，B=BDE，BE=DE，DE-DF=AB【点拨】本题主要考查平行四边形的判定及性质以及等腰三角形的性质，能够熟练求解，并能作出简单的图形（二）矩形1、矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；2、矩形的性质:(具有平行四边形的
14、一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分3、推论：直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的判定方法矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形【典型例题】已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长【解答】解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 则 AD=6cm（
15、2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm【点评】：本试题涉及到的知识点有矩形的性质、直角三角形的性质等，结合问题意境可知：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法 【变式训练】 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF 证明： 四边形ABCD是矩形， B=90，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE，
16、ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此题还可以连接DE，证明DEFDEC，得到EFEC【点评】：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明ABEDFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形（三）菱形1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等2、菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；【典型例题】 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 【解答】：四边形ABCD是菱形， CB=C
17、D， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质【变式训练】：在菱形ABCD中，M、N分别是BC、CD边上的点，若AM=AN=MN=AB，求C的度数。【解答】因为ABCD为菱形，所以：AB=BC=CD=AD 已知：AM=AN=MN=AB 则，AMN为等边三角形，ABM和ADN为等腰三角形 设B=D=x 那么，AMB=AND=x 所以，BAM=DAN=180-2x 那么，BAD
18、=2*(180-2x)+60=420-4x 因为AB/CD 所以，BAD+ADC=180 即，(420-4x)+x=180 = 420-3x=180 = x=80 所以，C=180-D=180-80=100【点评】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形AMND为菱形3、菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形【典型例题】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：
19、四边形AFCE是菱形证明： 四边形ABCD是平行四边形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四边形AFCE是平行四边形又 EFAC， AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)【变式训练】（漳州模拟）如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，在AE上取一点D，使得AD=BC，连接CD和BD，BD交AC于点O（1）求证：AODCOB；（2）求证：四边形ABCD是菱形【点拨】（1）首先根据平行线的性质可得DAO=BCO，再有条件AD=BC，AOD=COB，可以利用AAS定理证明AODCOB；（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明BA
20、C=BCA，可利用等角对等边得到AB=BC，即可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论【解答】证明：（1）AEBF，在AOD和COB中，AODCOB（AAS）；（2）AEBF，ADBC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，AC平分BAD，BAC=DAC，DAO=BCO，BAC=BCA，AB=BC，平行四边形ABCD是菱形【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，关键是掌握：全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA；菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形【变式训练2】已知：如图，ABC和
21、DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF求证：四边形BFCE是菱形【点拨】根据SSS先证明ABC和DBC全等，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一，得出BO=CO，所以四边形BFCE是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证【解答】证明：AB=DC AC=BD BC=CB，ABCDCB，DBC=ACB，BE=CE，又BEC的平分线是EF，EO是中线（三线合一），BO=CO，四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又BE=CE，四边形BFCE是菱形【点评】本题主要考查了菱形的判定菱形的判别方法是说明一
22、个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分（四）正方形1、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形2、正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：
23、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质 【典型例题】已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF【证明】： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF【点评】：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，
24、可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得【变式训练】（ 东营，12，3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AEBF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ）F（第12题图）ABCDOEA4个B3个C2个D1个【答案】：B【解析】：在正方形ABCD中，因为CE=DF，所以AF=DE，又因为AB=AD，所以，所以AE=BF，因为，所以，即，所以AEBF，因为S四边形DEOF，所以 S四边形DEOF，故（1），（2
25、），（4）正确3、正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.【典型例题】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，分别过A，C两点作l1l2, 作BM垂直l1于M，DN垂直l1于N，直线MB，ND分别交l2于Q，P，求证：四边形PQMN是正方形【分析】：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得
26、出结论【解答】由L1L2，MQL1，NPL1, MQL2,NPL2, 四边形PQMN是矩形， 由MAB=NDA，MBA=NAD，AB=AD， ABMDAN（A，S，A） AM=DN，AN=BM， 同理可证AM=BQ=CP， BM=OQ=DP， MN=NP=PQ=QM， 四边形PQMN是正方形。 证毕。【变式训练】如图，在ABC中，已知BAC=45，ADBC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC为对称轴，作出ABD，ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，F
27、C交于点G，证明四边形AEGF是正方形；【点拨】先根据ABDABE，ACDACF，得出EAF=90；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；【解答】证明：由题意可得：ABDABE，ACDACFDAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45，EAF=90又ADBCE=ADB=90，F=ADC=90四边形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=ADAE=AF矩形AEGF是正方形【点评】本题考查图形的翻折变换，注意把握翻转变换前后线段及其角的相等关系。【热点专题分析】（一）运动变化问题：【例题】如图，ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线
28、于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）试探索OE与OF之间的数量关系（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理过程（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么ABC将是什么三角形呢？请说明理由【点拨】（1）由直线MNBC，MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，易证得EOC与FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；（2）由（1）知，OE=OC=OF，当OC=OA，即点O为AC的中点时，可得OE=OC=OF=OA，即可证得四边形AECF是矩形；（3）由正方形AECF可知，ACEF，又由于EFBC，得ACB=90，所以ABC是ACB=90的直角三角形【解
29、答】：（1）MNBC，OEC=ECB，OFC=FCD又CE平分ACB，FC平分ACDECB=OCE，OCF=FCD，OEC=OCE，OFC=OCF，EO=OC，FO=OC，EO=FO；（2）由（1）知，OE=OC=OF，当OC=OA，即点O为AC的中点时，OE=OC=OF=OA，四边形AECF是平行四边形，AC=EF，这时四边形AECF是矩形；当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，（3）由正方形AECF可知，ACEF，又EFBC，ACB=90，ABC是ACB=90的直角三角形【点评】此题考查了平行线，角平分线，等腰三角形的判定与性质以及正方形、矩形的判定与性质此题综合性较强，难度适中，
30、解题的关键是注意数形结合思想的应用【变式训练】（ 贵州遵义，26, 分）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由【点拨】1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x
31、），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变【解答】：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2；（
32、2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，A=FBQAEP=BFQ=90，APE=BQF，APEBQF，AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为6，DE=3，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变【点拨】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作
33、出辅助线构造出全等三角形是答案此题的关键（二）折叠问题【例题】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE=30，BE=，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为（）A、3 B、3 C、 4 D、4【点拨】首先由折叠的性质，可得：AEB=AEC1，EC=EC1，然后由四边形ABCD是矩形，易求得AEC1=AEB=60，即可证得AEC1是等边三角形，可得AE=EC，又由直角三角形的性质，求得AE的长，则问题得解【解答】：由题意得：AEB=AEC1，EC=EC1，四边形ABCD是矩形，ADBC，B=90，BAE=30，AEB=60，DAE=
34、AEB=60，AEC1=AEB=60，AEC1是等边三角形，AE=EC1，在RtABE中，BAE=30，BE=，AE=2BE=2，EC=2，BC=AE+EC=3故选A【点评】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用【变式训练1】如图，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点（1）试说明四边形AECG的形状，并说明理由；（2）若矩形的一边AB的长为3cm，DC=4cm，求AGC的面积；（3）当四边形
35、AECG是菱形时，求AGC的度数。【点拨】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AGCE，AECG即可；（2）解法1：在RtAEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过AEFACB，可将线段EF的长求出【解答】1）证明：在矩形ABCD中，ADBC，DAC=BCA由题意，得GAH=1/2DAC，ECF=1/2BCAGAH=ECF，AGCE又AECG，四边形AECG是平行四边形（2）解法1：在RtABC中，AB=4，BC=3，AC=5CF=CB=3，AF=2在RtAEF中，设EF=x，则AE=4-x根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4-x）2=22+x2解得x=3
36、/2，即线段EF长为3/2cm解法2：AFE=B=90，FAE=BAC，AEFACB，EF/CB=AE/ACx/3=(4-x)/5，解得x=3/2，即线段EF长为3/2cm【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化【变式训练2】（ 兰州，26，10分）如图1，在OAB中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB为边，在OAB外作等边OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG
37、的长【解答】：（1）证明：RtOAB中，D为OB的中点，DO=DA，DAO=DOA=30，EOA=90，AEO=60，又OBC为等边三角形，BCO=AEO=60，BCAE，BAO=COA=90，COAB，四边形ABCE是平行四边形；（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8x，在RtABO中，OAB=90，AOB=30，BO=8，AO=BOcos30=8=4，在RtOAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（4）2=（8x）2，解得：x=1，OG=1【点评】：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理结合题意进行分析可得：（1）
38、首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得DAO=DOA=30，进而算出AEO=60，再证明BCAE，COAB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可【小结】在解决矩形的折叠问题的关键是对折叠前后的图形进行细致的分析，明却各相等角或边，同时在计算中注意选择一个直角三角形运用勾股定理利用方程思想来求解。（三）最短、最小值问题：【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DM+DN的最小值为多少？【点拨】轴对称
39、-最短路线问题；正方形的性质要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解【解答】：四边形ABCD是正方形， 对角线AC、BD互相垂直平分。 连接BD，连接BM，则交AC于N点， 这时候的N点使DNMN有最小值。 证明：连接ND，则由对称性得：ND=NB， DNMN=BM两点之间，线段最短， 而BM=BCMC=86=10， BM=DNMN=10， 即最小值=10【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法然后熟练运用勾股定理【变式训练1】如图,菱形ABCD中,ABC=60,
40、AB=2,E 是BC的中点，F是对角线BD上的一个动点，请你求出EF+FC的最小值。【点拨】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置根据菱形的性质，知：点A和C关于BD对称则连接CE交BD于点P，P即为所求作的点PE+PA的最小值即为CE的长【解答】在AB上作点G使BG=BE，连接AC 即EF+FC最小时，GF+FC最小，即G、F、C三点共线 菱形ABCD AB=BC（菱形四条边相等） E为B、C中点 BE=1/2BC=1/2AB BG=BE BG=1/2AB G为AB中点 AB=BC ABC为正三角形（一个角为60的等腰三角形为正三角形） AC=BC CGAB 在RTBCG中，G=90，BC
41、=2，BG=1 CG=（勾股定理） EF+FC=【点评】此题的难点在于能够正确找到点P的位置注意综合运用等边三角形的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理、菱形的四边相等进行求解【变式训练2】如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM。（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；【解析】（1）根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；（2）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE
42、的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；（3）作辅助线，过E点作EFBC交CB的延长线于F，由题意求出EBF=30，设正方形的边长为x，在RtEFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为【解答】：（1）ABE是等边三角形，BA=BE，ABE=60，MBN=60，MBN-ABN=ABE-ABN，即BMA=NBE，又MB=NB，AMBENB（SAS）；（2）当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN是等边三角形，BM=MN，AM+BM+CM=EN+MN+CM，根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；【点评】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，是一道综合性的题目，难度较大（四）规律探索问题：【例题】（济宁中考，9，3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以