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1、 不等式的若干证明方法与简单应用 摘 要：本文通过分析数学中的不同代数不等式的特点，归纳、总结了若干证明不等式的常用方法和技巧，并且介绍了不等式在解方程、极值问题、数列问题等方面的简单应用。文中涉及到的主要方法有比较法、分析法与综合法、反证法、放缩法、判别式法、换元法、构造法、增量法、导数法，还利用了单调性、微分中值定理、Taylor公式证明不等式。关键词：不等式证明； 比较法；导数法； 应用Abstract：This article through the analysis mathematics in different algebra inequality characteristic,
2、 the induction, summarized certain proof inequality commonly used method and the skill, and introduced the inequality in aspect and so on solution equation, minimum problem, sequence question simple applications.In the article involves the main method has the comparison test, the analytic method and
3、 the synthesis method, the reduction to absurdity, the scaling law, the discriminant law, the substitution of variables,the construct law, t the increase law, the derivative law, but also has used monotonous, the differential theorem of mean, the Taylor formula proof inequality.Key words： Inequality
4、 proof；the comparison test； derivative law； application1 前 言代数不等式是数学中的一个重要内容，由于它本身具有完美的形式及证明的灵活性，往往可以考察学生的分析能力和应变能力。而在不等式的理论中，有许多著名的不等式，其中一些不等式的发现对不等式证明的发展已成为许多论证不等式的工具，使我们深刻地认识了不等式证明的发展变化情形，以及各类不等式之间的相互关系，从而提高我们的证题能力,以至于对数学许多分支的研究都有着重要的作用。2 不等式证明的若干方法2.1 比较法2.1.1 作差比较法在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般
5、为：作差变形判断（正号、负号、零），变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。欲证AB，只要证A-B，即可。欲证AB，只要证A-B，即可。例1 已知，且成等比数列，求证：。证明 根据条件可设 （ 为公比， ）因为 =2（ =2（ =2而 又 所以 2故 。注意：证明中用到了配方法确定的符号，这一点是为确定二次三项式的符号而经常采用的办法。2.1.2 作商比较法在证题时，一般在均为正数时，借助或来判断其大小，步骤一般为：作商变形判断（大于）或（小于）。若B，欲证，只要证。若B，欲证 ，只要证。例2 已知，求证： 2。证明 因为 = = = = =又 所以 即 。2
6、.2 综合法利用题设和某些已知不等式作为基础，运用不等式的性质推导出欲证的不等式，综合法的思路是“由因导果”。是一种直接证明方法。例3 已知，求证： 。证明 因为，所以 ，又无论 取正数、负数、零，都有意义，为此，根据已知条件讨论如下：（1）当之中有一个为零时：若 ，因 ，而 所以 ，根据奇次方根的性质这只有 ，如是 得证若 ，因 ，而 所以 ，根据奇次方根的性质，这只有 如是 得证（2）当 全不为零时：若异号，因 所以只能有 ，成立再用奇次方根的性质得 ，从而 得证若同号：当时：因 所以 即 得证当 ，时：此间 ，因 所以 即 因 （其中、）所以 即 所以 得证总之，由（1）（2）可得成立。
7、说明：此例可见，用综合法证不等式，可使其推理论证过程简单明确，特别是当问题比较简单的情况下用综合法证不等式易证。2.3 分析法从要证的不等式（也可结合已知条件或一部分已知条件）着手，逐步推求能使它成立的条件，直至所需条件为已知正确的不等式或所需条件为已知条件，从而得知要证的不等式成立，是一种执果溯因的思考方法和证明方式，是一种直接证明方法。例4 求证：，（其中。证明 假设 成立则只须 成立则只须 成立这只须 成立所以只须 成立（当时所以只须 成立所以只须 成立，因为是成立的，并且上面的推理每一步都可逆求所以原不等式 成立。2.4 反证法 证明一个问题不是直接去证明结论，而且是先提出与结论相反（
8、相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设等相矛盾的结果，这样就证明了结论相反的假设不能成立，这种间接证明命题的方法叫做反证法，反证法是一种重要的间接证明方法。例5 已知为实数，求证：。证明 假设不同时都为正数，不妨先考虑不是正数的情况，那么有和两种可能：（1）设，则，与已知相矛盾所以是不可能的（2）设，因为 ，所以 又因为 所以 所以 这和已知 相矛盾所以 也不可能终上所述知 成立同理可知 ，成立原命题得证。评注：用反证法证明不等式须注意一点，就是否定了原命题的不等关系后，所得的数量关系一般不止一种情况，在证明时切勿遗漏。2.5 放缩法在证题过程中，根据不等式的传递性，常采
9、用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种方法我们称之为“放缩法”。放缩法的理论依据主要有：（1）不等式的传递性 （2）等量加不等量为不等量 （3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较，常用放缩技巧有：舍掉（或加进）一些项 在分式中放大或缩小分子或分母 应用均值不等式。例6 求证：证明 令 则 所以 P。2.6 判别式法通过对所证不等式的观察、分析、构造出二次方程，证明中借助与二次方程的判别式，从而使不等式得证这种证法称之为判别式法。利用二次函数的
10、判别式，对二次函数的函数值变化情况起着决定性的作用。当并且 时，函数 恒为正值，即 。当 ，并且 时，函数 恒为负值，即 。从这点出发，如果要证的不等式是二次式，常可用它的判别式来证明不等式，类似地，有时也可用二次方程的判别式来证明不等式。例7 设且，求证：。证明 设 ，则 代入 中得 即 因为 ， ，所以 即 解得 ，故。2.7 换元法通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明的目的，这种证明不等式的方法称之为换元法。主要有两种换元形式：（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件复杂，一个变量不易用另一个变量表示。这时考虑三
11、角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。根据具体问题，实施三角代换方法有：若 ，可设 ，若 ，可设 （）。（2）增量换元法：在对称式（任意交换多个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如 等）的不等式考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元使问题化难为易，化繁为简。例8 已知 ，求证：。证明 设 所以原不等式成立。例9 ，且 ，求证： 。证明 因为 所以可设 所以 。2.8 构造法2.8.1 构造集合图形证明不等式如能敏锐地洞察题设条件蕴含的几何意义，由此构造一个几何图形，利用几何图形证明不等式就是利用几何元素间的不等式
12、关系（如三角知识）来证明。例10 已知，且 ，求证：。E证明 以为斜边，为直角边作n延长 至 ，使 延长 至 ，使 FC过 作的平行线交于则 ，令 b所以 D m B a A又 ，即 所以 。 另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西不等式、绝对值不等式、贝努利不等式、三角形不等式等，这里不再烦述了。2.8.2 构造函数证明不等式 根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式，函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。1) 构造函数利用判别式证明不等式a 构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能
13、解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法，一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。例11 设，证明：成立，并指出等号何时成立。证明 令 因为 ，所以 即 所以 恒成立当 时，此时 所以 时，不等式取等号。b 构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结论特征，通过构造二项平方和函数：由，得，就可以使一些用一般方法处理较烦琐的问题，获得简捷明快的证明。例12 设且，求：的最小值。解 构造函数 ，（因为由 （当且仅当、时取等号）得 ，即 所以当
14、 、时。2) 构造函数利用函数有界性证明不等式例13 设、，求证：。证明 令为一次函数由于 且 所以 在时恒有又因为 所以 ，即 。评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为一元函数，转化为。3) 构造函数利用单调性证明不等式当属于某区间，有，则单调上升。若，则单调下降。推广之，若证，只须证及即可，。例14 设，求证：。证明 设 当 时，是增函数又 而 、所以 所以 故有 。评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。4) 构造函数利用奇偶性证明不等式例15 求证：（。证明 设 所以 是偶函数，其图象关于轴对称当 时， 故 当 时，依图
15、象关于轴对称知 故当 时，恒有 即 （。评注：这里实质上是根据函数奇偶性来证明，如何构造恰当的函数充分利用其性质是关键。2.9 增量法 如果题设条件给出一些不等式，比如给出，我们可设，其中，。我们称、为增量，则之间就有一个等量关系，这样本来是一些不等式运算就可以用恒等式变形代替。例16 已知，证明：。证明 因为 ，可设 ，所以左式右式 即 。2.10 导数法利用微分中值定理，函数的增减性以及函数的最大值或最小值等知识证明不等式，这种证明不等式的方法称为导数法。2.10.1 利用微分中值定理证明如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使得，此定理阐明了函数的增量与区间内导数
16、的关系，只要函数具备在上连续，在内可导，不管自变量的增量取多大，函数的增量总等于函数在区间内某一点的导数与自变量的增量之积，如果函数的导数在开区间内的变化范围已知道，如，而，由于，所以，有不等式：成立，用该定理证明不等式的关键是如何确定函数，在有的问题里函数能从不等式本身明显的看出，有的则需要经过适当的变形后方能确定。例17 已知，求证：。 证明 设 ，由于在上连续在内可导，于是由微分中值定理得 ，即 又 所以 由（1）（2）得 故原不等式得证。2.10.2 利用函数的增减性证明设函数在区间内可导，如果在内，那么在内是增函数，如果在内，那么在内是减函数。例18 已知，求证：。证明 设 由于函数
17、在上连续，在内可导于是 ，所以在上为增函数因为 所以 即 。2.10.3 利用函数的最大值、最小值证明闭区间上的可导函数，总介于它在该区间上的最大值与最小值之间，即。例19 求证：当时有。证明 构造辅助函数 则有 令 ，解得 其中只有在区间内，且 在点连续当时，则 在上为减函数当时，则 在上为增函数所以 在处取得极小值即 为区间上的最小值所以当时，有 故 即 。2.11 公式证明不等式若在上连续，在内存在，则，在与之间使得下式成立，其中。在题设中含有高阶导数（二阶和二阶以上）的大小或上下界的函数不等式，运用公式来证明这类不等式的关键是写出比题设条件低一阶的函数的展开式，恰当选择等式两边的和，由
18、给出的高阶导数的大小或界对展开式进行放大或缩小。例20 设在上具有二阶导数，且，证明：。 证明 将在点处展成一阶公式显然，此处取 为合适因为 所以 两边在上对积分则 因为 所以 。 除上述涉及到的方法外，不等式证明方法还有解析法，配方法，数形结合法等，最重要的是要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，还要有扎实的基本功和多种思维品质，敢于打破常规，创造性思维，使问题获得妙解。3 不等式的简单应用3.1 不等式在方程和函数方面的简单应用有些二元以上的代数方程，往往只有一个方程，似乎是不定方程，不容易解，其实应用重要不等式
19、定理仍然是可以解的。同样，有的三角方程和与方程有关的问题，以及一些函数方面的问题也可以应用重要不等式定理来解决。为此，列举一些例子，来说明不等式在这些方面的应用。例21 解方程：。解 将原方程变形为 等式左端两项分别应用公式得上二式相加得等号成立的条件是，由此可解得 。例22 已知函数，求证：对于任意两个不等的正数不等式，成立。证明 因为 ，由公式得 所以 。3.2 不等式在极值问题方面的简单应用不等式在极值问题方面的应用极为普遍，如各种代数函数和三角函数方面的极值，平面几何和立体几何中各种极值问题皆可应用不等式定理来求解。例23 求函数的最大值（。解 当上式第二项值最小时，原式则有最大值而由
20、公式有，其最小值为所以原式最大值 。3.3 不等式在数列方面的简单应用用不等式研究某些数列的敛散性例24 求证：以（其中为自然数）为通项的数列收敛。证明 因为 所以 故单调递增又因为 （其中为大于1的整数）所以 而 所以 即 ，不等式两边相加，得即 。这就是说是单调递增而有上界的无穷数列，依数列极限存在判别定理，知有极限，即收敛得证。以上介绍了证明不等式的若干方法和不等式的简单应用，除此外，还有一些方法，如数学归纳法，特殊值（特殊比）等，应该说明的这些方法不是孤立的，而是相互渗透的，有的不等式的证明是要几种方法的综合运用，也有的不等式可以用多种方法证之。4 谢 辞在我的本科学习生活即将结束之际
21、，向在此阶段帮助和支持我的人表示衷心地感谢和崇高地敬意！首先，感谢我的论文指导傅湧老师。在论文的写作过程中，无论在理论还是在实际中，都给予我很大的帮助，使得我得到了不少的提高，这对我以后的工作和学习都是有巨大帮助的，老师精益求精、严谨认真的治学态度令我敬重而钦佩，对我多方面的指导更让我受益匪浅，终身难忘。其次，感谢我其他任课老师和同学们，没有他们的鼎立支持，我不可能完成我的毕业论文的。参考文献1裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M .北京: 高等教育出版社,1993.2吴承甑,李绍宗.不等式的证明M .上海: 上海教育出版社,1987.3王传荣,张方晓.不等式的证明及应用M.天津: 天津科学技术出版社, 1983.4严镇军.不等式M .北京:人民教育出版社, 1990.5易康畏.不等式图解、证明及演绎M .贵阳: 贵州人民出版社, 1987.6华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）M. 第三版.北京: 高等教育出版社,2001.7陈纪修,於崇华, 金路.数学分析（上、下册）M . 第二版.北京: 高等教育出版社, 1999.14