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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高三数学第一轮复习测试及详细解答(9)立体几何高三数学第一轮复习测试及详细解答(9)立体几何 高三数学第一轮复习单元测试（8） 立体几何一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
2、若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D42将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是（ ）A B C D3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，这个长方体对角线的长为（ ）A2 B3 C6 D4已知二面角l的大小为600,m、n为异面直线,且m,n,则m、n所成的角为（ ）A300B600C900D12005如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的
3、度数为 （ ）A90 B60 C45 D06两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1个 B2个 C3个 D无穷多个7正方体ABCDABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（ba，Q点在DC上滑动，则四面体AEFQ的体积为（ ）A与E、F位置有关 B与Q位置有关C与E、F、Q位置都有关 D与E、F、Q位置均无关，是定值8（理）高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（ ）A B2 C D（文）三个两两垂直的平面，它们的三
4、条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为123，PO=2，则P到这三个平面的距离分别是（ ）A1，2，3 B2，4，6 C1，4，6 D3，6，9 9如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有 （ ）AS1S2CS1=S2DS1，S2的大小关系不能确定10已知球o的半径是1,ABC三点都在球面上,AB两点和AC两点的球面距离都是,BC两点的球面距离是,则二面角BOAC的大小是（ ）ABCD11条件甲：四棱锥的所有侧面都
5、是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件12已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是（ ）Ab=（1）a Bb=（+1）a Cb= Db=二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_.14若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_ABCDA1B1C1D1第16题图A
6、115若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.16多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： （ ）3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17（本小题满分12分）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18（本小题满分12分）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公
7、垂线段。点A、B在上，C在上，.（1）证明；（2）若，求与平面ABC所成角的余弦值.19（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱 上的一点，.（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.20（本小题满分12分）（理）如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c.（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MNAB；（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为，当为何值时（与a、b、c无关），MN是直线AB和PC的公垂
8、线段.（文）正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.（1）求证：PB平面MNB1；（2）设二面角MB1NB为，求cos的值.21（本小题满分12分）已知正方形.、分别是、的中点,将ADE沿折起,如图所示,记二面角的大小为.（1）证明平面;（2）若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值. AACBDEFBCDEF22（本小题满分14分）如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.（1）求证:MN面ADD1A1;（2）求二面角PA
9、ED的大小;（3）求三棱锥PDEN的体积.参考答案（8）1. D利用特殊图形正方体我们不难发现、均不正确，故选择答案D.2. D由题意易知ABC1是AD与BC1所成的角，解ABC1，得余弦为.答案：D3. D设长宽高为a、b、c，则l=，答案：D4. B.作图可知满足条件的m、n所成的角1200为故应选B.5. B平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJFD，GHFD，MJGH，IJM为异面直线GH与JI所成的角.由已知条件易证MJI为正三角形.IJM=60.答案：B6. D 法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个法二：通过计算，显然
10、两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，所以该几何体的体积取值范围是7. DVAEFQ=VQAEF.8.（理）B过球心作平行于底的截面，R=2tan30=2.（文）B9. C 连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C10. 如图,由题可知AOB=AOC=,而BOC=,因为OA=OB=OC=1,所以BC=1,且分别过B C作OA的垂
11、线,垂足为同一点M,于是BMC为二面角BOAC的平面角,所以BM=CM=,从而BMC=,应选C.11. B乙甲，但甲乙，例如四棱锥SABCD的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.12. C由平行锥体底面的截面性质，知=，=.= .b=a.答案：C13. 底面正方形面积，底面边长，高，二面角的余切值.代入数据，得：.又必为锐角，所以 .14.不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.15. ABCDA1B1C1D1第16题图A116. 如图，B、D、A1到平面的距离分别为 1、2、4，则D、A1
12、的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离 为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以填17.法一：连接， 为异面直线与所成的角. 连接，在中， 则 . 异面直线与所成角的大小为. 法二：以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则 ， 得 . 设与的夹角为， 则， 与的夹角大小为， 即异面直线与所成角的大小为. 18.（）AM = MB = MN，说明NM是ANB的中线且为边AB的一半，所以ANB是
13、直角三角形，其中ANB为直角。所以BNNA。且MN面ABNBN。由、可推出BN面NAC。所以ACBN。（）MNAB且M为AB中点AN = MN 由（）知，AN、BN、CN两两垂直 由、 AC = BC，又ACB = ，所以ABC是等边三角形。设BN长度为1，则AB = ，三棱锥的体积为：；三棱锥的体积为：由可得 点N到面ABC的距离记NB与平面ABC所成角为，则。从而实际上，这个题的命题背景是是正方体的一个“角”。如图3.19. 法一：（）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面 相交于点，,连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又AOBD,AOBB1，所以
14、AO平面，故AGO是AP与平面所成的角. 在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为.（）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。法二：()建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为 平面的一个法向量.设AP与平面所成的角为，则依题意有解得故当时
15、，直线AP与平面所成的角的正切值为（）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1QAP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.20. （理）（1）证明：以A为原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则A（0，0，0），B（a，0，0），M（，0，0），N（，）.=（a，0，0），=（0，）.=0ABMN.（2）P（0，0，c），C（a，b，0），=（a，b，c），若MN是PC、AB的公垂线段，则=0，即+=0b=c.CDPD，又AP面ABCDCDDAPDA是二面角PCD
16、A的平面角.PDA=45，即二面角PCDA是45.（文）（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）. =（2，2，1）（0，1，2）=0，MB1PB，同理，知NB1PB.MB1NB1=B1，PB平面MNB1.（2）PB平面MNB1，BA平面B1BN，=（2，2，1）与=（0，2，0）所夹的角即为，cos=.21. ()EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD, 四边形EBFD为平行四边形.BF/ED平面.（2）法一:如右图,点A在平
17、面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形, AC=ADCG=GD G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点, 又因, 所以 又且 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射
18、影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中, AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形, F为CD的中点, 又因, 所以 又 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为
19、直角三角形, 在RtADE中, , .22. 法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、D1(0,0,a) E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,E(),P(),M() ,N()(1) ,取,显然面ADD1A1而,.又MN面ADD1A1, MN面ADD1A1;(2)过P作PHAE,交AE于H.取AD的中点F,则F,设H(x,y,0),则,.又,由以及H在直线AE上可得:解得x=,y=. ,所以即,与所夹的角等于二面角PAED的大小.,所以二面角PAED的大小.()设为平面DEN的法向量, 又,P点到平面DEN的距离为d=,.所以.法二:()证明:取的中点,连结 分别为的中点 面,面 面面 面(2)设为的中点为的中点 面作,交于,连结,则由三垂线定理得从而为二面角的平面角.在中,从而.在中,故:二面角的大小为（3）.作,交于,由,得,.在中,.-