高一数学预科班资料.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高一数学预科班资料高一新生入学考试试卷前 言课时安排：第一讲 集合的含义与表示第二讲 集合间的基本关系第三讲 集合的基本运算（一）第四讲 集合的基本运算（二）第五讲 一次函数、一次不等式与二次函数第六讲 一元一次不等式、一元二次方程第七讲 函数的概念第八讲 函数的表示法第九讲 单调性与最大（小）值第十讲 奇偶性第十一讲 指数与指数幂的运算第十二讲 指数函数及其性质第十

2、三讲 对数与对数运算 第十四讲 对数性质的应用第十五讲 小结与测试资料说明：本资料适用于高一预科班，内容为必修1的前半部分内容，授课对象为初三升入高一的学生，他们在很大程度上还没适应高中的学习，所以本资料紧扣教材，有点象教师的教案，有点象教材，也可作为学生听课笔记。每一讲的每一道题如果都讲解，可能没有这么多的时间，再者学生层次不一，拓广探索的题可选上，思考题可不上（仅供有一定的数学基础和数学学习兴趣的同学参考），请上课教师斟酌考虑，自行安排。由于本人水平有限，资料有不足之，敬请各位同仁多提宝贵意见，不胜感谢。第一讲 集合的含义与表示、引入在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：（1）自然数

3、的集合；（2）有理数的集合；（3）不等式的解的集合；（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）；（5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ）、新授一、集合的概念：新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（）， 把一些元素组成的总体叫做集合（）（简称为集 ）。旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。例1：判断下列哪些能组成集合。（1）120以内的所有质数； （2）我国从19912003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（

4、5）所有的正方形； （6）到直线的距离等于定长的所有的点；（7）方程的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生；（9）身材较高的人；（10）1，1；（11）我国的大河流；问：（1）3，2，1、1，2，3、2，1，3这三个集合有何关系？ （2）1，2，2，3，2，4，3，5是否为一个集合？点评： 1、 集合元素的性质： （1） （2） （3） 2、经常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示集合中的元素。例如：A=太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋； B=a,b,c,d,e,f,g; 特例：C=A,B3、如果a是集合A的元素，就说a属于（belong

5、to）集合A，记作 ； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to ）集合A，记作 。例如：太平洋 A B B4、数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 ； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 ； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 ； 有理数组成的集合称为有理数集，记作 ； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 。二、集合的表示方法我们可以用自然语言描述一个集合，还可以用列举法、描述法等来表示集合。1、 列举法 概念：把集合中的元素一 一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法自然语言描述：“地球上的四大

6、洋”组成的集合 列举法：自然语言描述：“方程的所有实数根”组成的集合列举法：例2、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合；（3）由120以内的所有质数组成的集合。问：（1）你能用自然语言描述集合2，4，6，8吗？ （2）你能用列举法表示不等式的解集吗？2、描述法 我们不能用列举法表示不等式的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。 例如，不等式的解集中所含元素的共同特征是：所以，我们可以把这个集合表示为 D= 又如，任何一个奇数都可以表示为的形式。所以，我们可以把所有奇数的集合表示为 E

7、= 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。点评：，有时可以省略 例如：D= E=例3、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1） 方程的所有实数根组成的集合；（2） 由大于10小于20的所有整数组成的集合。三、例题解析1 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A 所有的正数 B 等于的数 C 接近于的数 D 不等于的偶数2 下面有四个命题：（1）集合中最小的数是； （2）若不属于，则属于；（3）若则的最小值为； （4）的解可表示为；其中正确命题的个数为（ ）A 个 B 个 C 个 D 个 3、若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D

8、 等腰三角形4、下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集 A 个 B 个 C 个 D 个5、方程组的解集是（ ）A B C D 6、下列式子中，正确的是（ ）A B C 空集是任何集合的真子集 D 四、拓广探索1、已知由实数，3，为对象组成的集合为M，且M中仅含有3个元素，求实数的值。2、已知集合A=。（1）若A中只有一个元素，求的值，并求出该元素；（2）若A中至多只有一个元素，求的取值范围。3、已知集合M= ，N= 表示同一集合，其中，求 的值五、思考（本题仅供参考）4、设集合M =

9、 。（1）试验证5和6是否属于集合M；（2）关于集合M，还能得到什么结论吗？第二讲 集合间的基本关系、温故知新1、 用描述法表示集合：1，2、用列举法表示集合：|3、若，则3，中的元素应满足什么条件？、新授一、几个概念观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？ （1）A=1，2，3， B=1，2，3，4，5； （2）设A为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合； （3）设A=|是两条边相等的三角形， B=|是等腰三角形。子集：一般地，对于两个集合A，B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系， 称集合A为集合B的子集（），

10、记作 （或 ）读作“ ”（或“ ”）如：| |；两集合相等：如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作 与实数中的结论“若，且，则。”相类比，你有什么体会？ | ，1真子集：如果集合AB，但存在元素B，且A，我们称集合A是集合B的 （ ），记作 （或 ）。读作“ ”（或“ ”）A=|是正方形 B=|是四边形空集：我们把不含任何元素的集合叫做 （ ），记作 ，例如：|= 点评：1、和分别可以用和表示；2、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V图（韦恩图）BA 例如：AB可以用下图表

11、示3、任何一个集合是它本身的子集，即AA；4、规定：空集是任何集合的子集；， ， 空集是任何非空集合的真子集；5、子集的传递性 （1）对于集合A、B、C，如果A B， B C， 那么A C （2）对于集合A、B、C，如果A B， B C， 那么A C6、注意区别：A 与 A二、例题解析1、集合与0的关系是（ ）A、0 = B、 0 C、 0 D、0 2、判断A=|， B=|，是否相等。3、下列四个集合中，是空集的是（ ）A B C D 4、设集合,且，则实数的取值范围是 5、写出集合a，b的所有子集，并指出哪些是它的真子集。三、拓展探索1、已知集合，试用列举法表示集合 2、已知，,求的取值范围

12、 3、设A=|，B=|，且BA，求实数组成的集合，并写出它的所有非空真子集。4、设A= ，B= 。（1）若BA，求的值（2）若AB，求的值5、已知A= ，求： （1）集合A的子集的个数； （2）若集合A含有元素分别为1个、2个、3个、4个、5个，则子集的个数分别是多少？ （3）据上面的结果猜测集合A含有个元素时，集合A的子集的个数。6、设集合，试确定集合A与B的关系.四、思考（本题仅供参考）7、设，集合，试确定集合A与B的关系. 思考？第三讲 113集合的基本运算（一）引：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的

13、关系吗？(1) A=1，3，5， B=2，4，6， C=1，2，3，4，5，6；(2) A=是有理数， B=是无理数， C=是实数。一、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（ ），记作 （读作“ ”），即 并集的Venn图表示：ABAAB点评： （1）“或”包括下列三种情况： （2）AA= ； A= （3）AB=BA（4）（5）AB,ABB例1、设A=4，5，6，8， B=3，5，7，8，求AB例2、设集合A=，集合B=，求AB点评：我们还可以在数轴上表示例2中的并集AB，即：引：考察下面的的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？（1） A=2，4

14、，6，8，10， B=3，5，8，12， C=8；（2） A=是新华中学2004年9月在校的女同学，B=是新华中学2004年9月在校的高一年级同学，C=是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学，二、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（ ），记作 （读作“ ”），即 交集的Venn图表示：点评：（1）AA= ； A= 。（2）AB=BA（3）（4）ABA, ABB（5）联系并集与交集的性质有结论：ABAAB例3、新华中学开运动会，设 A=是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学，B=是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学， 求AB。例4、设平面内直线上点的

15、集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系。三、拓展探索1、已知集合，若，求实数的值2、已知集合A=，B=，若AB，求实数的取值范围。3、设A=，B=，若AB=，AB=，求的值。4、已知集合A=，B=，且AB，求实数的取值范围5、设集合，已知，求的值.四、思考6、已知集合，若，且，求.第四讲 集合的基本运算（二）在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如方程（的解集，在有理数范围内只有一

16、个解2，即（= ；在实数范围内有三个解： ，即（= ；答：2；2，；一、 全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（ ），通常记作 。二、补集对于一个集合A，由全集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（ ），简称为集合A的补集，记作 ，即 答案：U；, CUA=x| x U且x AAUCuA补集的Venn图表示点评：补集的性质： 例1、若 S = 2， 3， 4 ， A = 4，3 ， 则= 。例2、若U = 1，3， ，A = 1，3 ， = 5 ，则= 。 例3、设全集U = 2，3， ，A = |，2 ， = 5 ，

17、求。例4、设U = 是小于9的正整数，A = 1，2，3，B=3，4，5，6，求，。例5、设全集U = 是三角形，A = 是锐角三角形，B= 是钝角三角形，求， AB， 。三、奇数集和偶数集形如2的整数叫做偶数，形如的整数叫做奇数，全体奇数的集合简称奇数集，全体偶数的集合简称偶数集。例6、已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求AB，AB，。四、拓展探索1、下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A B C D 2、若全集，则集合的真子集共有（ ）A 个 B C 个 D 个3、若集合，且，则的值为（ ）A B C 或 D 或或4、若集合，则有（ ）A B C D5、下列表述中错误的是（ ） A 若

18、 B 若C D 6、若集合，则的非空子集的个数为 。7、若集合，则_ 8、设全集， 9、设全集U = 1，2，3，4 ，A = ，求，。10、（1）已知全集U = 2，5，M=2，|，且，求的值； （2）若A=0，2，4，=-1，1，=-1，0，2，求B。 五、思考1、设全集U = 1，2，3，4，5，6，7，8，A = 3，4，5 ， B = 4，7，8 求：（1）、，（）（），（）（）。（2）、AB，AB，。2、已知U=R，集合，求， 3、设集合，已知，求. 4、设全集，已知=1，6，=2，3，=0，5，求集合A、B.第五讲 一次函数、一次不等式与二次函数【知识要点】1.一次函数：形如 的

19、函数称为一次函数.2.函数的图象： b0 b0k0 =0 0 =0 0 的图象x1x2 3.简单分式不等式的解法：设为常数，则（1） .（2） .【问题思考】1.当时，不等式的解集如何？2.解一元二次不等式的基本步骤如何？【理论迁移】例1 解下列不等式：（1）； （2）.例2 设为实常数，解下列不等式：（1）； （2）.【拓展探索】1、 已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围.2、设集合，B=2，3，C=-4，2，若，求实数的值. 3.如果关于的方程至少有一个正数解，求实数的取值范围. 4、设【思考】1、 设,其中,如果，求实数的取值范围 2、设，集合，；若，求的值 3、设集合，（其中

20、为正常数），若，求实数的取值范围. 第七讲 函数的概念、课题导入 初中函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。已学过：正比例函数： 反比例函数： 一次函数： 二次函数： 请同学们思考下面两个问题：问题一： 是函数吗？问题二： 与 是同一函数吗？、讲授新课一、函数的概念：一般地，我们有：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（），记作 ，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 。与x的值相应的y（或）值叫做函数值，函数值的集合 叫 ，显然 例：正比例函数：的定义域为 ，值域为 ，反比例函数： 的定义域为 ，值域为 一次函数： 的定义域为 ，值域为 二次函数： 的定义域为 ，值域为 点评：（1）（2）（3）（4）（5）（6）回顾上述问题一、问题二：思考：能成为函数吗？二、区间的概念： 设a, b是两个实数，而且a 0恒成立，试求实数的取值范围。第十讲