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1、2022年年8月月2日星期二日星期二让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！【例例3】 设双曲线的一个焦点为设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为，虚轴的一个端点为B， 如果直线如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此 双曲线的离心率为双曲线的离心率为 () 审题视点审题视点 设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确 定一个关于定一个关于a，b，c的关系式，结合的关系式，结合c2a2b2可解可解答案答案D答案答案B教你审题教你审题 第第1步步 求出直线求出直线F1B的方程；的方程；第第2步步 求出点求出点P、Q的坐标
2、，及的坐标，及PQ的中点坐标；的中点坐标；第第3步步 求出求出PQ的垂直平分线方程，令的垂直平分线方程，令y0得得M点的坐标；点的坐标；第第4步步 由由|MF2|F1F2|建立等式关系，从而求得双曲线离建立等式关系，从而求得双曲线离心率心率答案答案 B221222121(00)4_.yxabFabFPPFPFe 已知双曲线，的左、右焦点分别为,点 在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为12122 .4PFPFaPFPF由定义又解析：，22221212644499179,cos.8288233aacPFFFPFeaa在中212178cos99eFPF，2178( 1)99e 2255
3、.93ee即，1282.33aaPFPF解得，【4】题型二、参数的范围与最值题型二、参数的范围与最值531|,AFc 2|3 ,AFc 32cca23131ca 3122221(00)14yxabab若双曲线，的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率是( ,0)bcyxa 设焦点为，渐近线方程为解析:，22|2bccdbab则焦点到渐近线的距离，2232 3.423cacce，即 .2 33直线方程为直线方程为 0 xya22(,),(,)aabaabBCab ababab 12ABBC 25.bae 1()2BCByyy 3CByy 5直线方程为直线方程为 0 xya22
4、(,),(,)aabaabBCab ababab 22222222(,),(,)a ba bababBCABababab ab 12ABBC 25.bae 22222a bababab 2220baba5 5 【3】设设a1, 则双曲线则双曲线 的离心率的离心率e的的取值范围是取值范围是_. 2222=1(1)yxaa+ 2222+( +1)=aaea( 2, 5)11,01,aa220,b0）的左，右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任一点，当取得最小值时，该双曲线的离心率最大值为. 利用双曲线的定义和基本不等式可求得最值.22221xyab212PFPF3 因为 所以 则 所以 当且仅
5、当 时取得最小值，此时 又因为 则6a2c，所以 11. 设ABC为等腰三角形，ABC=120,则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 设ABC=120,由余弦定理得 又因为双曲线以A、B为焦点且过点C，则 所以双曲线的离心率 故选B.122 132 12 13 B1ABCB ，3AC ，231 21aACBCcAB，21231cceaa 132 ， 2.(湖南卷)过双曲线C： (a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，若AOB=120（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为. 因为AOB=120AOF=60, AFO=30,c=
6、2a，所以e=2.填2. 本小题考查双曲线的定义、几何性质及三角形有关知识等，考查数形结合能力.2222-1xyab 2ca1212222212 11tan2xyaPFFbPFPFPFFe已知 是以 、为焦点的双曲线上一点，且，则此双曲线的离心拓练习：率展为112212121221122222222121.tan212 .222 .24225.cPFr PFrPFPFPFFrrrrararreacacrar设，因为，所以,所以由双曲线的定义可知，所以又,所以，所以解析：5答案：D 答案：C 答案：C (3)(广东省高州长坡中学2011届高三年级12月月考)点P是双曲线-=1(a0,b0)左支上
7、的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为c,则双曲线的离心率e范围是( )(A)(1,8. (B)(1,.(C)(,). (D)(2,3.22xa22yb18434353【解析】(1)(法一)由题意得F2的坐标为( ,0),点P的坐标为( ,4),所以|PF1|=2 =6,|PF2|=4,a= =1,b2=c2-a2=1,5522( 5)2642所以双曲线的方程为x2-=1.(法二)由题意可得F2的坐标为( ,0),点P的坐标为( ,4).设双曲线方程为-=1(a0,b0),则有 ,解得.故双曲线的方程为x2-=1.24y5522xa22yb22222255
8、41abab12ab24y(2)由题意可得=,c2=a2+b2,所以=.(3)设双曲线的左焦点为F与坐标原点为O,连结PF,则|OM|=c,又因为M是线段FP的中点,所以|PF|=2|OM|=2c=,而|PF|c-a,即c-a得a,得,即e,又e1,故1b0）的两a条渐近线上，若中点在双曲线C上，若OA OB=，则2双曲线的离心率为221223.183 2xPQyFPQFPFQ已知是过双曲线的左焦点 的一条弦,若, 是双曲线的右焦点,则的周长是 35.,4555155. ; .; .;.32233yxABCD 双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为5或或4D 22226.1.(1,2); .(
9、2,); . 1,2 ;. 2,xyabABCD如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个异点,则双曲线离心率的取值范围是B答案D 答案D 答案：D (2009湖南，12)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_ 解析：如图，cb，B1F1B260 ()A. 2B.C(20101.3152.32.D)1FBFB设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 辽宁卷222222221(00),0(0)()1010(5151220)DxyabbbaxacbbacbF c
10、BbFBbaccaaceeee 不妨设双曲线的焦点在 轴上，且设其方程为，则一个焦点为， ，一条渐近线的斜率为 ，直线的斜率为，所以为，所以，即，即，解析：解得，舍去 答案：(2009宁夏银川一模)已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为() 答案：C变式变式3.已知双曲线已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点为的右焦点为F，若过若过点点F且倾斜角为且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是交点，则此双曲线离心率的取值范围是(
11、)A(1,2 B(1,2) C2，) D(2，) 答案答案：C双曲线双曲线C： （a0,b0）的右顶点）的右顶点A，x轴上轴上有一点有一点Q（2a，0），若），若C上存在一点上存在一点P，使，使AP，PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围求此双曲线离心率的取值范围.P点坐标为点坐标为(x,y),则由则由APPQ=0，得，得APPQ，则则P点在以点在以AQ为直径的圆上，为直径的圆上，即即 . 又又P点在双曲线上，得点在双曲线上，得 . 由由消去消去y，得，得2222xy-=1ab2223a(x- a) +y =()222222xy-=1ab（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0.即即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0.当当x=a时，时，P与与A重合，不符合题意，舍去重合，不符合题意，舍去.当当x= 时时,满足题意的满足题意的P点存在点存在,需需x= a,化简得化简得a22b2,即即3a22c2, .离心率离心率e= (1, ).32222a -aba +b32222a -aba +bc6a2ea62答案D 答案B