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1、函数单调性的应用系 别 专 业 班 级 姓 名 指 导 教 师 2013年5月8日）摘 要函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的范围等。所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。关键词 ：函数单调性，判别，导数，应用AbstractMonotonic function not only is one o
2、f the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed
3、and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis whats the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching,
4、or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance.Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application 目 录1、前 言12、函数单调性的基础理论12.1 函数单调性的基本概念1 2.2 函数单调性的常用定理与性质33、函数单调性的判别7 3.1 初等数学中函数单调性的判别7 3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性84、函数单调性的解题应用8 4.1 单调性在求
5、极值、最值中的应用8 4.2 单调性在不等式中的应用14 4.3 单调性在求方程解问题中的应用15 4.4 单调性在化简求值方面的应用16 4.5 单调性在比较大小方面的应用175、函数单调性在实际生活中的应用17 5.1 单调性在材料合理利用中的应用17 5.2 单调性在生产利润中的应用18 5.3 单调性在结构工程中的应用20 5.4 单调性在优化路径中的应用216、结 论22致谢23参考文献24 1、前 言单调性是近代数学的重要基础，是联系初等数学与高等数学的重要纽带。研究函数在无限变化中的变化趋势，从有限认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，都要用到单调性。它的引入为解决相关数
6、学问题提供了新的视野，为研究函数的性质、证明不等式、求解方程、比较大小等方面提供了有力的工具。本文将在已有文献的基础之上，总结单调性在解决数学问题中的相关应用，并且探讨单调性在利润最大化、材料优化、资源整合和路径选择等方面的应用。2、函数单调性的基础理论2.1 函数单调性的基本概念2.1.1 函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为：如果对属于内某个区间上的任意两个自变量,当时,都有，那么就说在这个区间上是增函数。如果对属于内某个区间上的任意两个自变量,当时,都有，那么就说在这个区间上是减函数。若函数在这一区间具有(严格的)单调性,则就说函数在某个区间是增函数或减函数，这一区间叫做函数的单调区
7、间，此时也说函数是这一区间上的单调函数。2.1.2 函数单调性的意义在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。函数的这一性质在解决函数求极值、比较大小、求解方程的根、解不等式等问题时都有很大的帮助，在现实生活中，例如在经济领域中如何实现利润最大化，在工程领域中如何计算材料的极限强度，在航空领域中计算航空器回收落地时间等等，函数单调性都有很重要的应用。2.1.3 函数单调性的理解 (1) 图形理解在区间上，的图像上升（或下降）是区间上的增函数（或减函数）。OxX1X2y增函数图像OxX1X2y减函数图像例1 证明函数上是减函数。证明：设是区间上的任意实数，且，则图像如下:x110
8、01x2f(x2)()(x2)图1.1.1(2) 正向理解（定义理解）在区间上单调递增，,且；在区间上单调递减，,且。例2 设函数在上是增函数，函数是偶函数，确定的大小关系。解：函数是偶函数，又因为在上是增函数，且即(3) 逆向理解在区间D上单调递增，,且；在区间D上单调递减，,且。例3 已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数a的取值范围。解：由已知可知，又是奇函数 。是定义在上的减函数， ，解得。(4) 导数理解设函数在区间D内可导，若，则是减函数；若，则是增函数。反之，若函数是增函数，则；若函数是减函数，则。例4 函数在是减函数，求的取值范围。解：在上递减，恒成立，则(1) 当时，满足条
9、件。(2) 当时，只须满足即可。综上所述得.2.2 函数单调性的常用定理和性质2.2.1 最值定理对于在区间上有定义的函数,如果有,使得对于,都有(或)，则称是函数在区间上的最大值(或最小值)。例1 求函数在区间上的最大值和最小值。解：由三角函数的性质可知,当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.故函数的最大值为2，最小值为0。定理1（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。如果函数在闭区间上连续，那么至少有一点，使是在上的最大值，又至少有一点，使是在上的最小值。注意，不是任何函数都有最大值和最小值。例如函数在开区间内既无最大值又无最小值。2.2.2 有界性定理根据
10、定理1可知，函数在其连续区间上一定存在最大值和最小值，使任一满足。该式表明，函数在区间上有上界和下界，因此函数在区间上有界。定理2 若函数在闭区间上连续，则在上有界。2.2.3 零点定理定理3 设函数在闭区间上连续，且与异号，那么在开区间内至少有一点，使。例2 证明方程在区间内至少有一个根。证明：设，则在闭区间上连续，并且，根据零点定理，在区间内至少有一点，使得。从而说明了方程在区间内至少有一个根。2.2.4 介值性定理定理4 设函数在闭区间上连续，且，若为介于与之间的任何实数(或)，则至少存在一点,使得。 2.2.5 极值的判定定理 若函数在点的某邻域内对一切有，则称函数在点取得极大（小）值
11、，称点为极大（小）值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。函数极大值和极小值概念是局部性的，如果是函数的极值点，那只就附近的一个局部范围来说，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有则是函数的一个极大值；如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极小值, 对应的极值点就是（，）。如果就的整个定义域来说，不一定就是最大值或最小值。定理5（费马定理）设函数在点的某领域内有定义，且在点可导。若点为的极值点，则必有。定理6（极值的第一充分条件）设在点处连续，在某领域内可导。（1） 若时，当时，则在点取得极小值；（2） 若时，当时，则在处取得极大值。 例3 判断函数在的单
12、调性。解：函数有正有负，。定理7（极值的第二充分条件）设函数在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且，。（1）当，则函数在处取得极大值；（2）当，则函数在处取得极小值。证明：在情形（1），由于，按二阶导数的定义有 根据函数极限的局部保号性，存在的某个去心邻域，在该邻域内有 ； 则在时，在时，。由极值的定义可知，函数在处取得极大值。同理，可证明（2）当，函数在处取得极小值。例4 设函数由方程所确定，且。问在处是否取得极值？若取得极值，是极大值还是极小值？解：因为，所以，即又 ，。3、函数单调性的判别3.1 初等数学中函数单调性的判别在最初对函数的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、指数函数、
13、幂函数、分段函数等。在对这些函数的学习中我们主要结合了函数的图像来判断函数的单调性。3.1.1 一次函数单调性的判别一次函数的解析式：当时，对应定义域内图像是上升的：当时，对应定义域内图像是下降的；当时，一次函数变成为常数，不讨论单调性。3.1.2 二次函数单调性的判别二次函数的解析式，其图形形式为抛物线。其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最小值，即在上为单调递减函数；其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最大值，即在上为单调递增函数。3.1.3 指数函数单调性的判别指数函数的一般解析式,其中且过点（0,1）。其中当时，函数在定义域内为单调递减函数,其中当时，函数在定义域内
14、为单调递增函数。时，的值越小函数值下降越快；时，的值越大数值增加越快。3.1.4 对数函数单调性的判别对数函数的一般解析式,其中且过点。其中当时，函数在定义域内为单调递减函数，其中当时，函数在定义域内为单调递增函数。当时,的值越小函数值下降越快；当时,的值越大函数值增加越快。3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（在点仍在邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比，在时的极限存在，这称函数在点处可导，并且称这个极限为函数在点处的导数，记为，即。 导数体现在单调性上就是导数的几何意义：函数在点的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切
15、线的的倾角。也就是说若导数大于零，则函数单调增加，若导数小于零，则函数单调减小。例1 求证：当时，。证明：令，则，则故在上单调递增，从而当时， ，于是在 上单调递增，即。4、 函数单调性的解题应用4.1 单调性在求极值、最值中的应用4.1.1 一元函数的极值极值定义：一般地，若函数在点的某领域内对一切有 则称函数在点取得极大值，是极大值点。函数在点的某领域内对一切有，则称函数在点取得极小值，是极小值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。例1 设为实数,函数 (1)求的极值。(2)当在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点。解：(1)，若=0，则，。当变化时，变化情况如下表
16、：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值的极大值是，极小值是(2)函数由此可知，取足够大的正数时，有，取足够小的负数时有，所以曲线与轴至少有一个交点。结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上。当的极小值10即时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在上。所以，当时，曲线=与轴仅有一个交点。例2 设函数，已知是奇函数。（1）求、的值。（2）求的单调区间与极值。解：（1），,从而 即是一个奇函数,所以得，由奇函数定义得；（2） 由（1）知从而，令=0，解得 ，由，。由此可知,函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取
17、得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。4.1.2二元函数的极值对于二元函数在点的某邻域内有二阶的连续偏导数，。令，。（1）当时，函数在处有极值，且当时有极小值；时有极大值；（2）当时，函数在处没有极值；（3）当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值。如果函数具有二阶连续偏导数，则求的极值的一般步骤为：第一步 解方程组，求出的所有驻点；第二步 求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处、的值，根据的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数在极值点处的极值。例3 设是由确定的函数，求的极值点和极值。解：因为 ，所以令得 故将其代入，可得 或 由于所以，故，又，从而点是的极小值点，极小值为。类
18、似地，由 ，可知，又，从而点是的极大值点，极大值为。4.1.3二元函数的条件极值（拉格朗日数乘法）拉格朗日数乘法：设二元函数和在区域内有一阶连续偏导数，则求在内满足条件的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数（其中为某一常数）的无条件极值问题。于是，求函数在条件的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：（1）构造拉格朗日函数其中为某一常数；（2）由方程组解出，其中点就是所求条件极值的可能的极值点。拉格朗日数乘法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论。不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点。例5 经过点的所有平面中，哪一个平面与坐
19、标面在第一卦限所围的立体的体积最小并求此最小体积。解：设所求平面方程为因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有 (1)设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则 (2)原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值作拉格朗日函数 (3)求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：由此方程组和（1）解得a = b = c = 3.由于最小体积一定存在，且函数有惟一的驻点，故为所求，即平面与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小，最小体积为。4.1.4函数的最值函数极大值和极小值概念是局部性的如果是函数的极值点那只就附近的一个局部范围来说,是的一个最大值；如果就的整个定义域来说，不
20、一定是最大值。关于极小值也类似。所以在求函数最值时，一般在求出各个驻点的值后还要求出边界上的值。设在上连续，那么在上一定取得最大值和最小值，内可导或只有个别的不可导点，则可以用以下方法求出和及相应的最大值与最小值。首先求出的解，即求的驻点；算出在这些点的函数值；若有不可导点，算出在这些点的函数值；求出，。最后比较所有这些函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。类似可推广到二元函数。例6 已知为实数,。若，求在2，2 上的最大值和最小值。解：由原式得所以由 得,此时有。由得或当在变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增在2,2上的最大值为最小值为。例7 设，求的最大值。解：是分段函数，表达
21、式为： 易得在连续,求导得 由此得时，在单调增加；时， 在单调减少。故在上的最大值就是在上的最大值。在上解，即，得。又，因此在上的最大值为。4.2 单调性在不等式中的应用设函数y=在定义区间上连续，在内可导，如果在定义区间内那么函数在上单调增加；如果在定义区间内那么函数在上单调减少，这是函数的单调性，也是应用在函数不等式解题中中最基本性质。结论1 设在区间内可导且满足如下条件：（1）时，则有；（2）时，则有。结论2 设在区间内可导则有。结论3 设在区间内可导则有。结论4 设在区间内可导，且，则有。例 1 求证：证明：令,函数的定义域是。.令，解得。当时,当时,，又，故当且仅当时，取得最大值，最
22、大值是0。所以,即例 2 当 时,证明不等式成立。证明: 令 ,则有,，即，所以为单调递增函数，即。例 3 设在区间上可导且。求证：证明: 将上限改写成，设辅助函数为则（因为），所以单调递减，故,所以单调递减。故其中，所以 4.3 单调性在求方程解问题中的应用利用函数的单调性结合图象能直观地研究图象的交点，假若能将问题转化为两函数的交点问题，这类问题便可以轻松获解。例 1 求解方程： 解：令因为为在上的单调递增连续函数，且有即在-2,6上只有一个根。又把代入时有，即原方程只有一个根。例 2 当时，解方程。利用性质，若函数是单调递增函数，则函数与它的反函数图象的交点必在直线上。解：设则有因为，所
23、以在上是增函数，即原方程与方程同解，即为方程：的解。解之得显然，；又因为，所以，故而均为原方程的解。4.4 单调性在化简求值方面的应用对于求代数式的值，可视为相应函数的一个特殊值，再利用该函数的单调性，把函数值的相等转化为自变量的相等，有时能巧妙获解。例1 设为实数，并满足 ，求的值。解：由，所以,都是方程的根。构造方程，因为在恒成立，所以在内为增函数，所以方程只有唯一解，即，所以有。例2 设实数满足条件求的值解：设，有,因为.又,令即为单调增函数且为奇函数，所以，即有。4.5 单调性在比较大小方面的应用函数单调性用于比较大小一般性原则：在同一个函数中有，当函数在区间内是增函数时有；当函数在区
24、间内是减函数是时有。函数单调性运用于比较大小的一般做法：首先运用导数等方法判断函数在区间的单调性，然后利用以上性质在严格单调的区间内比较大小。例 1 设且，比较。解：因为所以即有因为，不妨设，在上单调递增，则，所以，即。5、函数单调性在实际生活中的应用函数单调性在实际中的应用主要反映在最值（极值）上，如材料优化、资源整合、利润最大化、路径选择等。5.1 单调性在材料合理利用中的应用例1 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取使所用材料最省？解：金属饮料罐高为，底面半径为，材料最省即是表面积最小，且表面积是关于和的二元函数，则=+.由常数（定值），则 =2+（为常数） 令,则,
25、代入，得，即。例2 横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的宽和高应该各是多少？ 解：设断面的宽和高分别是和，则横梁的强度，又， 故求的最大值即可。由,得=，函数在上连续，故必有最大值和最小值，则当变化时的变化情况如下表：表 4-1 0 -+00 递增极大值 递减0由表可知= =。5.2 单调性在生产利润中的应用例1 生产某种产品需要投甲、乙两种原料和（单位：吨）分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为（单位：吨），其中，且。两种原料的价格分别为与（单位：万元吨）。试问，当投入两种原料的总费用为（单位：万元）时，两种原料各投入多少可
26、以使该产品的产出最大？解：由题设只应求函数在条件之下的最大值点，应用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数，为求的驻点，解方程组 由方程，可得，解得.代入有，解得，。因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故在两种原料投入的总费用为（万元）时，这两种原料的投入量为（吨），（吨），可使该产品的产出量最大。例2 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为：。(1)在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；(2) 若提供的广告费用为总额15万元，求相应最佳广告策略。解：(1)利润函数为求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：解得，。则为惟一的驻点。又由题意
27、，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到。 所以最大利润为万元。因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略。(2)求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件 下， 求的最大值作拉格朗日函数求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：并和条件联立解得，。这是惟一的驻点，又由题意一定存在最大值，故万元为最大值。5.3 单调性在结构工程中的应用例1 如下图所示，此简图为一常见的框架梁结构图。梁上分布有均布荷载，求此梁最大处弯矩？ 图4.3.1解：将图形简化如下 图4.3.2（1）求支座反力由和对称条件知 （2）列出剪力方程和弯
28、矩方程：以左端为原点，并将表示在图上。（3）依题意得当时，；当时，；当时，；故时，取得最大值，,即弯矩最大处在跨中位置。5.4 单调性在优化路径中的应用例1 工厂到铁路线的垂直距离为,垂足为,铁路线上距离为处有一原料供应站,现要在铁路之间某处修建一个原料中转站，再由车站向工厂修一条公路，如果已知每千米铁路运费与公路运费之比为，那么应该建在何处，才能是原料供应站运货到所需运费最省？ 图4.4.1解：设之间的距离为，则有如果公路费用为，那么铁路运费为，故原料供应站途径中转站到工厂所需总费用为求导得令，即得,解得，（舍去），且是函数定义域内的唯一驻点，所以是函数的极小值点，而且也是函数的最小值。由此
29、可知，车站建于之间并且与相距处时，运费最省。6、总结本文先通过介绍函数单调性的概念、意义及单调性的判别方法，进而归纳总结函数单调性在解决数学问题上的应用，最后结合实际生活中的一些问题，从而对函数单调性的应用有了深入理解。本文的创新点在于不仅对单调性在解决数学问题中的应用进行了分类归纳，更深入例举了函数单调性在解决实际问题中的应用，像如何做到使材料最省、利润最大，优化路径等。对于学习者来说，通过阅读这篇论文不仅能系统地掌握单调性的相关知识，还能了解单调性在解决实际问题中的作用，开阔视野，增加其对单调性的学习兴趣。展望未来，随着相关理论基础的不断充实，函数单调性将会在解决实际问题中发挥更大的作用，
30、诸如计算飞船下落回收时间，计算物种成长繁殖速度问题等，这些在目前看来尚不能精确掌握的问题都会迎刃而解。致谢 弹指一挥间，大学的学习生活即将流逝。在这四年里，幸运的让我遇到了这么多令我受益匪浅的老师、同学，正是在他们的关怀帮助下，我才能从懵懂之童,成长到今天,才能顺利的完成这次的毕业论文。首先我要感谢我们的学校和老师以及我在同一个窗檐下学习奋斗的兄弟姐妹，为我提供了良好的教育环境和良好的学习氛围，使得我能够学习成长到今天。更感谢我含辛茹苦的父母亲，他们都是农民，他们没有文化，他们不能给予我荣华富贵，但是他们是我最亲爱的人，他们给予了他们能够给予我的父爱母爱，给予了我做人的最基本的道理。他们辛劳一
31、生，把希望都寄托在了我的身上，是他们在物质上的资助和精神上的鼓励，成就了我的今天。非常感谢我的毕业设计指导老师刘倩老师对我的毕业论文进行了悉心的指导，并提出了很多的宝贵意见。毕业论文初期，论文要从零开始，是老师们的悉心指导，使我顺利完成了论文设计。感谢老师对我论文的指导，帮我解决了一些疑难问题，令我豁然开朗、柳暗花明。再次向所有关心我、支持我、帮助我的师长、亲人、朋友致以最真的谢意！ 参考文献1 王宜田.谈谈数学解题教学中的一题多用J.科技信息,2008, (4): 17-25.2 张一军.例谈函数单调性应用常见题型J.试题与研究(新课程坛) ,2010,(11): 32-34.3 万保军.巧用函数单调性解题3例J.高中数理化,2009,(5):17-18.4 王玫娟.常考常新的函数单调性问题解析J.教育实践与研究,2005,(10): 22-26.5 赵冰泉.函数单调性的九大应用阐释J.中学生理科月刊（高中版）,2005,(9): 6-9.6 叶立军.初等数学研究M.华东师范大学出版社,2008:83-87.7 王亚辉.数学方法论-问题解决的理论M.北京大学出版社,2007:104-113.8 薛金星.高中数学解题方法与技巧（第三版）M.北京教育出版社,2003: 97-114.9 李美珍.数学解题技巧的培养J.教学法研究,2004,(5): 2-7.24