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1、毕业论文非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求和中的应用年 级:09物理 学 号:09041208 姓 名: 专 业:应用物理 指导老师: 二零一三年六月目 录目 录2摘 要4ABSTRACT5第1章 非正弦周期信号的分解61.1 非正弦信号61.1.1 非正弦信号的产生61.1.2 非正弦信号的分类61.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）61.2.1谐波信号函数61.2.2非正弦信号的谐波叠加71.3 非正弦周期信号的傅里叶分解81.3.1三角函数的正交性81.3.2傅里叶系数与傅里叶级数81.3.3收敛定理-狄利赫利充分条件91.3.4周期与非周期的傅里叶级数91.4 非正弦周期信号的频
2、谱分析10第2章 有效值的概念102.1 有效值的定义102.1.1电流的有效值112.1.2电压的有效值112.2 周期信号有效值的定义112.1.1周期电流的有效值112.1.2周期电压的有效值112.2 有效值的实质12第3章 非正弦周期信号有效值123.1 有效值的计算方法123.1.1按定义计算133.1.2按傅里叶系数计算133.2 有效值恒等式的推广-帕塞尔瓦等式133.2.1帕塞尔瓦定理143.2.2帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用15第4章有效值的概念在无穷级数求和中的应用154.1 一类无穷级数与傅里叶系数的关系164.1.1傅里叶系数的特性164.1.2数项级数与傅里叶
3、系数的关系174.2 求一类数项级数的和184.3 应用举例20结 论22致 谢23参考文献24附 录 1 傅里叶级数的希尔伯特空间25摘 要本文通过对一个周期函数进行傅里叶级数展开，得到了有效值的计算公式。分析了有效值的意义，并从物理方面揭示了把一个周期函数表示成傅里叶级数的意义。利用非正弦周期信号有效值的公式得到了积分恒等式，不仅给级数求和提供了新思路，而且丰富了帕塞尔瓦定理的应用。最后，通过例子，总结归纳无穷级数求和的解题技巧，使求解这类问题有章可循。关键词：非正弦周期信号； 傅里叶级数； 有效值； 帕塞尔瓦等式； 数项级数求和AbstractWe develop a formula f
4、or root mean square values by an application of Fourier series expansion of a periodic function. The paper analyzed the meaning of root mean square values, and the paper reveals the significance of expressing a periodic function by Fourier series in physical aspects. It has obtained an identity of i
5、ntegration by the formula of root mean square values of no sinusoidal periodic signal. Not only a new method about the sum of series is obtained, but also the application of parseval theorem has been enriched.Keywords: no sinusoidal periodic signal; Fourier series; Fourier coefficients; root mean sq
6、uare values; parseval equation; the sum of series第1章 非正弦周期信号的分解1.1 非正弦信号在生产和科学实验中，通常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。1.1.1 非正弦信号的产生例如，通信工程传输的各种信号（如收音机、电视机收到的信号）波形都是非正弦波。这些信号是由各种频率的正弦信号叠加而成的。另外，如果电路中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦周期的电压和电流。1.1.2 非正弦信号的分类非正弦的电压和电流又可分为周期的和非周期的两种。本文主要分析的是非正弦周期的电源和信号。1.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）
7、在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。当然这类函数也要体现出周期性。这类函数称为周期函数，即 其中为周期函数的周期，为自然数。 非正弦周期电流、电压或信号，也都可以用周期函数表示。在高等数学中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采
8、取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。1.2.1谐波信号函数谐波信号函数，谐波信号关于的导数：仍就是谐波，一种比原信号函数超前周期的信号。且谐波信号仅由振幅、角频率和初相位决定。这些特点决定谐波信号函数可以作为一个基本周期函数，若对于任意一个信号，都能分解成谐波的叠加，那么对于信号分析就比较简单方便了。1.2.2非正弦信号的谐波叠加在工程中我们常常遇到的一类重要信号就是周期信号。诸如，具有能量存储的自然响应、无电阻损耗的理想电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自然响应都是周期的，而且事实上它们都是由一些基本信号组成，例如：。其中一个基本周期信号就是谐波信号函数按某一规律确定的函数序列称为函
9、数系。 如下形式的函数系：为基本三角函数系。如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。比如：函数实现了将不同频率正弦波逐个叠加成方波。如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。由此可知：傅里叶级数展开式的意义函数的整体逼近。在线性电路中，应用叠加定理可计算多个不同频率的电源作用时电路中的电压和电流。若电路中的电源是一个非正弦电源，同样可以用叠加方法进行分析。即运用数学方法将该非正弦量分解为多个分量，每个分量相当于作用着不同频率的电源。这样，就可采用叠加方法进行了。当非正弦周期信号分解为傅里叶级数后，可视为含有直流和一系
10、列频率成整数倍的正弦激励作用于电路，因此其分析计算方法与多个不同频率正弦激励的电路分析计算方法实际上是一致的。叠加定理作为线性电路的一个基本分析方法，可以使多个激励的电路问题化为简单激励的电路问题来研究。1.3 非正弦周期信号的傅里叶分解1.3.1三角函数的正交性三角函数有以下性质（1）正弦、余弦信号在一个周期内的积分为0，即 。（2）三角函数的正交性：在上正交，即其中任意两个不同的函数之积在上的积分为零。由于所以有： 同理可证： （3）但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于零，而是有： 。1.3.2傅里叶系数与傅里叶级数 为的周期。，为傅里叶系数，按下列公式计算：可见周期函数
11、可以分为以下分量：第一项称为周期函数的恒定分量（或直流分量），即第二项称为一次谐波（或基波分量）第三、第四项分别称为二次谐波、三次谐波，依此类推。1.3.3收敛定理-狄利赫利充分条件在高等数学中，凡是满足狄利赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。在工程中遇到的非正弦周期量一般都满足狄利赫利条件。如：对于给定的周期函数f(t)，若满足狄利赫利条件,即，（1）周期函数的极值点数目为有限个；（2）间断点的数目为有限个；（3）在一个周期内绝对可积，即有，（有界）；则可展开成如下的傅立叶级数: 为的周期。，为傅里叶系数。1.3.4周期与非周期的傅里叶级数 定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛
12、定理的条件, 则它的傅里叶级数展开式为 , 其中系数an , bn 为 (n=0, 1, 2, ), (n=1, 2, ). 当f(x)为奇函数时, , 其中(n = 1, 2, ). 当f(x)为偶函数时, , 其中 (n = 0, 1, 2, ). 1.4 非正弦周期信号的频谱分析LCarleson(卡尔松，1928-)指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛。可知傅里叶级数是一个收敛的无穷三角级数，其谐波分量的幅值随谐波次数的增高而诼渐减少。因此，在工程上，一般只需要前几项之和，便能近似地表征非正弦周期函数。为了表示一个周期信号分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量所
13、占比重，常用频谱（图）来表示。描述各谐波分量的振幅与频率的变化关系的图形称为幅度频谱。描述各谐波分量初相与频率的变化关系的图形称为相位频谱。由于各谐波的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散的，也可以称为线频谱。又由于高次谐波分量在幅度频谱中所占的“比重”相对较少，因此视工程要求的精度及级数收敛的快慢，可选择截取有限的项数，近似地代表信号函数。第2章 有效值的概念2.1 有效值的定义在两个相同的电阻器件中，分别通过直流电和交流电，如果经过同一时间，它们发出的热量相等，那么就把此直流电的大小作为此交流电的有效值。有效值也称为均方根值。2.1.1电流的有效值将一直流电与一交流电分别通过相同阻值的电阻
14、，如果相同时间内两电流通过电阻产生的热量相同，就说这一直流电的电流值是这一交流电的有效值。2.1.2电压的有效值让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻,使它们在相同时间内产生的热量相等,就可以把该恒定电压的数值规定为这个交变电压的有效值。2.2 周期信号有效值的定义交流电的有效值等于在相同电阻上在一个周期内所获得的相同功耗（发热）的直流电流/电压。2.1.1周期电流的有效值周期性电流通过电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电流在相同时间内通过所产生的热量，则直流电流称为周期性电流的有效值。（1）当直流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：。（2）当交流电流流过电阻时该电阻在周
15、期时间内消耗的电能为：。即2.1.2周期电压的有效值周期性电压加在电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电压在相同时间内加在所产生的热量，则直流电流称为周期性电压的有效值。（1）当直流电压加在电阻时该电阻在周期时间T内消耗的电能为：。（2）当交流电压加在电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：。即2.2 有效值的实质有效值是根据发热量定义的，即交流电的有效值等于在相同电阻上获得的相同功耗（发热）的直流电流/电压。第3章 非正弦周期信号有效值任何周期量的有效值定义为它的方均根值，即。3.1 有效值的计算方法对于非正弦信号，电流为重复角频率的各次谐波分量之和，即。非正弦周期信号的有效值：周期性电
16、流通过电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电流在相同时间内通过所产生的热量，则直流电流称为周期性电流的有效值。（1）当直流电流I流过电阻时该电阻在周期时间T内消耗的电能为：。（2）当交流电流流过电阻R时该电阻在周期时间T内消耗的电能为：。即，则 由三角函数的性质可知，方括号内的项经平方后，必将包含下列各项：（1）；（2）；（3）；（4），；各项积分后可得：（1）；（2）；（3）；（4），为以上各项之和的平方根，即： 同理结论： 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量的有效值平方和的方根（还有一种定义方式，将直流分量、基波定义分别为零次谐波和一次谐波。在这个前提下，非正弦量的有效值就等于
17、它的各次谐波有效值平方和的平方根值）。3.1.1按定义计算或3.1.2按傅里叶系数计算对于非正弦信号，电流为重复角频率的各次谐波分量之和，即。则有：即同理3.2 有效值恒等式的推广-帕塞尔瓦等式函数的谐波展开（三角级数）表明：在某一区间里，完全不同的代数式之间存在相等性。对于很广泛的一类函数中任意一个函数都可以相应地构造一个三角级数，此函数在给定区间具有与该函数相同的值。信号的有效值即信号的方均根值，据此可求出信号的有效值；非正弦周期信号可以展开成傅里叶级数，据此也可求出信号的有效值。这两种有效值的计算式是等效的。为分析方便，暂不考虑或中的开方运算，则有效值的计算公式可以简化了并得到了即帕塞尔
18、瓦等式。3.2.1帕塞尔瓦定理已知为上的可积函数，若的傅里叶级数在上一致收敛于，则有Parseval等式成立：，其中，为的傅里叶系数。证明：的傅里叶级数在上一致收敛于，故，；所以由于三角函数有以下性质（1）正弦、余弦信号在一个周期内的积分为0，即 （2）、在一个周期内的积分为，即 。（3）三角函数的正交性，即 由三角函数的性质可知，方括号内的项经平方后，必将包含下列各项：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）各项积分后可得：（1）；（2）；（3）；（4），（5）；（6）；则有：此式即为周期信号下的Parseval定理。左端即为周期下的平均功率，右式为傅里叶级数展开式中各谐波分量有效值
19、的平方和。该等式表明：一周期信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交集中各分量的功率之和。由于该定理的物理意义是明显的，故可将推广至一般周期信号的情况：3.2.2帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用信号在时间区间内的能量为，但在一个周期内的平均功率为有限值，这样的信号称为功率信号。周期信号即为功率信号。功率信号的平均功率为:信号为一电流:则的有效值为信号作用于1殴电阻时，其功率为：对于周期信号，在时域中求得的信号功率频域中的信号各谐波分量功率之和。这就是 Parseval 定理在周期信号时的表示形式。第4章有效值的概念在无穷级数求和中的应用一方面，数学是研究物理的一个重要工具，许多物理规律都通过借
20、助于数学表达式分析，另一方面，物理会促进人们对数学概念和思想的理解及创新。总之，许多数学问题来源于物理，同时物理问题的解决又要借助于数学理论的发展。4.1 一类无穷级数与傅里叶系数的关系4.1.1傅里叶系数的特性数学上，可以用多项式逼近任意函数，如泰勒公式： 特别对于时，有：故、的级数展开：由此易猜想到：、与之间有着深刻的联系。假设，易见在上连续，将其周期延拓，必按段光滑，故可展成傅里叶级数。当为偶数时，有于是在上可以展为当时，上式右端收敛于从而有 高等数学中当时，收敛；当1时，发散故，从而可交换并将的项孤立在等号左端，从而有移项，等号两边同时除以，即有递推公式在这个递推公式里，依此令并结合之
21、和。4.1.2数项级数与傅里叶系数的关系设的傅里叶级数的部分和为，级数在收敛的定义为，的系数奇函数的傅里叶级数展开式：，的系数偶函数的傅里叶级数展开式：，的系数4.2 求一类数项级数的和1. 求常数项级数的和解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以展成傅里叶级数。由于在上为奇函数，所以：从而有在上的傅里叶级数为，利用Parseval等式可得：，所以2. 求常数项级数的和解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以展成傅里叶级数。由于在上为偶函数，所以：所以在上的傅里叶级数为，利用Parseval等式可得：，所以3. 求常数项级数的和解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以展成傅里叶级数。由于在上为
22、奇函数，所以：反复使用分部积分公式有：所以在上的傅里叶级数为，利用Parseval等式可得：，所以4. 求常数项级数解：设，显然在上光滑，满足收敛定理，可以展成傅里叶级数。利用Parseval等式可得：（其中为常数），依次令依次可得相应的常数项级数的和，见下表：2468104.3 应用举例1. 求常数项级数的和解：由于依次令依次可得相应的常数项级数的和，见下表：2468102. 求常数项级数的和解：由于依次令依次可得相应的常数项级数的和，见下表：2468103. 求常数项级数的和解：由于依次令依次可得相应的常数项级数的和，见下表：246810结 论信号的有效值即信号的方均根值，据此可求出信号的
23、有效值；非正弦周期信号可以展开成傅里叶级数，据此也可求出信号的有效值。这两种有效值的计算式是等效的。为分析方便，暂不考虑或中的开方运算，则有效值的计算公式可以简化了并得到了即帕塞尔瓦等式。由此我们可以利用这个等式找到一种求数项级数和的新思路。该思路主要依赖定积分的计算，并未涉及复杂的函数理论与大量数值计算，因此本文为一类复杂数项级数求和提供了一种简洁的方法。致 谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师万鹏程老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书
24、馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！参考文献1 杨树林. 用Fourier级数求数项级数的和. 胜利油田师范专科学校学报.2000年，14卷（4期）：14-152 朱时. 某些级数的和. 六盘水师专学报（自然科学版
25、）.1990年，3期：1-33 朱剑锋、李鸿萍. 数项级数求和的一些方法和技巧. 中国科教创新导刊.2011年，14卷（4期）：14-154 葛彦如. 一种无穷级数求和方法. 数学教学研究.2010年，29卷（8期）：59-605 安玉萍. 无穷级数求和归类在教学中的应用. 吉林建筑工程学院学报.2010年，27卷（5期）：14-156 章益. 正确理解正弦（余弦）交变电流的有效值. 课程教育研究.2012年，2227 腾远江. 从热的解析理论中看傅里叶分析的产生. 衡阳师范学院学报.2010年，31卷（3期）：22-248 成凯歌. 利用Fourier级数求级数和的讨论. 高等函授学报（自然
26、科学版）.2012年，25卷（3期）：66-719 王白银、杨东升. 应用傅立叶级数求常数项级数的和. 高等数学研究.2009年，44-4510 李小平. Parseval定理在物理学中的应用. 塔里木大学学报.2008年，20卷（2期）：35-3611 邓新蒲. 傅里叶级数的起源、发展与启示. 电气电子教学学报.2012年，34卷（5期）：3-412 杨传富、赵培标. 积分恒等式及其在无穷级数求和的应用. 塔里木大学学报.2009年，21卷（3期）：30-3213 李小平、牛旭. Parseval定理在广义积分中的应用. 胜利油田师范专科学校学报.2000年，14期：30-3114 吴吟吟.
27、 傅里叶系数的计算技巧浅析. 无锡职业技术学院学报.2012年，11卷（2期）：52-5415 潘文. 高精度测量非正弦周期信号真有效值的一种新方法. 东南大学学报.1991年，21卷（2期）：6616 刘风林、杨华. 的两个求和公式. 天津科技大学学报.2005年，20卷（4期）：65-67附 录 1 傅里叶级数的希尔伯特空间希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式。定义在一个实向量空间或复向量空间H上的给定的内积
28、 可以按照如下的方式导出一个范数：。此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西序列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每
29、个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集，则对中每个向量，必存在中惟一的，使得取到在中变化时的最小值。这个性质称为变分定理。特别，当是的闭线性子空间时，必与正交，即对于闭线性子空间，分解不仅惟一，而且。这就是投影定理。其中，称为在中的投影（分量）。因为在上的投影是达到极小值的惟一解，所以这个结果不仅在理论研究中，而且在很多应用性科学，如近似理论（包括有限元方法）、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。正交系设是内积空间中一族彼此不同的向量，如果其中任何两个向量都正交，即当时，则称是一正交系；如果其中每个向量的范数又都是1，即对一切，则称是就范正交系。对于希尔伯特空间的就范正交系,如果包含的最小闭子空间就是，就称为的完备就范正交系。设是就范正交系，则中任一向量在方向的投影，即在生成的一维子空间上的投影，就是；而在生成的闭子空间上的投影就是。显然有，即向量在某个子空间上的分量“长度”永不超过的长度，它称为贝塞尔不等式。如果是完备就范正交系，那么成立着（傅里叶展式），（帕塞瓦尔等式）。傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。