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1、 专业代码学 号： 毕 业 论 文 题 目：应用三角形的面积公式证明几何问题 学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级： 级姓 名：指导教师：完成时间：2012年3月9日应用三角形的面积公式证明几何问题摘要：面积是几何图形的重要属性，它与线段、角之间有着密切的联系。因此这篇文章总结了应用三角形面积公式解或证明几何的一些题目，从中体现了运用三角形面积公式解题的优点。关键词：三角形面积公式；线段；角；比例式Abstract：The area is the geometry of the important attribute, it and the line angle, ther
2、e is a close connection between. Therefore, this article summarizes the application of the triangle area formula solution or prove geometric problems, from which embodies the advantages of triangle area formulas.Key words：The area of a triangle formula；Segment；ngle；Proportional1. 引言随着基础教育课程改革的深入实施，力
3、求提高解题教育在数学教育中的作用已经成为现代数学教学理念的一个特点。我们知道，很多几何题、三角形题、代数题在解法上各有自己的规律。掌握了这些规律，在解题过程中将会遇到很多方便。然而数学题的解法毕竟是千变万化的，有些数学题如果光是按照常规的方法去解，有时将会显得复杂和繁琐，我们在解题过程中应该有灵活多变的能力。有些数学题，尤其是几何题和三角形题，如果根据图形的性质，恰当地运用三角形的面积公式，结合使用三角形法，则将会显得简单、明了和直观。因此，在解题过程中，巧妙地运用三角形的面积公式，有时会有特殊的功效，甚至起到事半功倍的作用。运用三角形的面积法解题，主要是从图形的性质出发，利用面积找出图形中边
4、、角关系或者利用相似三角形的面积比的性质，帮助我们建立等量关系，从而达到求解的目的。面积是几何图形的重要属性，它与线段、角之间有着密切的联系。因此我们在求解几何问题的时候，根据几何量与涉及的三角形面积之间的内在联系，用三角形的面积表示有关几何量，从而把要论证的几何量之间的关系化为有关三角形面积之间的关系。利用面积能构建图形中某些线段之间的联系，正因为可以用面积法来解决线段、角、比例式等多种类型的非面积的几何问题。其关键是要根据题目的特点、分析图形结构，找出图形与三角形面积之间的联系。本文我主要是从以下几个方面论述的，首先讲解一些三角形的面积公式，其次是从边、角、比例式、三角形面积公式在几何题中
5、的综合运用进行论述的，总结在解题或证明几何题中运用三角形面积公式解题既简单又明了，体现运用三角形面积公式解题的优越性。撰写本文，我主要参考了这些资料，沈文选著平面几何证明方法全书第30-50页，及一些作家发表的有关三角形面积公式与几何题的文章。2. 三角形面积公式及特点 2.1 三角形的面积公式设在ABC中，角A、B、C所对的边依次为、b、c，h为边上的高，R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，p为三边长之和的 半，即p=，（1）SABC= （2）SABC=bcsinA （3）SABC= （4） SABC=（5）SABC= （6）SABC=rp2.2 应用三角形的面积公式证明几何问题的特点应用三
6、角形的面积公式证明几何问题是几何证明中的一种常用方法，用三角形的面积公式来证明或计算几何题，有时会有意想不到的收获。是把已知量和未知量用三角形的面积公式联系起来，通过运算达到求证或计算的结果。具有直观性较强、联系较广、便于条件与结论之间的连接、表述简明等特点，颇受广大数学学习者的重视和欢迎。3. 应用三角形的面积公式解或证明几何题3.1 用三角形的面积公式求线段的长ACBD例1、如图1，AD是ABC的BC边上的高，且A=90，AB=3，AC，求AD的长。 解： 在ABC中，A=90， BC=5， 图1 又 AD BC， ADB=ADC=90，由三角形的面积公式得， SABC= ABAC= BC
7、AD， 即 34= 5AD， AD=。几何命题常用的证明方法有一种是：综合法“由因导果”，直接从题设的条件入手，运用定义定理推出结论，它的思路是从“已知”看“可知”。这题也是从已知入手求出BC的长，再根据三角形的面积公式求出结果。此题还可以用勾股定理来解，那不仅要求出BC的长，还要求出BD（或CD）的长，才能求出AD的长，可以说解法有些繁琐，还能用解直角三角形来解决。总之，用三角形的面积公式来解决这题就比较简捷明了，给人耳目一新的感觉。例2、如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，在AD上，PEAC，垂足为E，PFBD，垂足为F，求PE+PF的值。 解：连接PO，过O点作AD的垂线，垂足
8、为G。GPFEOBADC SAOD=ADOG=ADAB， =42=2，图2 AO=DO=BD=， SAOP +SPOD=PE+PF=SAOD=2 PE+PF=。这题是求定值问题，即点P无论在AD的何处（两端点除外），PE+PF的值总是固定不变的，体现变化中有不变，不变中又有变化的辩证统一关系。其实本题也就是命题“等腰三角形底边任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；如果这点在等腰三角形的底边的延长线上，那么它到两腰的距离之差等于一腰上的高”的应用。对于需要探索结论的几何问题，可考虑在特殊的情形下有什么结论（如本题中P在AD中点时），再猜想一般情形下是否也有相同的结论，并加以论证。此题可在特殊情
9、形下求出PE+PF的值，再论证在一般情形下的结论。若用其它方法解决此题会很麻烦，而用三角形的面积公式来解决此题的优越性，在题中就足以得到了体现。3.2 应用三角形的面积公式证明线段关系 例3、如图3，点E、F分别在平行四边形ABCD的边CD、BC上，且AE=AF，DGAF，BHAE，G、H分别是垂足。求证：DG=BH。 证明：连接DF、BE。 SADF= SABCD，DECAFBGH SABE=SABCD， SADF=SABE， 即 AFDG=AEBH， AE=AF，图3 DG=BH。FDBAECP例4、如图4，在ABC中，AB=AC。点P是BC上任意一点，PDAB，PEAC，CFAB，D、E
10、、F分别是垂足。求证：PD+PE=CF。 证明：连接AP，则ABPACP。 又 SABC=SABP+SACP， ABCF=ABPD+ACPE， AB=AC，图4 CF=PD+PE， 即 PD+PE=CF。 在几何命题论证中，通过添加适当的辅助线，会使分散的元素通过变化和转化相对集中。然而，证明两条线段相等是几何证明题中的一种常见的题型，其证明方法也比较多，这就要因题而论，选用哪种方法解题简单、明了，我们就选用哪种方法。就是要把我们所学的知识灵活地运用，才更加容易解决问题。例3以平行四边形的面积为桥梁，利用同一个平行四边形面积相等列等式，也就是用三角形的面积关系式表示同一个平行四边形的面积，从而
11、列出等式解决此题。例4就是把大三角形的面积划分为两个小三角形的面积建立等式，从而使问题简单化。通过作辅助线把相对分散的条件集中到三角形中，并据此找出等量关系，可以说思路新颖独特，而且相当简便，便于我们解决问题。B1图5BCAC1A1O 例5、如图5，把ABC沿AB边平移到A1B1C1的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA1是多少？ 解： A=BA1O，C=A1BO， ABCA1BO， =， 设 SABC=2，则=（0），又 =2，AB=， =2， A1B=1， AA1=ABA1B=1。解答此题应用三角形相似的知识，得出两三角形相似，
12、其面积之比等于相似比的平方，只需求出A1B的长，就可以求出A1A的长。解法十分简洁，易于理解与掌握。如果此题不应用“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一知识点，那么这题就难以解答，还得增加条件才能解答此题。相比之下，还是应用“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一知识解答此题简便一些。3.3 应用三角形的面积公式证明角的关系例6、如图6，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CE=BF，DCE和DBF的面积相等。求证：AD平分BAC。证明：过点D作DHAB，DGAC，垂足分别为H、G。FHAEGCDB SDCESDBF， CEDG=BFDH， CE=BF，图6 DG=DH， 又 DHA
13、B，DGAC， 点D在BAC的平分线上， 即 AD平分BAC。几何命题证明方法的另一种叫分析法“执果索因”，从题目中要证的结论出发，探索结论成立的条件，再看这些条件是否在已知条件中具备以“未知”看“需知”。此题从结论特征看要证AD是BAC的角平分线，这是题目隐含的隐性条件，由此联想到定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，也就要证明点D到AB、AC的距离相等 ，故作DHAB、DGAC，又知道三角形的面积关系，可很快得出结论。例7、如图7，在ABC，AH是BC边上的高，O是AH上任意一点，CO交AB于D，BO交AC于E，连接DH、EH。求证：DHO=EHO。证明：过点A作BC的平行线分别交H
14、D、HE的GAFDECHBO延长线于F、G，则有 =， AG=HC=HC， 图7 同理 AF=BH， BH=HC， 由、式，得 =1， 即AG=AF，AH是FG的中垂线， 故DHO=EHO。此题巧妙地应用三角形的面积关系证明角相等，这是不易想到的，大多数解答此题都应该会想到用全等的知识作答，而解答此题的亮点就是运用三角形的面积关系。因为AEGCEH，得出=的结论，然而要得出“=”这样的结论，却是本题知识的难点，也是本题知识的重点。它是运用“两个同（等）高的三角形的面积比等于他们底边的比”这一知识点，巧妙地连接三角形的面积与边的关系，轻而易举的解决了问题。相比之下，比运用全等的知识作答捷径得多，
15、简直漂亮极了3.4 应用三角形的面积公式证明比例式例8、如图8，在ABC中，AD是BAC的平分线。求证：=。 证明：过点D作DEAB、DFAC，垂足分别为E、F。 AD是BAC的平分线， DE=DF，则有A =, FE 过A点作AHBC,垂足为H,图8BDHC则有 =, 由、，得 =。 例9、在平面四边形ABCD中，BD为B的平分线，交AC于E，且BD2=ABBC，求证：=。 证明：如图9，过点A、C作AMBD、CNBD，垂足分别为M、N，则A =， AMCN，DNM =，E BD为B的平分线，图9BC ABD=DBC， BD2=ABBC， =， BADBDC， =。 =。命题常见的两种证明方
16、法：综合法与分析法。这两种往往是相互配合、相互补充的；在实际证题中常常将两者结合起来协同使用，即分析综合法。首先用分析法，从要求证的结论入手，想一想证明这个结论需要什么条件，一层一层地向上逆推；当思维遇到障碍时，再从条件出发，下推几步，看能知道些什么，全力寻找条件与结论的联系以找出证明的思路，这对于分析问题、解决问题，大有裨益。例8运用同一个三角形的面积相等来建立等式关系，应用三角形的面积公式找出面积与边的关系，从而很容易得出=的结论。例9从结论不难看出用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一知识点来论证就比较容易了，再从条件出发找三角形相似即可得出我们要证明的结论。4.综合三角形的面积公
17、式，探讨数学领域例10、已知x、y、z为正数且xyz（x+y+z）=1，求表达式（x+y）（y+z）的最小值。 解：如图10，构造一个ABC，其中三边分别为zzA ， 其面积为yx =图10yxBC=1， 而另一方面， （x+y）（y+z）=2， 当且仅当C=90，取得最小值2，亦即 ， 2y2+2xy+2yz=2xz， y（y+x+z）=xz， xyz（y+x+z）=， =1。 xz=1时，（x+y）（y+z）取最小值。 如x=z=1，y=-1时，（x+y）（y+z）=2。 例11、证明勾股定理，在ABC中，C=90，求证：。 证明：作CDAB，垂足为D；设各边的长如图11所示，则 RtCB
18、DRtABC，RtACDRtABC，bcADCB =（0）， ， ， ， 又 ， ，图11 故 ， 即 。 例12、如图12，O的半径为R，以O上任意一点A为圆心，以r（r2R）为半径作圆，设此圆的一条切线交O于P、Q两点。求证：不论P、Q的位置如何，APAQ为定值。 证明：设切线PQ与A相切于B，连接AB，则ABPQ， SAPQ=PQAB=APAQsinPAQ，QPABO APAQ= =图12 = =AB， 又 AB=r，根据正弦定理，有=2R， APAQ=2Rr为定值。例13、如图13，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，求EAF的正切值。 解：连接EF，作FGAE，垂足为G；
19、设正方形的边长为2，则AFDECBG BE=CE=CF=FD=1， SAEF=S正方形ABCD（SABE+SAFD+SBCF） =22（） =，图13 在RtABE中，由勾股定理，得 AE=， 在AEF中， =AEFG=FG=， FG=， 易证：ABEADF， AF=AE=，在RtAFG中， sinEAF=， cosEAF= = =， tanEAF=。5.总结在解（证）几何有些比较难解甚至感觉无从下手的问题时，可以考虑用三角形的面积来解答，往往会化难为易，化繁为简，达到事半功倍的效果。另外在运用三角形面积公式解题，主要体现在以下两个方面：一是拓宽了思维空间，有利于打破思维定式，不用照搬照套、死
20、记硬背公式，有利于培养发散思维的良好习惯；二是体现了知识之间的联系，这就要熟练掌握各方面的知识，加以综合的运用。哪些类型题目能用三角形的面积法？如三角形中线将三角形分成的两部分；等底、等高（或同底等高）的三角形；相似三角形；多边形转化为的三角形，这些类型的题目往往可以用三角形的面积法，但要因地制宜，随机应变，不能强加于一些几何题型中。几何问题也是贯穿整个数学领域的，代数与几何，二者相辅相成，缺一不可。几何也与人们的生活息息相关，可见，几何的确是一门难研究的学问。三角形面积法解题的关键在于，要善于发掘图形之间的位置关系，联系到相应的知识点，否则是不能正确运用三角形的面积公式解答题目的；或对于同一
21、图形，应从不同的角度考虑用哪一个或哪一些三角形的面积公式作答，才能使解答过程简明扼要、漂亮极了。参考文献1张奠宙，沈文选.中学生几何研究M.北京：高等教育出版社，2006 2沈文选.平面几何证明方法全书M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005:30-503边红平,付雷.几何与三角J.数学通讯,2006,(12) 4高俊元.解直角三角形中常见的数学思想方法J.初中数学教与学,2006,(06) 5金卫国,周伟.三角形面积公式的应用J.初中数学教与学,2004,(03) 6张淼.几何证题中常量的探求J.数学通报，1980年07期7童新燕.找规律,巧解题J.初中数学教与学,2006,(05) 8罗知超.关于比例式几何证题J.云南教育(基础教育版)，1980年02期9戴浩池.面积在证题中的妙用J.云南教育(基础教育版)，1980年12期10夏文早.三角形面积公式在几何证题中的应用J.安徽教育，1981年04期11陈华忠.数学课堂,要让学生学会猜想“三角形面积计算”教学的感悟J.内蒙古教育，2010年05期12王官清.用好中线 巧求面积J.中学生数理化(七年级数学)(人教版)，2010年03期 12