《2018届海淀年高中数学c（理科）期末试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届海淀年高中数学c（理科）期末试题及答案.docx（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密启用前2018年高二海淀数学期末卷C理科考试范围：2，2-1；考试时间：100分钟；命题人：谭计韬题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一选择题（共9小题） 1已知直线2xy3=0的倾斜角为，则sin2的值是（）ABCD2已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆x2+y2=4上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为（）A（1，1）B1，1CD3等腰直角三角形ABC的直角顶点为C（3，3），若点A的坐标为（0，4），则点B的坐标可能是（）A（2，0）或（4，
2、6）B（2，0）或（6，4）C（4，6）D（0，2）4已知x，y，zR，=（x，2，1），=（1，y，z3），且，则2x+4y+2z的最小值是（）A6B6C8D85已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）A若m，m，=n，则mnB若，m，n，则mnC若，=m，则mD若，m，则m6若kR，则“k3”是“方程表示双曲线”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在
3、一起的方形伞（方盖）如图，正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）ABCD8如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABCD49已知实数x、y满足，则的最小值是（）A1B2C3D4 二填空题（共8小题） 10已知双曲线C：=1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为 11如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（ab0）的四个顶点，F为其右焦点，直
4、线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为 12一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 13已知函数f（x）=x|x|，存在x1，a+1时，使f（x2+a）4f（x）成立，则a的取值范围是 14已知点A（4，0）、B（2，1），点M在圆x2+y2=4上运动，则的最小值为 15如图，P是椭圆+=1在第一象限上的动点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，PT是F1PF2的平分线，过F2作PT的垂线，则|OH|的取值范围是 16已知动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0r），记
5、点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：f（1）=f（）=f（）=函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）17如图，已知棱长为4的正方体ABCDABCD，M是正方形BBCC的中心，P是ACD内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 三解答题（共7小题） 18已知直线l过圆（x+4）2+y2=16的圆心C且垂直与x轴，点F的坐标是（6，0），点G是圆上任意一点（1）若直线FG与直线l相交 于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（2）过点F作两条互相垂直的弦，设其弦长为mn，求m+n的最大值；（
6、3）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G，都有|GP|=2|GF|？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由19已知过A（0，2）的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径（）求C点轨迹E的方程；（）当AC不在轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点求证：PQC恒为直角三角形20如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线
7、段AH的长21已知椭圆Cn：+=n（ab1，nN*），F1，F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且=0；（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；（2）P为椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E，F，直线PF2交椭圆C4于点M，N，设直线PF1的斜率为k1，直线PF2的斜率为k2；（i）求证：k1k2= （ii）求|MN|EF|的取值范围22如图，已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y=2分别交于点M，N，（1）设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求线段MN的长的最小值；（3）当点P运动时，以
8、MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论23已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足=0，=2（）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（）若斜率为k的直线 l与圆x2+y2=1相切，直线 l与（）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且时，求k的取值范围24若F1，F2是椭圆C：+=1（0m9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点M（）求椭圆C的方程；（）过点（0，）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l1交x轴于点N，R是线段AN的中点
9、，求直线l1与直线BR的交点E的轨迹方程2018年高中数学C参考答案与试题解析 一选择题（共9小题） 1已知直线2xy3=0的倾斜角为，则sin2的值是（）ABCD【分析】首先根据直线斜率求出的正切值，然后利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解【解答】解：由直线2xy3=0方程，得直线2xy3=0的斜率k=2，直线2xy3=0的倾斜角为，tan=2，sin2=故选：C【点评】本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，考查了转化思想，属于基础题2已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆x2+y2=4上恰有4个点到直线l的距离都
10、等于1，则b的取值范围为（）A（1，1）B1，1CD【分析】若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案【解答】解：由圆C的方程：x2+y2=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，直线l的一般方程为：xy+b=0，d=1解得，即b的取值范围为（）故选：D【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题3等腰直角三角形ABC的直角顶
11、点为C（3，3），若点A的坐标为（0，4），则点B的坐标可能是（）A（2，0）或（4，6）B（2，0）或（6，4）C（4，6）D（0，2）【分析】设B（x，y），由题意可得：=1，=，化简解出即可得出【解答】解：设B（x，y），由题意可得：=1，=，化为：3xy6=0，（x3）2+（y3）2=10联立解得或B（2，0）或（4，6）故选：A【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4已知x，y，zR，=（x，2，1），=（1，y，z3），且，则2x+4y+2z的最小值是（）A6B6C8D8【分析】首先由向量垂直得
12、到关于x，y，z的等式，得到定值，利用基本不等式求最小值【解答】解：由已知x，y，zR，=（x，2，1），=（1，y，z3），且，所以=x+2y+z3=0即x+2y+z=3，所以2x+4y+2z=2x+22y+2z3=3=3=6；当且仅当x=2y=z等号成立；故选A【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算以及基本不等式求最值；注意基本不等式成立的条件5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）A若m，m，=n，则mnB若，m，n，则mnC若，=m，则mD若，m，则m【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，因为若m，m，=n，根据线
13、面平行的性质与判定，可得mn，正确；对于B，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题正确对于C，因为， 垂直于同一个平面，故， 的交线一定垂直于，正确对于D，若，m，则m或m，不正确，故选D【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面位置关系的判断，熟练掌握直线与平面之间位置关系的判定定理，性质定理，及定义和空间特征是解答此类问题的关键6若kR，则“k3”是“方程表示双曲线”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】方程表示双
14、曲线，可得（k3）（k+3）0，解得k范围即可判断出结论【解答】解：方程表示双曲线，可得（k3）（k+3）0，解得k3，或k3k3”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）如图，正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为
15、（）ABCD【分析】根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为与中截面面积为（2r）2的球的体积【解答】解：由题意，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为与中截面面积为（2r）2=R2的球的体积相等，所以几何体的体积为；故选C【点评】本题考查了利用祖暅原理，求等高的几何体体积，如果等高处的截面面积相等，得到几何体的体积相等8如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABCD4【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥PABCD【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥PABCD连接BD其体积V=VBPAD+VBPCD=故选：B【点评】本
16、题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知实数x、y满足，则的最小值是（）A1B2C3D4【分析】设z=，则x2=zy，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知x0，y0设z=，则x2=zy，（z0），对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y=x1与抛物线相切时，此时z取得最小值，将y=x1代入x2=zy，得x2zx+z=0，由=z24z=0得z=4或z=0（舍去），故的最小值是4，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 二填空题（共8小题） 10已知
17、双曲线C：=1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线C：=1（a0，b0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30=，可得：=，即，可得离心率为：e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力11如图，在平面直角坐
18、标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（ab0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为【分析】求出直线A1B2，直线B1F的方程，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而得出M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值【解答】解：直线A1B2的方程为y=+b，直线B1F的方程为y=xb，联立方程组，解得T（，），M（，），把M代入椭圆方程得：+=a2b2，即4c2+（a+c）2=9（ac）2，化简得：2a2+c25ac=0，e25e+2=0，解得e=或e=（舍去）故答案为：【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认
19、真审题，仔细解答12一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长轴为：=8，a2=b2+c2，c=2，椭圆的焦距为；故答案为：4【点评】本题考查椭圆焦距的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力13已知函数f（x）=x|x|，存在x1，a+1时，使f（x2+a）4f（x）成立，则a的取值范围是（0，1）【分析】根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调
20、性可将不等式f（x+2a）4f（x）可化为x+2a2x，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案【解答】解：f（x）=x|x|=x|x|=f（x），f（x）=x|x|奇函数，当x0时，f（x）=x2为增函数，函数f（x）在R上增函数，不等式f（x2+a）4f（x）可化为f（x2+a）4x|x|=2x|2x|=f（2x），存在x1，a+1，不等式x2+a2x成立，ax2+2x=（x1）2+11a+11，a0，故实数a的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性质的应用，以及恒成立的问题，属于中档题14已知点A（4，0）、B（2，1），点M在圆x2+y2=4上运动
21、，则的最小值为【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK由POKAOP，可得=，推出MK=MA，在MBK中，MB+MKBK，推出=|MB|+|PK|的最小值为BK的长【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OM、MK、BKOM=2，OA=4，OK=1，=，MOK=AOM，MOKAOM，=，MK=MA，|MB|+|MA|=|MB|+|MK|，在MBK中，|MB|+|MK|BK|，|MB|+|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，B（2，1），K（1，0），|BK|=故答案为：【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两
22、点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于压轴题15如图，P是椭圆+=1在第一象限上的动点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，PT是F1PF2的平分线，过F2作PT的垂线，则|OH|的取值范围是0，3【分析】如图所示，延长F2H与PF1相交于点M，根据已知PTF2M，MPH=F2PH，可得PMH=PF2H利用等腰三角形的性质可得：|PF2|=|PM|，|MH|=|HF2|利用三角形中位线定理可得：|OH|=|MF2|根据题意的定义可得|PF1|+|PF2|=2ak可得|OH|=|MF2|=（|PF1|PF2|），代入进而得出范围【解答】解：由+=
23、1，可得：a=4，b2=7，c=3如图所示，延长F2H与PF1相交于点M，PTF2M，MPH=F2PH，PMH=PF2H|PF2|=|PM|，|MH|=|HF2|又|F1O|=|OF2|OH|=|MF2|PF1|+|PF2|=24=8|PF1|=8|PF2|OH|=|MF2|=（|PF1|PF2|）=（82|PF2|）=4|PF2|P是椭圆+=1在第一象限上的动点，|PF2|ac，a，即|PF2|ac，a，即|PF2|1，4|OH|0，3故答案为：0，3【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题16已知动点P在棱长为1的
24、正方体ABCDA1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0r），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：f（1）=f（）=f（）=函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数其中为真命题的是（写出所有真命题的序号）【分析】由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案【解答】解：如图所示：当0r1时，f（r）=3r=r，f（）=，此时，由一次函数的单调性可得：0f（r）5，当1r时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cosDAF=，EAF=2DAF，cosEAF=sin2DAF=2=，cosEAG=，f（r
25、）=3rarccos+3rarccos；当r时，CM=，cosMAN=，f（r）=3rarccos，综上，当0r1时，f（r）=r，当1r时，f（r）=3rarccos+3rarccos；当r时，f（r）=3rarccos，故只有正确故答案为：【点评】熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键17如图，已知棱长为4的正方体ABCDABCD，M是正方形BBCC的中心，P是ACD内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为【分析】满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是ACD内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线STT
26、在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可【解答】解：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，P是ACD内（包括边界）的动点，点P的轨迹是两平面的交线STT在中点，S在4等分点时，SD=3，SM=3，满足SD=SMSD=3，TD=2ST2=2cos60=14ST=故答案为：【点评】本题考查了空间位置关系、垂直平分线的性质、线面垂直的判定与性质定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题 三解答题（共7小题） 18已知直线l过圆（x+4）2+y2=16的圆心C且垂直与x轴，点F的坐标是（6，0），点G是圆上任意一点（1）若直线FG与直线l相交 于点T，且G为线段
27、FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（2）过点F作两条互相垂直的弦，设其弦长为mn，求m+n的最大值；（3）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G，都有|GP|=2|GF|？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意，求出直线FG的方程，圆心C到直线FG的距离d，利用勾股定理求出FG被圆C所截得的弦长；（2）设两条弦的弦心距为d1，d2，则+=4，利用基本不等式求出m+n的最大值；（3）假设存在定点P（s，t）满足题意，由|GP|=2|GF|点P的坐标，即可得出结论【解答】解：（1）圆心C（4，0），直线l：x=4，F（6，0），根据题意设G（5，y0），
28、代入（x+4）2+y2=16，解得y0=，kFG=；直线FG的方程为y=（x+6），点C（4，0）到直线FG的距离为d=，直线FG被圆C所截得的弦长为2=7；（2）设两条弦的弦心距分别为d1，d2，则+=4；m+n=2（+）22=4，当且仅当d1=d2=时取“=”，m+n的最大值是4；（3）假设存在定点P（s，t），设G（x0，y0），则=2，整理得3（+）+（48+2s）x0+2ty0+144s2t2=0；又点G在圆C上，+=16，即+=8x0；把代入，整理得（2s+24）x0+2ty0+144s2t2=0，此时对圆上任意一点G（x0，y0）都成立，解得；存在定点P（12，0），使得对圆C上
29、的任一点G都有|GP|=2|GF|【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，求直线被圆截得弦长的问题，是难题19已知过A（0，2）的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径（）求C点轨迹E的方程；（）当AC不在轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点求证：PQC恒为直角三角形【分析】（）利用AC是直径，所以BABC，或C、B均在坐标原点，由此求C点轨迹E的方程；（）设直线AC的方程为y=kx+2，由得：x28kx16=0，利用韦达定理及对数的几何意义，证明QCPQ，即可证明结论【解答】（）解：设C点坐标为（x，y），则B点坐标
30、为因为AC是直径，所以BABC，或C、B均在坐标原点因此=（，2）（，y）=0，故有，即x2=8y，3 分另一方面，设是曲线x2=8y上一点，则有，AC中点纵坐标为，故以AC为直径的圆与x轴相切综上可知C点轨迹E的方程为x2=8y （5分）（）证明：设直线AC的方程为y=kx+2，由得：x28kx16=0设 C（x1，y1），P（x2，y2），则有x1x2=16 8 分由对x求导知，从而曲线E在P处的切线斜率，直线BC的斜率，10 分于是 因此QCPQ所以PQC恒为直角三角形 （12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题20如图，在三棱锥PAB
31、C中，PA底面ABC，BAC=90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长【分析】（）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC=90可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值；（
32、）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长【解答】（）证明：取AB中点F，连接MF、NF，M为AD中点，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN为BC中点，NFAC，又D、E分别为AP、PC的中点，DEAC，则NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC=90以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，
33、1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得由图可得平面CME的一个法向量为cos=二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为；（）解：设AH=t，则H（0，0，t），直线NH与直线BE所成角的余弦值为，|cos|=|=|=解得：t=或t=当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题21已知椭圆Cn：+=n（ab1，nN*），F1，F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且=0；（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；（2）P为
34、椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E，F，直线PF2交椭圆C4于点M，N，设直线PF1的斜率为k1，直线PF2的斜率为k2；（i）求证：k1k2= （ii）求|MN|EF|的取值范围【分析】（1）椭圆C4的方程为：=4，即：=1不妨设c2=a2b2，则F2（2c，0）由=0，可得2c=2，=，2b4=a2=b2+1，解出即可得出（2）（i）椭圆C2的方程为：+y2=2 即：+=1椭圆C4的方程为：=1设P（x0，y0），由P在椭圆C2上，可得y02=（4x02）再利用斜率计算公式即可证明k1k2为定值（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x2）
35、，与椭圆方程联立消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k128=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用根与系数的关系可得|EF|=，|MN|利用（i）的结论代入|EF|MN|，化简即可证明【解答】解：（1）解：椭圆C4的方程为：=4，即：=1不妨设c2=a2b2 则F2（2c，0）=0，于是2c=2，=，2b4=a2=b2+1，2b4b21=0， （2b2+1）（b21）=0，b2=1，a2=2椭圆Cn的方程为：+y2=ne2=，e=椭圆C1的方程为：+y2=1（2）（i）证明：椭圆C2的方程为：+y2=2 即：+=1椭圆C4的方程为：+y2=4 即：=1F1（2，0），F2（
36、2，0），设P（x0，y0），P在椭圆C2上，=1，即y02=（4x02）k1k2=（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x2），联立方程组： 消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k128=0设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=|EF|=同理：|MN|=|EF|MN|=32=32=16+18，又|EF|MN|0|EF|MN|（16，18【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于
37、难题22如图，已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y=2分别交于点M，N，（1）设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求线段MN的长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论【分析】（1）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（2）分别求出M和N点的坐标，由（）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（3）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，
38、由=0，列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标【解答】（1）证明：由题设椭圆可知，点A（0，1），B（0，1）令P（x0，y0），则由题设可知x00直线AP的斜率，PB的斜率为k2=又点P在椭圆上，所以=1，从而有k1k2=为定值（2）解：由题设可得直线AP的方程为y1=k1（x0），直线PB的方程为y（1）=k2（x0）由，解得x=，y=2；由，解得x=，y=2直线AP与直线l的交点N，直线PB与直线l的交点M又k1k2=|MN|=+4|k1|=4等号成立的条件是，即k1=故线段MN长的最小值为4（）解：以MN为直径的圆恒过定点（0，22）事实上，设点Q（x，y）是
39、以MN为直径圆上的任意一点，则=0，故有+（y+2）2=0又k1k2=所以以MN为直径圆的方程为x2+（y+2）212+=0，令x=0，则方程化为（y+2）212=0，解得y=2以MN为直径的圆恒过定点（0，22）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题23已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足=0，=2（）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（）若斜率为k的直线 l与圆x2+y2=1相切，直线 l与（）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且时，求k的取值范围【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b22=0，0，可得k0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其，解出即可得出【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的