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1、附件1.第一篇外文资料翻译译文贪婪算法LTE实现稀疏信道估计Patrick Maechler, Pierre Greisen, Benjamin Sporrer, Sebastian Steiner, Norbert Felber, and Andreas Burg集成系统实验室，苏黎世联邦理工学院，瑞士maechler，apburg iis.ee.ethz.ch摘要：宽带无线系统通常下运行信道条件的特征是稀疏信道脉冲响应。当训练量是给定的标准，压缩感知信道估计可以利用此稀疏，来提高信道估计的质量。在这种本文中，我们分析和比较的硬件的复杂性和消噪三个贪心算法表现为3GPPLTE系统。复杂性/性
2、能权衡分析使用参数化设计，具有不同的配置。每个算法的结构被制造在一个180纳米的过程中并进行测量。1. 引言这个显著压缩传感（CS）的1，2的关注在过去的几年中导致了框架性能开发的理论保证，许多重建算法，和若干可能的应用。其中的一个有前途的应用是宽带无线系统频分复用（OFDM）的信道估计。宽带无线系统是OFDM调制的首选技术，诸如3GPP长期演进（LTE）3，这项工作的目标应用程序。误差率连贯的OFDM通信系统的性能很大的依赖于信道估计的质量。不幸的是，宽带通道需要很多的估计参数。然而，信道测量表明无线信道通常可以通过一小部分传播路的数量径进行说明。因此，该信道自由度是有限的。通道的这种固有的
3、稀疏脉冲响应（CIR）可以被利用来提高信道估计的质量。相应的算法有最近在CS的背景下受到显著关注，并且之前也已在CS-时代被考虑用于信道估计。使用匹配追踪（MP）算法的优点4对通信信道与所述估计稀疏的CIR表示于5。后来，延迟多普勒功能的稀疏浅水通信信道被利用在6，其中的MP被用于跟踪疏反射在快速的时间变化的环境。在7中，CS被施加到如OFDM多载波系统的双选择性信道的估计。该作者表明，近似稀疏表示可以在时延多普勒域被发现，与随机分布导频音调和基于CS的估计，在此基础追求（BP）的算法实现了更好的信道估计只用了一半培训色调，相比最小二乘（LS）估计。在8中，它表明，基于CS的算法如BP和正交匹
4、配追踪（OMP）优于基础的子空间稀疏重建算法的推定水声信道。稀疏信道估计初步在9中实现被设计为DS-CDMA。作者提出了一个高度并行架构在FPGA的MP算法来获得高的吞吐量。在10中，它被称为一个浅水声通信系统中，一个高度并行的FPGA实现的MP的信道估计的性能优于对应DSP和微处理器（XILINX的MicroBlaze）就这两种功率消耗方面实现和处理时间而言。然而，不对照硬件的复杂性不同的算法已经做了很远了。在我们以前的工作11，对LTE被提出的一个MP执行，但并没有其它CS算法已被实施 对于如LTE高数据速率的通信标准。概要及贡献：在本文中，我们比较硬件三种算法的复杂性：配套的追求，渐变的
5、追求，以及正交匹配的追求。在第二节我们展示CS是如何应用到信道估计的3GPP LTE标准。然后，我们介绍三种算法在第三节，描述重要的优化算法以减少计算复杂度。第四节礼物硬件架构为所有三种实现。他们的成本和优点，然后在芯片面积方面进行比较和在第五节定点演出符号：在本文中，下面的符号是使用。大写粗体字母表示矩阵，小写粗体字母为一个列向量。(.)H表示厄密共轭转， 是向量c的第个组成部分，表示矩阵的列。表示的矩阵（载体），其中所有的列（元素）是零除外由该组的元素中选择。A.3GPP LTE系统概述3GPP LTE是用于移动通信即将到来的标准。LTE支持1.4MHz的和20MHz之间的带宽。OFDM具
6、有高达2048子信道采用在下行链路和单载波频分多址是用于上行链路。 LTE还支持多输入多输出传输与多达两个接收和四个发射天线。在本文中，我们将重点放在单输入单输出的下行链路，但同样的算法，也可以是施加于MIMO情况的复杂性的结果可以作为估算硬件成本为MIMO情况的基础与正交训练。 LTE采用试点辅助通道估计。在0.5毫秒持续时间的时隙的训练分布在频率和时间根据模式图。 1.通常，信道估计值进行平均并且通过2DWiener插在时间和频率，例如过滤器。B.稀疏信号恢复CS提供了一个框架，允许重建稀疏从比尺寸测量少得多信号的未知信号表明1，2。因此，对于稀疏信号矢量，测量向量用NM和测量矩阵（或字典
7、），人们可以从重建x如果满足上的限制等轴属性某些条件2。同无噪声的测量，该信号x可通过重构寻找最稀疏可能的解决方案，满足。 （1）大量的算法已经被提出来解决在CS重建问题（1）。大多数算法也适用在嘈杂的地方测量重建问题不解决与等价但错误界内。II.稀疏信道估计在本节中，CS的应用到OFDM信道估计是解释和使用的信道模型介绍。A.信道模型令P为与复数增益主导路径数的AI和延迟i。相应的稀疏的CIR可被写为我们假设小多普勒扩展和忽视系统与时间的关系的脉冲响应。理想的山峰的CIR 被发送拓宽和接收滤波器（参照图2），和有效的CIR由下式给出，其中和分别表示发送和接收滤波器和与*表示卷积。当发送信号s
8、（t），并加入复高斯白噪声n（t）的方差时，接收到的信号由下式给出。图2.稀疏CIR的例子。上图：物理信道h（t）。下图：过滤通道所看到的接收器B.接收器OFDM接收机中描绘图。 3个采样信号周期T，循环前缀移除，傅立叶转换器将样本分为频域：，其中z0，D-1是子载波索引，D是音调的数目。对于所发送符号向量C，就可得到。在导频音与指数，定义图1，已知符号被传输。它们被馈送到信道估计器以及这些导频音调的测量被计算为。所述数据音调被转发给检测器，它使用信道估计器的输出，来恢复所发送的信号。C.词典申请CS理论信道估计，首先在允许稀疏信号表示的频域和时域的基础上建立该测量值之间的线性关系。测量矩阵定
9、义了原子元素可以通过CS选择重建算法和它们是如何测量的。的每一列对应于一个词典元素。在字典中的元素一个显而易见的选择是对CIR单个样本的离散傅立叶变换（DFT），这意味着。请注意这个选择，X比P出现更少的稀疏在发射和接受过滤之后，因为少部分的样品被扩大了。测量的列矩阵被假定为归一化为。这导致了测量矩阵，图3. OFDM接收机与CS信道估计的框图。算法1贪婪算法输入Y：测量导频音具有n1，N，m1，M。对于N测量的导频音调和一个最大的信道长度M。注意从构建一个DD二维DFT矩阵通过只选择第一列M和对应于该导频音调的N行。III.贪婪算法由于它们的低计算复杂度和其常规结构，贪婪算法最合适似乎是硬件
10、实现。在这一节中，三贪婪算法将被审查。所有这三种算法按照海藻酸钠的通用结构.1。每个贪婪算法相加每一迭代不超过一个字典元件，每次迭代可以通过这种迭代程序当适当估算功能更新X（）的使用来计算。表示当前状态，并包括所有的变量该算法的= 。在每次迭代中具有最强的相关性，当现在剩余R中的字典元素被添加。所有选择的元素跨越其中x的估计进行的子空间。之后完成重建中，CS信道估计不得不改造稀疏估计的CIR X在频域中要被用于数据检测域。A.匹配追踪MP是最简单的贪婪算法。这首次推出在4中。选择最合适的字典元素之后，所选择的元件的贡献被直接加入到稀疏的估计。由于元件不正交于一般情况下，相同的元素可被更新多次。
11、该MP更新功能的变化只有一个元素在当前估计。跟新，其中是一个单位矢量与所有元素为零，除 “1” 外，在位置上。在MP的计算最昂贵的操作算法是海藻酸钠的第3行的矩阵矢量乘积.1。然而，它是公知的4的第一次迭代之后这操作可以通过一个不太复杂的更新所取代使用预先计算的相关系数由结合线3和7。本更新策略需要存储为g =1 M。B.正交匹配追踪OMP是在MP算法的扩展中描述的12。该扩展由在更复杂的更新功能其中包括所有已经选择字典元素。该更新是通过找到最小二乘优化计算由已经选择词典覆盖的子空间元素。跟新 （2）其结果是，新的估计将是正交的每次迭代后的残留，这意味着相同的元件将不再次选择。计算所需的努力（
12、2）可以通过避免在每次迭代的充分的LS优化的计算被减少。当对LS步骤是通过一个矩阵来计算分解诸如QR分解（QRD）中，Q和R矩阵可以存储并提供一个起始点分解中的下一次迭代。C.梯度追求梯度追求（GP）的算法中引入13作为OMP的近似，而复杂性保持附近的MP的。该GP算法更新所有的系数通过移动到某个的初步估计所有选择覆盖的子空间内更新方向系数。用于更新的最明显的选择方向是渐变已经计算在3线ALG.1.通过设置，该更新函数可以是定义为跟新 。对于更新方向等的可能性是共轭梯度或其近似。相关性的相同的简化中的MP可以是适用于GP。然而，XN-1的所有的系数可能在GP改变。因此，多个更新，必须执行在克。
13、由于残留r为不再明确计算，更新功能必须适应如下：跟新D.停止准则至关重要的是，所有的贪婪算法，以迭代的正确数目后终止。当太多字典元素被考虑，过高维度的子空间内的噪声影响而导致较高的噪声方差的估计。然而，过少的元素不能代表信道正确并且导致大量的残余（例如，一个大的信道估计误差）。由于信道的稀疏性是未知的接收器，当所有相关信道抽头已列入猜测中。一种可能性是在-范数的剩余为成正比的噪声方差设置限制。另一种可能性是只看最大元素gin选择ALG 4线.1并设置其下限的大小。两种方法的性能是相似的。E.模拟用于该模拟信道模型是在扩展典型城市（ETU）模型9的传播路径，在LTE标准14中定义。所有路径都被假
14、定的瑞利衰落和高斯白噪声加入。脉冲响应包括根升余弦滤波器和与滚降系数=0.25。图4表示CS信道估计提供超过9分贝低信噪比制度的增益。自从更多的抽头高于噪声电平，高信噪比的增益变得越来越小。因此，估计问题有效地变得越来越稀疏。一可以观察到GP达到近OMP性能的同时，MP的性能会下降多在高SNR制度。此外，MP的迭代的数量迅速增加为更高的SNR。作为理论的限制，我们还绘制精灵辅助LS估计器仅工作在显著抽头，其被假定为已知的接收器。IV.硬件实现有两个根本不同的方法可以计算相关的3号线Alg.1。首先，简单的方法是执行矩阵矢量-乘法在复数乘法和累加（CMAC）单位。一个宽累加寄存器允许高精度。这一
15、操作可以很容易被执行和一些平行度（M）。第二，测量矩阵的结构允许使用一个FFT。一方面，使用FFT的结果中的乘法的数量较少。另一方面，存储器的需求正在增加，因为粒径D的FFT必须被执行。为了保持一个较高的灵活性，并保持对存储器的要求低，直接计算被选作本实施在 11中。所有算法的停止准则仅由最新字典元件的大小相比较，以一个可编程的阈值来实现，这是比计算剩余的能量要少得多复杂，尤其是当残余甚至没有明确计算。贪婪算法与浮点精度在图4的比较，LTE具有20MHz的带宽设置。首先，我们描述了硬件结构进行MP，它充当所有进一步的实现提供了基础。GP则建立在MP和OMP建立在GP。因此，该复杂性正在增加在每
16、个步骤。A. MP实施在MP算法的实现中描述细节在11，并总结如下。相关所需的简化更新矩阵是厄密托普利兹矩阵，它允许存储的唯一的第一行，它是一个长度为M的单个载体来代替MM矩阵。 的结构还允许显著在其查找表（LUT）的大小减少到D/ 4值。这是通过计算每个条目来实现其在单位圆上，所有对D可能DFT位置系数的位置。反演和复共轭假想平原被用来进一步减少数所需的存储到四分之一。所实现的结构示于图. 5。大多数的计算在一个可配置的数目进行并行乘法和存储单元（MSU）。三个阶段，由一个有限状态机（FSM）来控制，需要以计算MP信道估计：a） 相关性：在第一次迭代中，测量的值与的所有列，这是在那些MSU完
17、成，并将结果G1被存储在其相关RAM。该CMACs还用于计算平方绝对值，从最大中选择。b） 更新：矢量使用的是预先计算的更新的相关值。那么，最大的组成部分被确定为之前。选定的元素存储在稀疏RAM。更新完成，直到停止标准是达到或最大支持稀疏为止。c） 转变到频域：在稀疏CIR已在第次迭代被确定为必须被变换回频域。为此，所存储的稀疏元素乘以与其对应行的。图5.简化MP的硬件框图和GP（虚线）B. GP实施在MP架构上面可以很容易地扩展以执行GP重建。唯一的额外硬件块要求是一个分频器和额外的内存来存储值的。所有其他额外的操作相比的MP可以与现有的硬件来执行。因此，主要的FSM必须适应。由于较高的GP
18、的复杂性，MP的平行单元的数目必须增加来完成的迭代数量充足。当定点实施，该算法显示在平方和除法运算数值不稳定在updateX（）。为了解决这个问题，和分别为由二的幂预分频，由规范确定这两个数字中的最后一次迭代。使用此伪浮动点法，稳定的实现是可能的而不必延长字宽。C. OMP实施最后也是最复杂的实施考虑本文是OMP，其可以与另外的实施延长上述结构的由一个单元，其执行最小二乘优化（图6）。在LS最佳由QRD接着背替代计算。一修正Gram-Schmidt正交15用于执行QRD。两个算术单元和一个CORDIC作为基本构建所述QRD单元的块。运算单元包括一个复数乘法器和一个加法器。对于计算一个向量的范数
19、的要求的改性革兰氏施密特过程和回代过程中使用的划分，流水线CORDIC结构被使用。此实施规范计算的避免了平方相关的数值问题（增加动态范围）随后的平方根的计算。图6.简化硬件块最小二乘单元的图表一复杂性贪婪算法的V.比较为了比较基于CS的信道估计，并获得的估计面积和三个贪婪成本正在考虑的算法，VLSI的使这些算法分别实现。对于实际的实施在通信系统内，运行时的限制必须应用。在这项工作中，假设该重构必须已经完成前一组新的测量结果是准备好了，这是后0.5毫秒，一个资源块的持续时间。此导致约束上迭代的最大数量算法被允许执行。参数化VHDL设计可以综合所有实现为多个并行度。对于每一个配置进一步面积/性能权
20、衡得以实现通过合成设计为不同的定时限制。迭代的每个实施中可以实现的我们的时限内决定了MSE性能。图. 7比较了所有贪婪算法的性能不同的限制对迭代的最大数量。合成的性能结果通过评价比较在该实施MSE越过LS估计的MSE的SNR。再次，ETU的信道模型采用。所需的一个给定的性能的区在180纳米技术示于图. 8。图7.定点贪婪算法，最大的比较k次叠代的10MHz的带宽图8. 并行的实现方式与表演区（数管理支持在括号中）为10MHz的带宽表二CHIP数字（硅）实施方式的计算复杂度和存储器需求缩放在图表 I.进行了分析。K和表示加入的词典元件的执行数目，分别迭代的次数。L表示子信道在频域必须被最终估计的
21、数量。加倍带宽意味着加倍既M和N，而稀疏保持大致恒定。为进一步比较，选择每个算法的结构能够产生相同的性能。固定SNR在该MSE线交叉的LS估计为20 dB为10MHz的ETU通道，MP必须执行19次迭代，GP13和12 OMP合成相应的硬件配置得到了0.374平方毫米，0.735平方毫米面积，和1.580平方毫米的MP，GP和OMP，分别。 A. ASIC实现结果对于所有的三种算法，一种配置被选择在硅要制造（图9）。由于芯片尺寸的限制，10MHz的模式（半最大LTE带宽）为选择。这些实现的最重要的人物给出了TBL。 II。只有至少OMP芯片包含正方形部分的算法。与芯片结合这部分对GP的规模导致
22、全OMP算法。可实现速并实现了存储容量允许多达50，18，和10迭代MP，GP和OMP分别。这导致在LS交点在24，25，和18分贝从而OMP是有限通过可能的迭代的数目。图9.布局制造的芯片VI.结论三种贪婪算法得以实施，有不同程度的并行性和稀疏的支持合成。MP能够利用使用面积最小的信道的稀疏性的假设。MP能够利用使用面积最小的信道的稀疏性的假设。在GP实现需要的MP的大约三倍的区域，而且还提高了估计由几个dB。在OMP算法竟然是这种实时系统过于复杂。即使有一个比GP大得多面积，迭代的可能数目不足以捕获所有相关抽头在高SNR制度。对于所有三种实现它可能然而可以证明，特别是在低信噪比制度，显著增
23、益中的信道估计的MSE可相比LS估计与硅面积相比于典型的整体的LTE基带接收机即低获得。致谢笔者想感谢法比安胡贝尔，他在GP算法的实施工作。这项工作的财政支持已经由瑞士国家科学基金会和由哈斯勒基金会提供。参考文献1 D. Donoho, “Compressed sensing,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 52,no. 4, pp. 12891306, April 2006.2 E. Cands, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: exactsignal reconstruction
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31、E-UTRAN: User Equipment radio transmission and reception, 3GPPStd. TS 36.101, Sept. 2009.15 K. Nipp and D. Stoffer, Communication Systems, 5th ed. John Wiley& Sons, 2005.405第二篇外文翻译压缩感知香农/尼奎斯特采样定理规定，为了避免捕获的信号时丢失信息，采样必须比信号带宽至少快2倍。在许多应用中，包括数字图像和视频照相机，奈奎斯特速率是如此之高，以致太多的样品结果，制造压缩存储或传输的必要性。在其它应用中，包括成像系统（医用
32、扫描仪和雷达）和高速模拟 - 数字转换器，提高采样率是非常昂贵的。本讲座介绍了一种新的方法来捕捉和表示压缩信号，显著低于奈奎斯特速率的速度。这种方法被称为压缩感知，采用非自适应线性突起该保持信号的结构；然后该信号从这些预测中使用一个优化过程重构1，2。关联这里提出的观点可以用来说明在本科数据采集，压缩，降维和优化之间的联系和研究生数字信号处理，统计，数学和应用数学的课程。必备条件先决条件是理解这一讲义材料是线性代数，基本的优化，基本概率。问题描述信号的可压缩考虑一个实值，有限长度，一维，离散时间信号x，这可以被看作是在与元件的一个N1的列向量，n =1，2，。 。 。 ，N。（我们通过向量化成
33、长一维向量处理图像或更新高维数据）。中的任何信号可在N1矢量的基础的术语来表示。为简单起见，假设基础是正交的。采用NN矩阵的基础与矢量为列，一个信号x可表示为或者（1）其中，s为加权系数的N1的列向量表示转置。显然，X和s是信号的等价表示，其中x在时间或空间域和s在域中。信号x为K稀疏，如果它是一个只有基础矢量的线性组合；也就是说，只有K的（1）是非零和Si系数（N - K）是零。利益的情况下是当KN。信号x是可压缩的，如果（1）代表刚刚几个大系数和很多小系数。变换编码及其低效事实可压缩信号由K-稀疏表示很好地近似形成的变换编码的基础3。在数据采集系统（例如，数码相机）的变换编码起着核心的作用
34、：获得全面的N-采样信号x被收购;一套完整的变换系数是通过计算的; K个最大系数的位置和第（N - K）的最小的系数被丢弃及在K值和最大系数的位置进行编码。不幸的是，这个样本当时的压缩架构从三个固有的低效率受到影响。首先，样品的起始数目N可以是大，即使所希望的K是较小。第二，集中所有的N变换系数必须计算，但其中K个将被丢弃。第三，大系数的位置必须编码，从而引入开销。THE压缩感知问题压缩感知地址这些低效率通过直接获取的压缩的信号表示，而无需通过获取N个样本1 ，2的中间阶段。考虑到计算M N内的产品一般线性测量过程x和矢量的集合作为在之间。安排在一个M1向量y的测量和测量矢量为行中的MN矩阵。
35、然后，通过用从（1）中，Y可以写成（2）其为MN矩阵。测量过程是不适应性，也就是说被固定，并且不依赖于信号x。该问题由设计）稳定的测量矩阵，使得在任何的K-稀疏的或可压缩的信号的显着的信息不被从到和b）一种重建算法来恢复x中的维数降低损坏从只含有M测量Y（或几乎一样多的测量所记录的一个传统的变换编码器系数的数目）。FIG1（a）压缩传感与随机高斯测量矩阵测量过程和离散余弦变换（DCT）矩阵。系数S中的向量是稀疏以K= 4。（b）的测量过程与。有对应于非零系数SI四列;测量矢量y是这些列的线性组合。解决方案设计一个稳定的测量矩阵测量矩阵必须允许长度为N的信号x的自MN次测量的重建（向量y）。由于
36、MN，这个问题出现病态。然而，如果x是K-稀疏和s中的非零系数的K个位置是已知的，则可以解决问题提供MK。一个充分必要条件，对于这个简化问题得到很好的条件是对于任何向量v共享相同K非零项为s和一些。（3）这是矩阵必须保持这些特殊的K-稀疏向量的长度。当然，一般来说在K非零项的s中的位置是未知的。然而，一个充分条件为K - 稀疏的和可压缩的信号的稳定溶液是满足（3）对于任意的3K-稀疏向量v。这种情况被称为受限等距属性（RIP）1。一个相关的条件，被称为不连贯，需要的的行j不能稀疏代表的列（反之亦然）。直接施工测量矩阵这样的有RIP需要验证（3）对每个中 K个非零项的长度为N的矢量v的可能组合。
37、然而，无论是RIP和不一致能够以高概率简单地通过选择来实现随机矩阵。例如，让矩阵元素j，i独立和同分布（IID）从高斯概率密度函数均值为0，方差为1/ N1，2，4。然后测量y仅是x的元素的M个不同的随机加权线性组合，如图1（a）中。高斯测量矩阵有两个有趣和有用的属性：矩阵是用不连贯的基础高概率的三角峰值。更具体地，一个MN的高斯独立同分布的矩阵可以显示出具有以高概率的RIP如果，与c a小常数1，2，4。因此，K-稀疏和长度为N可压缩信号可以从只含有个随机高斯测量恢复。矩阵是通用在这个意义上的将被iid高斯和因此具有高概率的RIP忽视正交基的选择？矩阵普遍的意义是将被IID高斯并因此忽略正交
38、基中具有高概率的RIP的选择。设计一个信号重构算法信号重建算法必须采取M测量向量y，随机测量矩阵（或生成它的随机种子），并在此基础和重建的长度-N信号x或，等价地，其稀疏系数向量s。对于K-稀疏的信号，因为M N在（2）中有无穷多个S满足。这是因为，如果，则在空的空间N中的任矢量r在的中。因此，信号重建算法的目的是找到在该信号的稀疏系数向量（N - M）维翻译零空间。最低规范重建：定义矢量s为的标准。经典的方法进行这种类型的逆问题，目的就是要找到具有最小范数的翻译零空间矢量（能量），通过解决使得（4）这种优化具有方便封闭形式解决。不幸的是，最小化几乎再也找不到一个K稀疏的解决方案，而不是返回一
39、个满阵线的许多非零元素。最低规范重建：由于范数测量信号的能量和没有信号稀疏性，从而考虑范数进行计数以s的非零项的数量。（因此，一个K-稀疏向量标准等于K.）修改后的优化使得（5）使用完全相同以高概率可以恢复的K稀疏信号只有M = K + 1独立同分布的高斯测量5。不幸的是，解决（5）这两个数值是不稳定和NP完成的，要求所有可能的s中非零项的的位置。最低规范重建：令人惊奇的是，最优化的基础上范数使得（6）使用只含有可以准确地恢复的K-稀疏信号，并以高概率得到接近可压缩信号IID高斯测量1，2。这是一个凸出优化问题，即方便地减少了一个称为基本追踪 1，2的线性程序，也计算出了其复杂性是大约为。其它
40、相关重构算法提出在6和7中。讨论在的压缩感知问题的几何形状有助于可视化，为什么重建未能找到稀疏的解决方案，可以通过确定重建。该组的所有的K-稀疏向量s 中是一个高度非线性中心包括与该对齐所有K维超平面的坐标轴如图2（a）中。翻译零空间由于在矩阵的随机性，取向为随机的角度。如图2（b）中所示。（在实践中N，M，K +3，所以基于三个维度的直觉可能是误导。）最小化器的距离（4）是上最靠近原点的点。这一点可以被发现通过炸毁一个超球（球），直到它接触H。由于H的随机取向，则最近点H的将生活远离高概率的坐标轴，因此将既不稀疏也不接近正确答案s。与此相反，球如图2（c）具有与坐标轴对准的点。因此，当球吹了
41、起来，它会第一时间联系翻译空间在附近的坐标轴的一个点，而这恰恰是其中稀疏空间H向量s的位置。这里重点一直在离散信号x上，压缩感知也适用于稀疏或可压缩模拟信号x（t），可以从一个连续的基础上或字典使用只有K出了N个可能的元素来表示，或近似。虽然每个可具有大的带宽（并因此高奈奎斯特速率）中，信号x（t）具有仅自由度，因此可以用低得多的速率来测定8，9。图2（a）包含子空间两个稀疏向量在中坐落于坐标轴附近。（b）最小可视化（5）在满阵线点接触中的球（超球，红色）和转换测量矩阵零空间（绿色）之间发现。(c) 的最小可视化解决发现感谢球在稀疏点的高概率。图3（a）单像素，压缩传感摄像头。（b）一个足球常
42、规的数字相机的图像。（c）6464黑白图像的同一球（N =4096像素）从M =1600照相机拍摄随机测量回收在（a）中。在（b）和（c）该图像不意味着被对齐。实际的例子作为一个实际的例子，考虑一个单像素，压缩数字照相机直接获取m个随机线性测量而不先收集的N个像素值10。如图3（a）中，对应于所需图像x入射光场反射离开数字显微镜器件（DMD），由N个微小反射镜的阵列的。（DMDS存在于许多计算机投影仪和投影电视。）反射光然后由第二透镜收集并聚焦到一个单一的光电二极管（在单个像素）。每个反射镜能够独立地定向或者朝向光电二极管（相当于1）或远离光电二极管（相当于0）。收集测量，一个随机数发生器（R
43、NG）中的伪随机1/0模式创建测量矢量j设置镜的取向。在光电二极管上的电压然后等于，这是j和所需的图像x之间的内积。该过程重复M次，得到y中的所有条目。不施加线结构中的递归CORDIC的光谱并且校正相位误差，来抑制相位误差的工件，而相位完成不成功由于角累加器残留相位术语。这是一个非常不同的DDS！实施作为一个实际注意，有在AGC乘法器和反馈延迟元件的寄存器之间截断量化器。这样，截断误差在寄存器中循环，并有助于不期望的直流分量，以复数正弦输出。这个直流分量可以（也应该）通过使用AGC乘法器和反馈延迟元件之间的-基于直流消除循环被抑制6。结论我们修改了传统的递归DDS复杂的振荡结构切线/余弦配置。
44、对的计算是由CORDIC旋转避免需要乘法运算来实现。为了最大限度地减少输出相位角误差，我们采用了后CORDIC清理角度旋转。最后，我们通过AGC环路稳定化的DDS输出幅度。DDS的相位噪声性能也相当出色，我们邀请您，读者，要仔细看看它的结构。一个MATLAB代码实现的DDS的可在http:/apollo.ee.columbia.edu/spm/？i =外部/提示。致谢感谢里克里昂耐心和建设性的批评超出职责要求。作者弗雷德哈里斯（fred.harrissdsu.edu）讲授DSP和调制解调器设计在圣地亚哥州立大学。他拥有12项专利的数字接收机和DSP技术。他已经写了140期刊和会议论文，是本书多
45、速率信号处理通信系统（Prentice Hall出版社出版）的作者。参考1 C. Dick, F. Harris, and M. Rice, “Synchronizationin software defined radiosCarrier and timingrecovery using FPGAs,” in Proc. IEEE Symp. Field-Programmable Custom Computing Machines, NapaValley, CA, pp. 195204, Apr. 2000.2 J. Valls, T. Sansaloni, A. Perez-Pascual
46、, V. Torres,and V. Almenar, “The use of CORDIC in softwaredefined radios: A tutorial,” IEEE Commun. Mag.,vol. 44, no. 9, pp. 4650, Sept. 2006.3 F. Harris, C. Dick, and R. Jekel, “An ultra lowphase noise DDS,” presented at Software DefinedRadio Forum Tech. Conf. (SDR-2006), Orlando FL,Nov. 2006.4 R.
47、Lyons, Understanding Digital SignalProcessing, 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: PrenticeHall, pp. 576578, 2004.5 C. Turner, “Recursive discrete-time sinusoidaloscillators,” IEEE Signal Processing Mag., vol. 20,no. 3, pp. 103111, May 2003.6 C. Dick and F. Harris, “FPGA signal processing usingsigma-delta modulation,” IEEE Signal Processing Mag., 讲义从120页延续与使用较少的约60的随机测量相比，重构像素的单个像素的摄像头获得的图像在图（c）中显示；在图3中比较目标图像（b）中。经由总变异优化1，这是密切相关的重建在小波