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1、定义：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法原理：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2. xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。Yj= a0 + a1 X （式1-1)其中：a0、a1 是任意实数1.多项式曲
2、线拟合:polyfit1.1常见拟合曲线：直线：y=a0X+a1多项式：一般次数不易过高2 3双曲线：y=a0/x+a1指数曲线：y=a*eb1.2 matlab中函数P=polyfit(x,y,n)P S mu=polyfit(x,y,n)polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值注：其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标，n为拟合多项式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平方和，mu-包含两个值 mean（x）均值，std（x）标准差。1.3举例1. 已知观测数据为：X：0 12 345 6 7 891Y：-0
3、.4471.9873.286.167.087.347.669.569.489.311.2用三次多项式曲线拟合这些数据点：x=0:0.1:1y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2plot(x,y,k.,markersize,25)hold onaxis(0 1.3 -2 16)p3=polyfit(x,y,3)t=0:0.1:1.2:S3=polyval(P3,t);plot(t,S3,r);2.拟合为指数曲线注：在对已测数据不太明确满足什么关系时，需要假设为多种曲线拟合然后比较各自的residal（均方误差）越小者为
4、优，多项式拟合不是拟合次数越高越好，而是残差越小越好。2.非线性曲线拟合：lsqcurvefitX=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)X,resnorm=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)注：其中xdata ydata为给定数据横纵坐标，按照函数文件fun给定的函数以X0为初值做最小乘二拟合，返回函数fun中的系数向量X和残差的平方和resnorm。2.1例如已知观测数据：求三个参数a b c的值是的曲线f(x)=a*ex+b*X2+c*X已知数据点在最小二乘意义上充分接近首先编写拟合函数文件funfunction f=fun(X,xda
5、ta)f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.2+X(3)*xdata.3保存文件fun.m编写函数调用拟合函数文件xdata=0:0.1:1;ydata=3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 .13.17;X0=0 0 0;X,resnorm=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)运行显示：X=3.0022 4.03040.9404resnorm=0.0912综上：最小乘二意义上的最佳拟合函数为f(x)=3.0022x+4.0304x2+0.9404x3残差平方和：0.0912注：在针对只有一些已测数据而不太清楚最小乘二拟合函数时，采取先
6、打印出已知数据的散点图，然后观察散点图大概分布趋向，再确定拟合函数，也可以确定多个，最后比较残差选择最优最小乘二拟合函数，再者初始值的给定也很重要。lsqnonlin（fun，X0）：最小二乘拟合函数本讲结束，谢谢！9 谢谢函合二）， 要很给始者函合乘择差残后，定也函定向分分图后，散知出打时函二小清不测有只： ：方 0 . 0=(数函佳义意最 0 0 0. 0. 示 , 0 . :. 文函用数. + * ) *( = 函写接分意小在 * *= 是 求观例 方的 向中 ，二最做0函定 函，标横为 0 , 合拟线.好小是越数拟是式优为）方 各后合种种假，关足太据测在曲曲为乘)称 平)法( 数 学0 技( 它=过 .0 的 方 地法二用利匹的找 未, 据 并,. 这 数 .与 数,据 , 0点点合线项. . . . - 为据测举差标（ 均（ 值含- 平平 值含 向次到高式多次返回果次的多拟 纵表分向已 中的 项次返 ( =函中 . *=线指 /：双 不般平式为项最 =二：直还线合常 合式实任 、中 （ + 0 ）:-式程 直 _ ./ . . / 条以附 直.在这发 标角 数将）,. . 据对系到常拟时互间之其 他量研们理原达来乘小化或化最通题