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1、 选修选修4 44 4坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一讲第一讲 坐标系坐标系四四. . 柱坐标系与球坐标系简介柱坐标系与球坐标系简介问题提出问题提出t57301p2 1. 1.平面直角坐标系和极坐标系分别是平面直角坐标系和极坐标系分别是怎样建立的？怎样建立的？平面直角坐标系：平面直角坐标系：由两条互相垂直的有由两条互相垂直的有向直线建立的；向直线建立的；平面极坐标系：平面极坐标系：由一点引一条射线建立由一点引一条射线建立的的. . 2. 2.空间直角坐标系是怎样建立的？空间直角坐标系是怎样建立的？由三条两两互相垂直的有向直线建立的由三条两两互相垂直的有向直线建立的. . 3. 3.通过平
2、面直角坐标系或极坐标系，通过平面直角坐标系或极坐标系，使得平面上的点可以用直角坐标或极坐使得平面上的点可以用直角坐标或极坐标表示，对空间一点，可以用空间直角标表示，对空间一点，可以用空间直角坐标表示，但在某些实际问题中，用空坐标表示，但在某些实际问题中，用空间直角坐标表示空间点的位置并不方便，间直角坐标表示空间点的位置并不方便，因此，我们还需要建立新的空间坐标系因此，我们还需要建立新的空间坐标系来解决这些问题来解决这些问题. .探究（一）：探究（一）：柱坐标系柱坐标系 思考思考1 1：有一个圆形体育场，自正东方向有一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区起，按逆时针方向等分
3、为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区域，顺次记为一区，二区十二区，十二区，那么每个座位票是如何设定的？那么每个座位票是如何设定的？ 第几区，第几排，第几座第几区，第几排，第几座. . 思考思考2 2：设体育场第一排与体育场中心设体育场第一排与体育场中心O O的距离为的距离为300m300m，前后相邻两排的间距都，前后相邻两排的间距都为为1m1m，每层看台的高度为，每层看台的高度为0.6m0.6m，那么第，那么第九区第三排正中的位置九区第三排正中的位置A A与体育场中心与体育场中心O O的水平距离为多少的水平距离为多少m m？从正东方向到位置？从正东方向到位置A A的水平旋转角是多少？位置的水平
4、旋转角是多少？位置A A距地面的距地面的高度为多少高度为多少m m？ 302m 302m， ，1.8m1.8m1712思考思考3 3：根据坐标思想，可以用数组根据坐标思想，可以用数组(302(302， ，1.8)1.8)表示点表示点A A的准确位置，那的准确位置，那么这个空间坐标系是如何建立的？么这个空间坐标系是如何建立的？1712x xO Oz z在水平面内建立极坐标系在水平面内建立极坐标系OxOx，过极点，过极点O O作水平面的垂作水平面的垂线线 Oz.Oz.P Px xO Oz z思考思考4 4：上述所建立的坐标系叫做上述所建立的坐标系叫做柱坐标柱坐标系系，对于空间一点，对于空间一点P
5、P，点，点P P的柱坐标如何的柱坐标如何表示？表示？Q Qz z设点设点P P在水平面上的射影为在水平面上的射影为Q Q，点，点Q Q的极坐标的极坐标为为 ( (，) )，点，点Q Q与点与点P P的有向距离为的有向距离为z z，则，则有序数组有序数组 ( (，z)z)为点为点P P的柱坐标的柱坐标. .思考思考5 5：为了表示方便，柱坐标为了表示方便，柱坐标 ( (，z)z)中三个坐标分量的取值范围分别中三个坐标分量的取值范围分别如何约定为宜？如何约定为宜？P Px xO Oz zQ Qz z00，00，2)2)， zRzR. .思考思考6 6：若按如图所示建立空间直角坐标若按如图所示建立空
6、间直角坐标系和柱坐标系，那么点系和柱坐标系，那么点P P的直角坐标的直角坐标 (x(x，y y，z) z) 和柱坐标和柱坐标( (，z)z)之间的互化之间的互化公式是什么？公式是什么？P Py yO OQ Qz zz zx xx xcoscos， y ysinsin， z zz.z.思考思考7 7：给定一个底面半径为给定一个底面半径为r r，高为，高为h h的的圆柱，建立柱坐标系，如何利用柱坐标圆柱，建立柱坐标系，如何利用柱坐标描述圆柱的侧面？描述圆柱的侧面？P Py yO Oz zx xQ Qr r， 00，2)2)， z0z0，h.h.北极北极南极南极赤道赤道地轴地轴P子子午午线线o南极南
7、极赤道赤道P地轴地轴北极北极o探究（二）：球坐标系探究（二）：球坐标系 思考思考1 1：地球上一点地球上一点P P的经度和纬度分别是什的经度和纬度分别是什么概念？对地球表面上一点的位置，一般用么概念？对地球表面上一点的位置，一般用哪种方式来确定？哪种方式来确定？经度：经度：过点过点P P从北极到南极的半圆面与子从北极到南极的半圆面与子午面所成的二面角的平面角；午面所成的二面角的平面角；纬度：纬度：过点过点P P的球半径与赤道平面所成的的球半径与赤道平面所成的角角. .对地球表面上一点的位置一般用经度和对地球表面上一点的位置一般用经度和纬度来确定纬度来确定. . 航天器到地表面的距离，航天器所处
8、航天器到地表面的距离，航天器所处位置的经度和纬度位置的经度和纬度. .思考思考2 2：要确定航天器在天空中某一时刻要确定航天器在天空中某一时刻的位置，可通过哪些数据来确定？的位置，可通过哪些数据来确定？思考思考3 3：设航天器到地表面的距离为设航天器到地表面的距离为r r，航天器所处位置的经度为航天器所处位置的经度为，纬度为，纬度为，如何建立空间坐标系，才能方便得出如何建立空间坐标系，才能方便得出r r，的值？的值？Q QO Oz zx xr在赤道平面上，取在赤道平面上，取地球球心为极点，地球球心为极点，以与零子午线相交以与零子午线相交的球半径所在射线的球半径所在射线OxOx为一条极轴，再为一
9、条极轴，再以经过北极的球半以经过北极的球半径所在射线径所在射线OzOz为另为另一条极轴一条极轴. .P P思考思考4 4：上述坐标系称为上述坐标系称为球坐标系球坐标系或或空间空间极坐标系极坐标系，因为极角是极径与极轴所成，因为极角是极径与极轴所成的角，那么航天器的纬度角的角，那么航天器的纬度角可换成哪可换成哪个角来反映？个角来反映？P PQ QO Oz zx xr射线射线OPOP与与OzOz轴正轴正向所夹的角为向所夹的角为. .思考思考5 5：一般地，在球坐标系中，对空一般地，在球坐标系中，对空间任意一点间任意一点P P，设，设|OP|OP|r r，射线，射线OPOP与与OzOz轴正向所夹的角
10、为轴正向所夹的角为，OxOx轴按逆时针方轴按逆时针方向旋转到向旋转到OPOP在水平面上的射影在水平面上的射影OQOQ所转过所转过的最小正角为的最小正角为，则点，则点P P的位置可以用的位置可以用有序数组有序数组(r(r，)表示，该有序数表示，该有序数组叫做点组叫做点P P的的球坐标球坐标，其中三个坐标分，其中三个坐标分量的取值范围分别是什么？量的取值范围分别是什么？ r0 r0， 00， 00，2).2).P PQ QO Oz zx xr(r(r，)思考思考6 6：若按如图所示建立空间直角坐标若按如图所示建立空间直角坐标系和球坐标系，那么点系和球坐标系，那么点P P的直角坐标的直角坐标 (x(
11、x，y y，z) z) 和球坐标和球坐标(r(r，)之间的互化之间的互化公式是什么？公式是什么？P PQ QO Oz zx xry yx xrsincosrsincos， y yrsinsinrsinsin， z zrcosrcos. .思考思考7 7：利用空间直角坐标系，柱坐标系利用空间直角坐标系，柱坐标系或球坐标系，研究空间图形的几何特征或球坐标系，研究空间图形的几何特征时，应如何根据问题的特点选择坐标系？时，应如何根据问题的特点选择坐标系？涉及三个距离用空间直角坐标系；涉及三个距离用空间直角坐标系；涉及两个距离和一个角用柱坐标系；涉及两个距离和一个角用柱坐标系；涉及一个距离和两个角用球坐
12、标系涉及一个距离和两个角用球坐标系. .理论迁移理论迁移 例例 在长方体在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB1 1，ADAD ，BBBB1 12 2，在如图所示的坐，在如图所示的坐标系中，分别写出顶点标系中，分别写出顶点B B1 1，C C1 1的直角坐的直角坐标，柱坐标和球坐标标，柱坐标和球坐标. .3A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD D1 1D Dx xy yz z小结作业小结作业 1. 1.柱坐标系是由平面极坐标系和空柱坐标系是由平面极坐标系和空间直角坐标系中的一部分建立起来的，间直角坐标系中的一部分建立起来的，
13、所以柱坐标系又叫半极坐标系，其中柱所以柱坐标系又叫半极坐标系，其中柱坐标坐标(，z)z)的前两个坐标分量就是的前两个坐标分量就是平面极坐标，后一个坐标分量就是空间平面极坐标，后一个坐标分量就是空间直角坐标系中的竖坐标直角坐标系中的竖坐标. . 2. 2.球坐标系在地理学、天文学中有着广球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用，在测量实践中，角泛的应用，在测量实践中，角称为被称为被测点测点P(rP(r，)的方位角，的方位角，9090称为高低角称为高低角. . 3. 3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化互转化. .但不同的坐标系有不同的特点，但不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，要根据问题的特点选择在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使研究过程方便、简捷适当的坐标系，使研究过程方便、简捷. .作业：作业：学海导航学海导航练习册练习册. .