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1、毕业设计柯西不等式在高中数学中的应用及推广摘要本文主要介绍著名不等式柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.关键词柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可
2、以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用.2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指 (1)当且仅当时，等号成立.2.1 构造二次函数证明首先 当或时，不等式显然成立.令当中至少有一个不为零时，可知,构造二次函数展开得故的判别式,移项得,得证.2.2 向量法证明令则对向量有得当且仅当，即平行式等号成立.2.3 数学归纳法证明a) 当n=1时 有，不等式成立.b) 当n=2时 因为，故有当且仅当，即时等号成立.c)
3、 假设n=k时等式不成立，即当且仅当时等号成立.d) 那么当n=k+1时当且仅当时等号成立.于是n=k+1时不等式成立.由a),b)c),d)可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立.2.4 利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西拉格朗日恒等式由实数性质可得柯西不等式成立.以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的研究提供了更完备的参考理论.3 柯西不等式的推广命题1 若级数与收敛，则有不等式.证明 由 ，收敛 ，可得 因为收敛，且 ，从而有不等式成立.命题2 若级数与
4、收敛，且对有，则对定义在上的任意连续函数有不等式.证明 因为函数在区间上连续，所以函数与、在 上可积，将区间等分，取n每个小区间的左端点为，由积分的定义得令则与收敛，由柯西不等式得从而有不等式命题3 赫尔德不等式设满足，则等号成立的充分必要条件是.证明 在证明时，对任何正数A和B，有.对凸函数有令代入上述不等式并对于k=1,2,n,把这n个不等式相加得 即成立.等号成立的充分必要条件是 .我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不 菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、
5、渗透性和统一性.4 柯西不等式的应用4.1 在不等式的证明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索.例1 设定义在R上的函数，若且，求证：.分析 要证明即证故只需证因为(2）又因且，故所以 即 所以 .例2 为互不相等的正整数，求证：对于任意正整数n,有不等式.证明 由柯西不等式得又因为为互不相等的正整数 ，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于1，这样就有，所以有所以有.例3 设，证明证明 由柯西不等式，对任意的n个实数，有于是=4.2 利用柯西不等式求最值例4 已知实数满足
6、,试求的最值.解 由柯西不等式得 (3)即，由条件可得：解得当且仅当 时等号成立.代入(3)式得时，；时，4.3 求函数的极值柯西不等式也可以广泛的应用于求函数的极值或最值.事实上，由可得如将上式左边看做一个函数，而右边值确定时，则可知的最大值与最小值分别是与且取最大值与最小值的充分必要条件是. 反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值.例5 求函数的最大值.解 首先求得函数的定义域为：当且仅当即时等号成立.所以.例6 求函数的极值，其中是常数.解 由柯西不等式故有当且仅当时，即时，函数有极小值，极大值.例7 已知为常数，当时，求函数
7、的最大值与最小值.解 由柯西不等式知当且仅当，即（t为常数）时等号成立.将代入得.则即当时分别为所求的最大值与最小值.4.4 求参数范围例8 已知对于满足等式的任意数，对恒有，求实数a的取值范围.解 因为要使对恒有，即.4.5 三角形及三角函数问题例9 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径,证明：.证明 由柯西不等式得 记s为 的面积，则即有故不等式成立.例10 求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即,其中为三角形三边长，S为三角形的面积.证明 由海轮-秦九韶面积公式：其中可得由柯西不等式当且仅当，即时成立.于是 变形得即故有，当且仅当时等号成立.例11 在三角形AB
8、C中，证明 .证明 由柯西不等式即 (4)因为故 （5）又因为 因而 （6）将（5）代入（4）得 （7）将（6）代入（3）得 即.4.6 利用柯西不等式解方程例12 在实数集内解方程.解 由柯西不等式，得 所以 （8）又,即（7）式取等号.由柯西不等式取等号的条件有 （9）将（8）式与联立，则有.4.7 用柯西不等式解释样本线性相关系数在概率论与数理统计一书中，在线性回归中有样本相关系数 并指出且越接近于1，相关程度越大；越接近于0.则相关程度就越小.现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数.记，则，由柯西不等式有，当时，此时，k为常数。点均在 直线上，当时，即,而k为常数，k为常数.点均在直线
9、附近，所以越接近1，相关程度越大；当时不具备上述特征，从而找不到合适的常数k使点都在直线附近.所以越接近于0，则相关程度越小.5 中学数学中柯西不等式的应用技巧在上文柯西不等式的应用中可以看出,柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且它对初等数学也有很好的指导作用,利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题.下面我们以柯西不等式证明不等式为例，谈谈此类问题的解题技巧.5.1 巧拆常数例13 设为整数且各不相等，求证：.分析 因为均为正，所以为证结论正确，只需要证而 又再进行简单地变换就可以证明要证明的结论.5.2 重新安排某些项的次序例14 为非负数， 求证： 分析 不等号左边为
10、两个二项式的和，为非负数，,每个两项式可以使用柯西不等式，直接做得不到预想结论.当把两个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.5.3 改变结构例14 若abc，求证：.分析 初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可能使用柯西不等式了结论改为.5.4 添项例15 求证：.分析 左端变形所以只需要证此式大于等于即可.参考文献1王学功. 著名不等式.M.中国物资出版社.2南山. 柯西不等式与排序不等式.M.湖南教育出版社.3李长明 周焕山. 初等数学研究M.高等教育出版社.4戴振强.柯西不等式的应用.牡丹江教育学院学报.2006年03期.5罗增儒 .柯西不等式的证明与应用(上)J.中学数学.
11、2008（11）.6李永革.一道不等式的证发探究(上)J.青苹果.2007（03）.7尹建堂.柯西不等式得应用J.高中数学教与学.2009（01）.8王勇，周雪丽.柯西不等式在三角中的应用J.中学数学志.2011(07)9P. Cerone.Refinements of some reverses of Schwarzs inequality in 2-inner product spaces.anapplications for integrals.J.J. Indones. Math. Soc,2006,12(2).10Sever S. Dragomir.Reverses of the S
12、chwarz inequality generalizing a Klamkin-McLenaghan result.J.Bull. Aust. Math. Soc.2006,73(1).11Jean Dieudonne.On some applications of the Schwarz lemma. (Sur quelques applications du lemme de Schwarz.).J.C. R. 190, 716-718 (1930).1930.12Kostadin Trencevski.On a generalized $n$-inner product and the
13、 corresponding Cauchy-Schwarz inequality.J.JIPAM, J. Inequal. Pure Appl. Math.,2006,7(2).The application and popularization of Cauchy inequalityAbstract：This paper mainly introduces several famous inequalities - Cauchy the inequality proof method and its application in elementary mathematics problem
14、 solving. At the same time, the promotion in other fields are briefly discussed, and some problems in the middle school mathematics teaching are discussed, the application of Cauchy inequality in high school mathematics problem solving in the extensive forensics and proved, which affirmed its importance in high school mathematics learning .【关键词】柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学Keyword：Cauchy inequality; the value function; trigonometric function to prove inequality teaching第 12 页 共 12 页