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1、 摘 要 微分学中值定理是微分学的核心内容，是数学分析中一个重要部分，占有举足轻重的地位，作为学习数学的我们，学习微分学是学习数学的基础，可以使我们更好的掌握和学好数学分析.微分学中值定理包括四个定理，即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理，本文讲述了各定理的概念以及各定理之间的内在联系，中值定理的认识和学习尤为重要，通过我们认真学习掌握了微分中值定理的本质和意义.与此同时，微分中值定理的应用也至关重要，一般来说，微分学中值定理的基础应用主要有四个方面：讨论方程根（零点）的存在性，近似值，不等式的证明，等式的证明，通过这四个方面的应用，我们可以深层次的挖掘微分中值定理的意
2、义，再次研究微分中值定理的性质，对研究生的学术研究颇为重要.关键词:等式证明;不等式证明;方程根（零点）存在性;近似值.IAbstractValue theorem in differential calculus is the core content of differential calculus, is an important part in mathematical analysis, occupies an essential position, as we will learn math, learning mid-value theorem is the basis of l
3、earning mathematics , differential calculus enables us to better grasp and learn mathematics analysis. This thesis has been introduced four different theorems ,including Lagrange theorem and Cauchy mid-value theorem Taylor mean value theorem and the internal relations between the theorem. by the und
4、erstanding of value theorem in differential calculus and studying, we have mastered differential mean value theorem and in all aspects of the application, the application of value theorem in differential calculus are: for example, proved that when an in equation discuss the existence of the equation
5、 root(zero point)and the application of approximation and so forth. Through these four aspects of application, we can deeply dig the meaning of the differential mean value theorem, to learn the properties of differential mean value theorem, again for the graduate students academic studies are signif
6、icant.Keywords： equation to prove ; in equation to prove; the discussion of the roots (zero) in existence ; approximate value.I目录摘 要IAbstractII1 引言12 微分学中值定理的定义12.1 预备知识12.2费马引理22.3罗尔中值定理32.4拉格朗日中值定理42.5柯西中值定理62.6泰勒中值定理103 微分学中值定理之间的关系104 微分学中值定理的应用114.1 罗尔定理的应用114.2 拉格朗日中值定理的应用134.3柯西中值定理的应用164.4泰勒
7、中值定理的应用18结束语20参考文献21致谢22III咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计） 1 引言 微分学中值定理的研究开始于17世纪初期，起初由著名数学家费马提出了费马引理，那时候人们已经对微分学中值定理有了初步的了解，逐渐地，人们对费马引理不断的探索和研究，由著名数学家罗尔，柯西，拉格朗日和泰勒将微分学中值定理推向高潮，继而出现了罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理，这几位著名的数学家为数学的发展奠定了坚实的基础，贡献了他们毕生的心血，同时也在数学领域占有优越的地位，为人类创造了不可估量的前景和趋势.所以，探索和研究微分学中值定理是学习数学的基础，微分学中
8、值定理是微分学的核心内容，乃至是数学中的一个重要部分. 现如今，人们对微分学中值定理问题的研究特别感兴趣，并且研究的结果令人非常满意，成果充实丰富，中值定理在不同方面有着不同的应用.不仅仅是数学分析，我们学习的高等数学中也有微分中值定理的相关知识，而且无论是对数学专业还是非数学专业的学子,或者是研究生入学考试还是更深层次的学术型研究都会涉及到微分中值定理，微分中值定理不可忽视.因此，我们有必要研究有关微分学中值定理,作为数学专业的学子，学习微分学是学习其他相关数学专业知识的新起点，可以让我们更好的掌握和学好数学分析，研究和探索微分中值定理，它揭示了函数的本质，函数的整体和局部相互联系，相辅相成
9、.此外,微分中值定理就像一座桥梁把函数和导数密切联系在一起，正如闭区间上的实函数与其导函数，微分中值定理是微分学不可分割的一部分，我们将四个基本的中值定理统称为微分学中值定理.本文按照三大部分来写，主要讲述了四个定理的定义及证明过程，四个定理之间的内在关系，四个定理在不同方面的不同应用，利用微分中值定理来讨论一些方程根（零点）的存在性, 对极限的求解问题，等式的证明，不等式的证明和近似值求解，通过这样的学习，我们才能真正理解微分中值定理，才可以将数学与生活联系在一起，达到人生的更高境界.2 微分学中值定理的定义2.1 预备知识在学习微分学中值定理之前，我们先了解一些闭区间上连续函数的性质和相关
10、定理.最大最小值定理：闭区间，若函数在此区间上是连续的，则函数在此闭区间上有最大值与最小值.介值性定理：在闭区间上连续的函数,有，若为介于与之间的任意一个实数或，则在开区间上至少存在一个点，使得.根的存在性定理：在闭区间上，函数是连续的，有与异号即，则在开区间上至少存在一个点，使得，即方程在开区间内至少有一个实数根.引理2.2（费马引理）在点的某个邻域内，设函数有定义，且在点处函数可以求导，若对于任意一点，使得都成立，（或），那么.证明：设为函数的一个极小值点，那么就存在，在开区间上，对于任意的一个点，使得是成立的.如果，则, 如果，则.取极限 因为在点处可导，所以根据极限的局部保号性有，因此
11、.故有 即. 证毕. 费马引理的几何意义：在平面直角坐标系中，函数的曲线如图所示，在曲线上，若有一点,在这一点存在一条切线，且为它的一个极值点，则这一点的切线与X轴是相互平行的. Y X定理2.3（罗尔中值定理） 如果函数满足以下三个条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间上可导；（3） ， 则在开区间内，至少存在一个点，使得. 证明：因为在闭区间上，函数是连续的，根据最大值与最小值定理， 此函数有最大值和最小值，分别用表示，现在讨论分两种情况：（1） 当时，则函数在闭区间上必为一个常数，此结论是成立的.（2） 当时,则因为，有最大值与最小值至少有一个在开 区间内某一点处取得，因此是的一
12、个极值点，又因为条件（2）， 函数在点处可以求导，所以，根据费马引理我们可以知道. 证毕.罗尔中值定理的几何意义：在平面直角坐标系中，连续函数的曲线如图所示，若满足罗尔中值定理的三个条件，则连续函数曲线上至少存在一个点，使得在点处的一条切线与X轴相互平行，其. Y X定理2.4（拉格朗日中值定理) 如果函数满足以下两个条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间上可导，则在开区间内至少存在一个点，使得 证明：法一（构造函数法）构造辅助函数 令，其中.因为,函数在闭区间上是连续的，在开区间上是可以求导的，所以,我们可以知道函数也满足连续和可导这两个条件，且我们还知道，因此，函数也满足罗尔中值定
13、理的三个不同的条件，即函数在开区间内至少存在一个点，使得 即 证毕. 法二（行列式法）构造辅助函数 令 ， 则有 = =由此可知，在闭区间上是连续的. =0+0+ = 由此可知，在开区间上是可以求导的.又由， .可知 .由此根据罗尔中值定理可知函数满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一个点，使得.故 .证毕. 拉格朗日中值定理的几何意义：在平面直角坐标系中，函数的曲线如图所示，函数上至少存在一个点，曲线在该点处的一条切线与曲线两个端点的连线是相互平行的. Y X 定理2.5（柯西中值定理）如果函数和满足以下条件：（1），在闭区间上连续；（2），在开区间上可导；（3），不同时为零；（4），则存在一
14、个点，使得.证明：法一（构造函数法）构造辅助函数 ， 其中. 已知，是连续且可导的函数，因此函数也在区间上连续且可以求导，此外有，因此我们根据罗尔中值定理的条件可以推知，至少有一个点，有 .即 故得 证毕.法二（行列式法）构造辅助函数 令 = =由此可知在闭区间上是连续的. =0+0+ = =由此可知在开区间上可以求导的.因为 .所以 由此可知，根据罗尔中值定理满足罗尔中值定理的三个条件，那么至少有一个点，使得使得 证毕. 柯西中值定理的几何意义：在平面直角坐标系中，函数图像如图所示，把函数和写作以为参数的两个参数方程，即，其中为，的参数，且，在平面上表示一段连续曲线，存在一个点在这条曲线上，
15、使得曲线过这一点的一条切线与过曲线两端点和的连线是相互平行的.YB AX定理2.6（泰勒中值定理）如果函数在的某个邻域内存在阶导数，对任意的一个数，则函数在以与为端点的闭曲线上是连续的，在其开区间内导函数是存在的，并且有，则在与之间至少存在一个点，使得其中.证明：的泰勒多项式可表示为 =. 根据已知条件我们可以看出函数与在闭区间上是连续的，在其开区间内导函数是存在的，又知道，并且我们可以得出. 根据柯西中值定理有：在与之间至少存在一个点，使得其中.证毕.以后学习中用的较多的是泰勒公式在时的特殊形式,即 称为麦克劳林公式.3 微分学中值定理之间的关系 我们已经学习和掌握了微分学四大中值定理，对各
16、中值定理已经有了一定的了解，并且知道各中值定理的定义，证明过程和方法，各定理所表示的几何意义，通过对中值定理的学习，我们不难发现各中值定理之间是相互联系的，那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又该如何来探讨呢？我们要解决这个问题必须通过一定的方法和手段，在此我们借用推广和收缩的手段进行探讨，这有利于我们深层次学习微分中值定理.通过仔细观察和类比，我们从中可以观察到，罗尔中值定理与拉格朗日中值定理只差一个条件，即，拉格朗日中值定理加上条件就变成了罗尔中值定理.相反地，如果在罗尔中值定理中减掉条件的话，显然该定理就变成为了拉格朗日中值定理.通过这一发现，可以得到这样的一个结论：罗尔中值定理通过推广
17、变成了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理通过收缩变成了罗尔中值定理，两者之间的关系如同特殊与一般的关系，即由特殊到一般，又由一般到特殊.我们再来观察拉格朗日中值定理与柯西中值定理，用同样的观点来探讨两者之间的关系，先来观察柯西中值定理，假设柯西中值定理中的的话，这样一来，拉格朗日中值定理与柯西中值定理的关系显而易见，两者之间的关系也是一般与特殊的关系，借用推广与收缩的手段，即柯西中值定理通过收缩变成了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理通过推广变成了柯西中值定理，两者关系密切.而对于比较复杂的函数，为了便于探索和研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.因此，用多项式逼近函数已成为近似计算和理论
18、分析的一个重要内容，泰勒中值定理是这一定理理论的基础，由柯西中值定理可以推出泰勒中值定理，泰勒中值定理在一阶导数的情况下就是拉格朗日中值定理.总的来说，四个中值定理共同形成微分学的核心内容，它们之间相辅相成，关系密切，不可分割.我们从上面的讨论中可以总结出：罗尔中值定理为微分学奠定坚实了的基础，而拉格朗日中值定理也同样重要，是微分学的核心知识，那么柯西中值定理是这一部分内容的推广再应用，柯西中值定理在求极限时的可以利用罗比达法则.如果我们从几何意义上来看微分学中值定理的话，那么它们之间又是如何的呢？若用几何解释即：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，并且存在的切线于轴相交的
19、夹角不为直角；总而言之，这一类曲线具有共同的性质，即在曲线上有一个点，在这一点的一条切线与曲线端点的连线是相互平行的”.4 微分学中值定理的应用四大中值定理的应用尤为广泛，在我们的平时学习中，主要有等式证明、不等式证明、讨论方程根（零点）的存在性、求解近似值等方面的应用.下面通过具体的例题来学习中值定理，更好地应用微分中值定理，为我们的学习奠定良好的基础.4.1 罗尔定理的应用 罗尔中值定理是微分学中值定理的基础，学习罗尔中值定理有利于我们学习其它中值定理，同样也是解决各类中值问题的依据和工具,利用罗尔中值定理解决问题步骤如下:(1)是标准形式，通过变形解决问题.(2)构造辅助函数法，函数使得
20、等式正如.一般情况下,将看作的函数求其原函数,就可以得出所需的函数.(3)验证（或）,这一步很简单,在构造辅助函数时就已经考虑到了.例4,1.1 设函数在上是连续的，在内导函数存在，且，则至少存在一个点，有.证明：令，则 即可得到关于参数的方程 .当时，则 即 再令所以又因为, 所以由此可知在上连续，在内可导，并且则根据罗尔中值定理可知，至少存在一个点，有.令，有，而因此至少存在一点，使得.例4.1.2（等式证明）设函数在上连续，在内可导，且有，求证：在内至少存在一个点，有.证明：作辅助函数 令则函数在上连续，在内可导,又知，满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点，有.又因 所以 即 .例4.
21、1.3 （根的存在性证明） 设，且满足以下这个程，证明：方程在内至少有一个实根.证明：作辅助函数 则,在上连续，在内可导，故由罗尔中值定理可知，那么存在一个点，有 又.由此即知原方程在内有一个实数根.例4.1.4 设，证明：存在一点，使得.证明：由于在闭区间上是连续的，且在开区间内导函数存在. 又有， .根据罗尔中值定理的三个条件，故存在一个点，有.4.2 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理应用也很广泛，因为它对函数的要求不是很高，应用拉格朗日中值定理与罗尔中值定理证明问题的方法类似，只是拉格朗日中值定理的应用变形稍微多样一点.例4.2.1 设函数在闭区间上是连续的，在开区间内导函数存在，
22、且有，证明：存在两点，有.证明:将要证明的式子变形为：设 ，根据拉格朗日中值定理，则在内存在一个点，有 .又因 ， 所以 设，根据拉格朗日中值定理，则存在一点，使得即 故证得 .例4.2.2 设函数在闭区间上存在二阶导函数，有，并且存在一个点，有，试证：至少存在一个点，使得.证明：因为函数在上存在二阶导函数，则可知在闭区间，上均存在二阶导函数，根据拉格朗日中值定理得: 存在一个点，使得. 存在一个点，使得.而导函数在，同样可得.故 .例4.2.3（近似值求解） 求解近似值.解：设函数，令，即， 根据拉格朗日中值定理可得，存在一个点有 则 .例4.2.4（根的存在性证明） 设函数在区间上连续，且
23、时，为一常数，又有，试证明：方程在区间内有唯一的实根.证明：根据题目条件和连续函数的性质，对函数在闭区间上应用拉格朗日中值定理，则 因而 ,又知，根据连续函数介值性定理可知，存在一个点，有 .又因 故函数在闭区间上严格单调递增，从而方程在区间内有唯一实根.4.3柯西中值定理的应用柯西中值定理中包含两个不同的函数,因此柯西中值定理的应用要比罗尔定理与拉格朗日中值定理的应用复杂一些,需要强调的一点是，我们如何才能找出这两个不同的函数，使得这两个不同函数满足柯西中值定理的几个已知条件,并且证明过程相对来说比较简单，柯西中值定理的应用要与其他定理联系在一起，所以解决问题时要分层次去进行.若待证公式明显
24、地可表示为,则很可能就是,因而可应用柯西中值定理.4.3.1 （等式证明）设，函数在闭区间上连续，导函数存在，则存在一个点，有.证明：令， 则，并且，在闭区间上连续，在开区间上存在导函数，由柯西中值定理可知，即存在一个点，有 . 即.例4.3.2 （不等式证明）设，对的情况，求证：.分析：做商法，做差法是证明不等式的常用方法，对于该题目，我们观察可知如果直接应用做差或做商的显然是不行的.我们是否可以通过变形，再应用做商或做差呢？通过分析这个不等式，不难发现当时，等式两边就相等了，因此，我们需要分类讨论.用构造辅助函数法去解决该问题行之有效.证明：当时结论显然成立.当时，取或，在该区间设，根据柯
25、西中值定理，有： 或即当时 ，即 又 故 即 当时 ，则 故 即证得 .例4.3.3 （等式证明）设均大于零，且，证明：存在一点，使得.证明：把要证明的式子变形为：,有 从而有 令 ， 根据柯西中值定理，我们知道存在一个点，有故证得 .4.4泰勒中值定理的应用 例4.4.1 设（1），在闭区间上连续； （2）在开区间内存在； （3）； （4）在开区间内存在一个点，有，求证：在开区间内存在一个点，有.证明：根据题目的已知条件可知，存在一个点，使得函数在处取得最大值，并且根据条件(4)可知，那么也是极大值点.所以 由泰勒公式有： ，故 .例4.4.2 求的麦克劳林公式.解：因为 （） 则 近似公式
26、： 又 另外，我们有函数的一些近似表达式：，.例4.4.3 用泰勒多项式逼近正弦函数，其误差不超过，以和两种情况分别讨论的取值范围.解：（1）当时，使其误差满足 得 （弧度）. （2）当时，使其误差满足 得 （弧度).结束语 学习了微分学中值定理,我们了解了四大中值定理的基本内容,即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理的定义，证明方法及过程，在各不同方面的应用，我们知道中值定理是微分学的理论核心知识，它将进一步利用导数理论来研究函数及其曲线的某些性态的基础，把导数和微分贯穿起来去解决实际问题，微分学中值定理的证明除了利用构造辅助函数，还可以利用变形等其他的证明方法加以证明
27、，同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着各种递进关系.深入研究微分中值定理，有助于我们巩固这些基础知识，这些定理的证明方法和证明过程也特别重要，理解其中的奥秘能促使我们掌握微分中值定理在各方面的具体应用，如对微分中值定理等式的证明、不等式的证明、方程根（零点）的存在性以及求近似值等的应用. 参考文献（1）华东师范大学数学系.数学分析M，北京：高等教育出版社第三版，2001.（2）同济大学应用数学系.高等数学M，北京：高等教育出版社，2003.（3）魏毅强，微积分与数学建模教程M，北京：高等教育出版社，2012.（4）张则增，周相泉.微分中值定理的推广J,山东师范大学学报，1998.（5
28、）杨耕文，用行列式法证明微分中值定理J，洛阳大学学报，2006.（6）欧阳光中，朱学炎.复旦大学数学系，数学分析第三版M,北京：高等教育出版社，2007.（7）刘章辉，微分中值定理及应用J，山西大同大学学报（自然科学版），2007.（8）胡适耕，姚云飞编.数学分析：定理.问题.方法M，科学教育出版社，2007.（9）高等数学复习及习题选讲M，北京工业大学出版社，2005.（10）童蓓蕾，胡燕.微分中值定理证法的改进J，科技创新导报，2011.（11）无良森，数学分析学习指导M，北京：高等教育出版社，2004.（12）吴赣昌，高等数学M，中国人民大学出版社.（13）李成章，黄玉民编，数学分析M，
29、北京：科学出版社，2004.（14）杨传林，数学分析解题思想与方法，浙江大学出版社，2008.（15）邓乐斌，数学分析理论，方法与技巧M，华中科技大学出版社，2008. 致谢 完成微分学中值定理及其应用这篇论文，首先，特别感谢我的指导老师强老师热情和细心的指导，同时也感谢帮助我的同学和好朋友，帮我搜集相关资料，告诉我写论文应该注意的各种问题.在我写论文的期间，强老师付出了很多，不时的开会指导我们避免出现不同的问题，尽心尽力地帮助我，无论是在论文的构思和论文格式方面，还是在论文的研究方法方面，都引导我翻阅了大量不同的书籍和资料，对论文进行了多次且细致的修改，使我的论文更加严密与完善.老师严谨的教学精神以及渊博的知识，都使我受益匪浅，在此我代表个人谨向强老师致以衷心的感谢！同时也感谢各位评审老师！ 21