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1、莆田学院学士学位论文 编号 莆田学院毕 业 论 文课题名称：一类矩阵秩的恒等式及推广系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 03级 指导教师 2007年 5月目 录0 引言11 预备知识12 推导过程23 主要结论124 结束语17参考文献18致谢19一类矩阵秩的恒等式及推广摘 要在何种条件下，不等式化为等式是当前研究的重点本文利用矩阵及其初等变换对应到分块矩阵中，使得当在满足一定的条件时，有【关键词】：秩；矩阵；初等变换；分块阵A Class of Matrix Rank Identities and Their GeneralizationAbstractChan
2、ging the inequality into equality under what condition is the current research key point. This paper uses the and its elementary operation corresponds the partitioned matrix, prove that when satisfy the certain condition, we have 【key words】rank;matrix ; elementary operation ; partitioned matrix莆田学院
3、学士学位毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担学位毕业设计（论文）作者签名：日期： 年 月 日莆田学院学士学位毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中
4、以明确方式标明指导教师签名：日期： 年 月 日 0引言 目前对不等式推广研究的一个重点是如何将不等式化为等式在厦大06年的考研试卷中有这样一道试题 的充分必要条件是 以及北师大的两道习题 与 的充分必要条件分别是 与 ，而这三题刚好是不等式中不等号化等号的特例沿着这一研究方向，特别是在参考李书超与王廷明的关于一类矩阵秩的恒等式及证明的基础上，本文对不等式中不等号化等号的推广式进行了证明，在一定程度上改进王廷明的证法，具有更直观更具体意义上的效果本文在引入、与 、在实数域上分解，并且各自对他们所构成的对角阵进行初等变换后得出定理这个结果及其他定理和推论1预备知识定义1 设P为任意数域，则关于定理
5、的证明方法很多，我们可以参考文献1矩阵有初等变换下面变换叫做矩阵的初等变换：（i）矩阵的两行（列）互换位置，记为 （）；（ii）矩阵的某行（列）乘非零常数k, 记为 （）；（iii）矩阵的某行（列）加上另一行（列）的倍, 记为 （）而对应分块矩阵的初等变换如下：（i）对调矩阵的两行（列），记为 （）：（ii）矩阵分块行（列）乘非退化矩阵, 记为 （）；（iii）将矩阵的某一行（列）的所有子矩阵左乘一个矩阵加上另一行（列）, 记为 （）；引理 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵,其中推论1 ，当 为两两互异的数时，有 与 等价此结论的证明由引理1显然可得符号说明：(i) R（A）代表矩阵
6、 A的秩；(ii) 代表对角矩阵 A；2推导过程北京大学数学系几何与代数小组编的高等代数（第三版）中有两道习题：习题1：设,则 的充分必要条件是习题2：设,则 的充分必要条件是 通过构造和分块矩阵并分别对他们进行初等变换如下：证明 （习题1）构造矩阵 和 ，对它进行初等变换，得相对应的，对 ，对它进行初等变换 故由 ，有当且仅当 ，证明 （习题2）构造矩阵 和 ，对它进行初等变换，得相对应的，对，对它进行初等变换 故由 ，有当且仅当 ，在知道幂等与对合矩阵的秩有将Sylvester不等式的不等号化为等号的优点后，能否想象如 与 也具有此优点呢？不妨看如下的例题：例1设,则 的充分必要条件是证明
7、 构造矩阵 和 ，对它进行初等变换得相对应的，对 ，对它进行初等变换 故由 ，有当且仅当 ，例2设,则 的充分必要条件是证明 构造矩阵 和 ，对它进行初等变换，得 相对应的，对 ，对它进行初等变换 故由 ，有当且仅当，例3设,则 的充分必要条件是证明 构造矩阵 和 ，对它进行初等变换，得 相对应的，对 ，对它进行初等变换 故由 ，有当且仅当 ，例4设,则 的充分必要条件是 证明 构造矩阵 和 ，对它进行初等变换，得相对应的，对 ，对它进行初等变换得 故由，有当且仅当 ，有例5 设,则 的充分必要条件是 证明 构造矩阵 和 ，对它进行初等变换，得 相对应的，对 ，对它进行初等变换得 ，故由，有当
8、且仅当 时，有例6设，证明：的充分必要条件是证明 构造矩阵和对它们进行初等变换如下 对分块阵作同样的初等变换 故由 ，有当且仅当 时，3主要结论现在对上述6个例题进行归纳总结，即可注意到这样的结果：当与 等价，对分块初等阵进行同样的初等变换后有 与 等价此结果在例1到例6都成立的，那么我们不妨设当 满足何种条件时，有如下结果定理1 ，当 为两两互异的数时，有 与 等价证明 首先我们先看对角矩阵与 相对应的三种初等变换1）换行2）倍乘3）倍加用数学归纳证明如下1） 当t=2时，由而此时对矩阵也进行同样的变换因此 ，此时由与等价，得到与也等价2） 若由 与 等价，可以得到与 等价，其中 为复数域上
9、两两互异的数3） 那么，我们显然也易得 与 等价，其中 、为复数域上两两互异的数则由2）对于矩阵与矩阵 等价，而我们需要的结果是 与 能够等价因此，它其实就可以转化成 与 能否等价所以，首先可以看到 与 等价，其中 不能整除故用综合法发把 表示成的方幂和，即写成，则，令=，所以有如下结果 ， 而此时也会得到=，故而 ， 所以就有了 与 等价定理2 设，对任意的两两互异的数 ，则证明 由 中，两两互异，所以得 与 等价 因此由定理1得 与 等价 所以有结果成立推论2 设，A的多项式在复数域的标准分解为 ，若 无重根 ，则推论3 设，A的多项式在复数域的标准分解 ，若无重根，且它在实数域的标准分解
10、为则 证明 由定理2知：，其中， 且 故所以 定理3 设，且B可逆，A，B可交换，那么对任意的两两互异，则有 证明 由已知得 依定理2得 而 与 4结束语本文先通过对和型矩阵进行实数域上的分解，构造其分块对角阵及相应的矩阵，在引入矩阵和分块阵的初等变换后，分别对他们进行相同的初等变换后，得到平行的等价结果由此猜测：当互异时，有 与 等价根据这一结果得到当互异时，不等式的等号成立，并且证明的过程直观具体易懂，具有一定的联系性和过渡性，并且得到定理1这个结果因此本文的优点之一是得到了对角矩阵与对于各自的初等变换后，得到它们的等价的矩阵分别为 与 ，并且两者的初等变换又具有平行性由定理1证明了不等式
11、的等号成立及其推广与王廷明的一类矩阵秩的恒等式的证明相比较，在前一部分的证明中这一方法占有优势，但在王廷明最后一个定理的推广当中无法利用这一方法加以推广，是本文的不足之处，也是本文继续往前研究的一个重要方向而跳出这个研究范围，我们来观察一下定理1：它描述的是对角矩阵与初等变换的平行性，那么由引理1知对于任意的对角矩阵都与等价，则是否与等价呢？如果这一猜想成立，那么就不仅仅可以考虑A+KE的形式，更可拓宽到将用任意型如f(A)的多项式代替，而得到矩阵多项式也具有矩阵的性质参考文献1 北京大学数学几何与代数研究室代数小组，高等代数（第2版）M高等教育出版社，19982 雷雪萍，高等代数中一道习题的
12、推广J大学学报，2006.8（第4期）3 王廷明，黎伯堂一类矩阵秩恒等式的证明J山东大学学报（理学版）,2007.2（第2期）4 李书超，蒋君，向世斌等一类矩阵秩恒等式及推广J武汉科技大学学报（自然科学版），2004（第1期）：96-985 朱德高，李桃生，费泰生高等代数M武汉：华中师范大学出版社20026 樊恽，钱吉林，岑嘉评，等代数学词典M武汉：华中师范大学出版社19947 任立顺高等代数研讨M知识出版社1996.108刘剑平线性代数及应用M华东理工大学出版社2001.致谢本论文能顺利成稿，首先要感谢指导老师 提供了丰富的相关的材料与书籍；其次要感谢指导老师在论文写作过程中给予极大的帮助；再次还是要谢谢晏老师不厌其烦的接受我们组庞大的工作量；最后要感谢系里对整个03级数本的细心指导及帮助特别是系主任 ，副主任 ，党支部书记 最后，在此祝全体数学系老师工作顺利，身体健康，年年发财，岁岁平安！19