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1、 初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。一. 转化为证明相等的一般方法通过作图转化1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）分解法把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量合成法作出两个小量的和，证它与大量相等2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍折半法作出大量的一半，证它与小量相等加倍法作出小量的2倍，证它与大量相等应用有关定理转化1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半3. 直角三角形中，
2、含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为217. 有关比例线段定理二. 用代数恒等式的证明1. 由左证到右或由右证到左2. 左右两边分别化简为同一个第三式3. 证明左边减去右边的差为零4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：ABC中，B2C，AD是高求证：DCABBD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。可以高AD为轴作ADB的对称三角形ADE，再证ECAE。AEBB2C且AEBCEAC，EACC辅助线是在DC上取
3、DEDB，连结AE。分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BFAB，连结AF，则可得ABD2F2C。例2.已知：ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N求证：AH2MO，BH2NO证明一：（加倍法作出OM，ON的2倍）连结并延长CO到G使OGCO连结AG，BG则BGOM，BG2MO，AGON，AG2NO四边形AGBH是平行四边形，AHBG2MO，BHAG2NO证明二：（折半法作出AH，BH的一半）分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN则FGMNAB，F
4、GMNAB又OMAD，OMNHGF（两边分别平行的两锐角相等）同理ONMHFGOMNHFG例3. 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CEADAE，F是AB的中点求证：DCE2BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CEADAE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。辅助线如图，证明（略）自己完成例4.已知：ABC中，B和C的平分线相交于I，求证：BIC90A证明一：（由左到右）BIC180（12）180（ABCACB
5、）180（ABCACBA）A90A证明二：（左边右边0）BIC（90A）180（ABCACB）90A90（ABCACBA）证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）AABCACB180A180（ABCACB）A90（ABCACB）90A180（ABCACB），即BIC90A三、练习1. ABC中，B2C，AD是角平分线，求证：ACABBD2. ABC中，B2C，AD是高，M是BC的中点，则AB2DM3. ABC中，B的平分线和C的外角平分线交于E，则A2E4. ABC的ABAC，CD是中线，延长AB到E使BEAB，连结EC，则CE2CD5. 已知：等腰直角三角形ABC中，ARt，BD是角平分线
6、求证：BCABAD6. 已知：ABC中，ABAC，AD是高，AE是角平分线求证：DAE（BC）7. 已知：ABC中，ABAC，点D在AC的延长线上，求证：CBD（ABDD）8. 已知：AD是ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F求证：BF4EF9. 已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分DAE，交CD于F求证：AEBEDF10. 在ABC中，BACRt，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平分线AD延长线交MN于E，则BC2NE（1987年泉州市双基赛题）11. 以RtABC两直角边AC，BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG，分别过E，G作斜边AB所在直线
7、的垂线段EE，GG，则ABEE，GG，12. 已知：ABC中，ABAC，AD是高，CE是角平分线EFBC于F，GECE交CB延长线于G，求证：FDCG（提示：以CE为轴作CEG的对称三角形）13. 已知：ABC中，A100，ABAC，BD是角平分线求证：BCBDAD14. 已知：正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交BD于F，O是对角线的交点求证：CE2FO15. 已知：如图AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE2AD求证：ADE2BDE16. 已知：ABC中，ABACBC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆和ABC的外接圆交于点F求证：BFAF
8、FC（1991年全国初中数学联赛题）（提示：在BF上取BGCF）（15）（16）练习题参考答案1. 以AD轴作轴对称三角形2. 取AB中点N，再证明DNDM3. 利用外角性质，分别用两角差表示A和E4. 有多种证明方法，注意三角形中位线性质5. 在BC上取BEBD，则EDC等腰，作DFBC交AB于F，可证ECDADF6.B（BAEDAE）90，C（EACDAE）907.ABC ACBDCBD，两边同加上CBD10.作高AH12延长GE交AC于M，则E是GM的中点，作EPBC交AC于P，则EP被AD平分16. 在BF上截取BGFC，BGECFA，再证GEGF4 证 截 平 ，的 长作 加边 ，
9、， 性位角注法 表两分， 证 中角角对答参 ） 取 ：题赛中全 （点交圆 和外 ， 且，的 点上点 中 交，于都 图 交线对 分 方 分平 0 ， 形三称 示 分是高 中 ，段的直 斜 过， 形外边 角两题题双 线 分 线 中 于 ，平点上 ， 正 于 长 点的 的 （ 上线 ， 中 分平是高 ， 分平 角角 连 长中 的 则于线平 和的 则中 高 证，角 中练0 ） 0 ） 00 形变行出的从三 0） （ ）边（ 0 0） 右左（0 于相 ， 完自（，图些些想后图（延 ）量它 形把也左（延 方在）的 效效，设脱法或加想果用件发虑考显题 中的是 上 ， 方在已 等等的平两（ ， 结 的， 半的
10、 出折： ， 形边行 ， ， 连 使到长倍倍 出加： ， ，交垂 条 于 高， 知 可则结， 使到长线明 段对 ，轴等 与证成 法合 上 证再形对 轴 等 证，两 解 是 中 ：例结的求，过发式为差边边三个为别边到右右证等定线 中）线（ 角于的角角角个邻不于外一一边于角对的含形一的于边角一一两位梯一三第中转理相大证倍小法相小证一大出 ）（另）段相量它和小作小小等们证部大法补长（）两）段一转图方一相法明式数用系相的明为转法两分倍差、提容倍倍选选学数 数选提、法为系数明方转）补大们小它段）出证相倍大中一两一于含角一外个角角（中线右边别边为，结： 证等轴 上 长到则 于 交，：出倍使连， 边， 的， ，（的等 方， 显发用或设效）方左形量延后些（ 相 左）0 边 ） 从行 ） 的线 平 ，高分 线 的 上平于 线 双两角外 过的， 中 高 称形0 分方 分 交 于 中 点的 ，圆点（全：取）答角 ，两角 ， 边作 平 4