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1、例题力学典型例题例题1：如图所示，质量为m5 kg、底面积为S40 cm60 cm的矩形平板，以U1 m/s的速度沿着与水平面成倾角的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度1 mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：，即：例题2：如图所示，转轴的直径d0.36 m、轴承的长度l1 m，轴与轴承的缝隙宽度0.23 mm，缝隙中充满动力粘性系数的油，若轴的转速。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力粘性阻力（摩擦力）：克服油的粘性阻力所消
2、耗的功率：例题3：如图所示，直径为的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度旋转，此时所需力矩为，求间隙厚度的表达式。解：根据牛顿黏性定律 例题4：如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水的密度1000 kg/m3）。解：根据等压面的性质，采用相对压强可得：例题5：如图所示，U型管中水银面的高差h0.32 m，其他流体为水。容器A和容器B中心的位置高差z1 m。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度9810 N/m3，水银的重度133416 N/m3）。解：根据等压面的性质可得：，例题6：如图所示，仅
3、在重力场作用下的无盖水箱高H1.2m，长L3m，静止时盛水深度h=0.9m。现水箱以的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度，水箱中自由水面的压强98000Pa。试求：（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度。解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为代入非惯性坐标系中的压力全微分公式，得 积分得 利用边界条件确定积分常数：在坐标原点O（）处，得由式可得水箱内的压强分布对于水箱中的等压面，有，所以由式可得等压面的微分方程
4、积分得 上式给出了一簇斜率为的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数。因此自由水面方程为（2）假设水箱以加速度运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为，则根据加速前后水的体积不变的性质可得 又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系 和式联立求解，得：例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D1 m，高H2 m，静止时水深为h1.5 m。求：（1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大？（2）当6 rad/s时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？解：（1）若将坐标原点放在
5、筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为，则由：，可推出自由水面（为一等压面）的方程：根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：由此可求得：，带入自由表面方程得：若使达到某一最大值而水不溢出，则有时，带入上式，得（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为将G点条件：带入得：同理，将C点条件：带入得：例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为，高，容器内装水，水深为，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速。解：以自由液面的最低处为坐标原点，自由液面方程为旋转后无水的体积为： 例9 已知平面直角坐标系中的二维速度场。试求：（1）迹线方程；（2）流线方程；（3）时刻
6、，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；（4）涡量，并判断流动是否有旋。解：（1）将代入迹线方程得：解这个微分方程得迹线的参数方程：其中，是积分常数（拉格朗日变数）。消掉时间t，并给定即可得到以表示的流体质点的迹线方程。例如：已知欧拉法表示的速度场，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。将代入迹线微分方程：，得：分离变量并积分，得： 从上两式中消去时间t得迹线方程： 即： 可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。（2）将代入流线微分方程得：将看成常数，积分上式得流线方程：或 （3）由质点导数的定义可得流动在x和y方向的加速度分量分别为：所以，时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：（
7、4）由涡量的定义，对于题中所给的平面流动有：所以流动无旋。例10 已知二维速度场为，。（教材P68）（1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动；（2）求该二维流场的流函数；（3）证明该流动为势流；（4）求速度势函数。解：（1）平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为由已知条件可求，可见速度分布满足连续方程。故可以表示不可压缩流体的平面运动。（2）流函数的确定按流函数定义和已知条件有 (1) (2)积分式(1)得 (3)为确定函数，将式(3)对求偏导，并按流函数定义令其等于，即 (4)由式(4)可以判定，积分求得 (5)其中为积分常数。将式(5)代入式(3)，得： （3）有势流动判定
8、判定流动是否为有势流有两种方法。方法一：是直接利用速度场求旋度看其是否为零由此可以判定流动为有势流。方法二：看流函数是否满足拉普拉斯方程（因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数）：流函数满足拉普拉斯方程，流动为势流。（4）势函数方法一：按势函数定义和已知条件有 (6) (7)积分式(6)得 (8)为确定函数，将式(8)对求偏导，并按势函数定义式(7)令其等于，即 (9)由式(9)可以判定，积分求得 (10)其中为积分常数。将式(10)代入式(8)，得： 方法二：因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，且和已知，可利用势函数的全微分：，作不定积分求：例11：证明：所表示的流动是势流，并求出该
9、流动的速度势函数。解：1）判断流动是否为势流方法一 对于平面内的流动，说明流动无旋，所以是势流。方法二 ，流函数满足Laplace方程，所以流动是势流。2）因为 所以 又因为 所以 ，于是 教材习题：3.8 三维不可压缩流场中，且已知处，试求流场中的表达式，并检验是否无旋？解：由连续方程得：积分得： 由处=0得：c=0所以流场中的表达式为由于，可见，当时，该流体运动是无旋的；当时，该流体运动是有旋的。3.9 已知二元流场的速度势为（1）试求和，并检验是否满足连续条件和无旋条件。（2）求流函数。解：（1），由于，满足连续方程；由于，流动无旋。（2）由流函数的定义： 积分式得 将式对x求偏导，并令
10、其等于，即，可得，于是，流函数为： 3.10 不可压缩流场的流函数为（1）证明流动有势（2）并求速度势函数。（3）求（1，1）点的速度。解：（1）因为，所以，即流动无旋，也即有势。（2）因为，所以，对上式作不定积分得速度势函数：（3）由，得，（1，1）点的速度为：，即： 3.11 已知，试求此流场中在，点处的线变率、角变率和角速度。解：由，得线变率为：，角变率为：角速度为：例题12：如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置，由直管段和收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。已知：喷管上游直管段的截面积，水的压强（表压，即相对于大气压的值），喷管出口截面
11、积。若将射流视为不可压缩流体的稳态流动，且不计粘性和重力的影响。试求：（1）喷管与直管段接头处所受的拉力；（2）平板所受的水流的冲击力。解：建立如图所示的坐标系，取x轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力：假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为，沿x轴的负方向；垂直平板对射流的作用力为，沿x轴的负方向。对11和22截面列伯努利方程：，将已知条件，（相对压强）代入伯努利方程，得： （A）又由质量守恒方程，可得： （B）联立求解（A）和（B）可得：，。（1）针对11和22截面间的控制体，列x方向的动量方程：可求得喷管壁面对水流的作用力：为正值，说明喷管壁面对水流的作用力
12、方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水平方向的作用力为的反作用力，故有，即喷管与直管段接头处所受的拉力为57.6N。（2）针对22、34和44截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强，故不考虑压强引起的作用力），列x方向的动量方程：可求得垂直平板对射流的作用力：为正值，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力为的反作用力，故有。例题13：如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分，并引起射流其余部分偏转角度。已知，（升/秒），。求射流对平板的作用力R及射流的偏转角（不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度）。解：建
13、立坐标系，选取控制体，确定控制面。分析受力（假定力的方向）：由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力（假设其方向向左），而沿平行于平板方向的切向摩擦力。于是可列出x和y方向的动量方程：根据已知条件和连续性方程：将其他已知条件带入，可以求得：，射流对平板的作用力，方向向右。例题14：如图所示连续管系中的90渐缩弯管放在水平面上，管径，入口处平均流速，静压（计示压强）。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力？解：由可得： 由，得：由 ，得：例题15：离心式风机可采用如图3所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径，U形管读数,水与空气的密度分别为,，忽略流动的
14、能量损失，求空气的体积流量。解：针对在风机入口前断面11和U型管所在的风筒截面22列伯努里方程：得 由静力学基本方程： 带入上式，得： 空气的体积流量： 例题16：如图所示，离心式水泵通过一内径的吸水管以的流量，从一个截面积远大于吸水管截面积的敞口水池中吸水，并将水送至一水箱。设装在水泵入口处的真空计读数为Pa。水池水面为大气压，水力损失不计，试求水泵的吸水管高度？解：选取自由液面1-1为零势能面，针对1-1截面和水泵入口截面2-2列伯努里方程：带入条件：，得例题17：离心泵吸水管路如图所示，已知管径d=250毫米，吸水管路全长L10米，通过管路的流量为Q80升/秒，吸水井水面压强=1工程大气
15、压（1工程大气压98100Pa），泵进口处最大允许的真空度=0.7工程大气压。此管中带有单向底阀的吸水滤器一个，r/R=0.5的90度弯头一个。问允许水泵的实际安装高度为多少？（提示：水的运动粘度为=1.007106；若为湍流，沿程阻力系数可取=0.03，带有单向底阀的吸水滤器局部阻力系数可取=8，90角弯管局部阻力系数为=0.294）。解：将吸水井水面和泵入口截面分别设为00和11截面，取00截面为基准面，列伯努里方程：整理得： (1)其中：（吸水高度）；（大气压相当的水头）；为泵入口截面真空度相当的水头；吸水管内的流速：，吸水管内的流动为湍流；吸水段上的总损失（包括沿程损失和局部损失）：于
16、是(1)式可以写为： (2)当泵进口处达到最大允许的真空度0.7工程大气压时，相应的吸水高度也为允许的最大值，于是由（2）式，得：19得式（于，许为高应时大 度真许达 ：以 ）损局程包损上流流流内速流头的度真截；）当气大度（ 程方列，面截取截和0为面泵水水） 0=阻部0 取力阻水的向，.取系程，若00=粘的水（为装际水问一弯 0/ 滤的底带此压大.空许最口， 程（大程压井吸升为路管0 路水米 管所路水泵 ，件程方伯-口泵面-，能 面自度管水水，不力气水。为数真入水装一送，中口积管吸积个，量以径一泵心示如 ：体 得 ：本学 程里列 截的所 面断入对量积体空量的忽,别气空数形直侧入知量测集所如用式
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