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1、本科毕业论文（设计）题 目导数定义及其在中学数学中的应用学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2009级 学 号 姓 名 指 导 教 师 成 绩 目录摘要11.引言12. 导数的知识储备221 导数的定义与几何意义222 依定义求导数的方法223 导数的运算22.31几种常见函数的导数2232 导数的四则运算法则23导数在解题中的应用33.1 利用导数定义巧妙解题33.11 利用导数的定义求函数的极限33.12 利用导数的定义求函数在某点处的导数值53.13 利用导数定义判断函数的单调性63.14 利用导数定义判断函数切线的斜率63.2导数与其他知识点的联系73.21导数与函
2、数73.22 利用切线的几何意义解决问题93.23 导数与不等式103.24 导数与数列103.25 导数的实际应用114.总结125.参考文献.126.致谢.12导数定义及其在中学数学中的应用田茜西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，同时也是联系初、高等数学的纽带。导数在中学数学中的应用特别广泛。本文将结合高考中导数相关题目，主要从导数的定义、导数与函数、导数与不等式、导数与数列以及导数的实际应用几个方面分析导数在中学数学中的广泛应用。 关键词：导数；定义；函数；应用The definition of derivative and
3、 its application in the middle school mathematicsTian XiSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: Derivative concept is the basic concept in mathematical analysis and is the important basis of modern mathematics. It is a link between elementary math
4、ematics and advanced mathematics. Derivative is widely used in the middle school mathematics. Combined with college entrance examination, this thesis mainly analyzes the application of derivative in the middle school mathematics from the perspectives of the definition of derivative, derivatives and
5、functions, derivatives and non-equality, derivative and derivative series and the practical applications of derivatives. Key words: derivative； function； definition； application 1.引言自从导数进入高中数学教材以后，与导数有关的问题就成了历年高考的热点正确运用导数的思想方法与基本理论解决中学数学中的问题，成为了中学数学教师和学生重点关注的对象。但是导数对于学生而言仍旧是一个难点，因为导数与其他的知识结合十分紧密。本文运
6、用导数的思想方法和基本理论，探讨导数在各个方面的基本应用，希望在解决导数相关题目时有一定的思路与方法。2. 导数的知识储备21 导数的定义与几何意义定义：设函数在包含的某个区间上有定义，如果比值在 趋于0时趋于确定的极限值，则称此极限值为函数在处的导数或微商，记作 注： 几何意义：函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即斜率为过点P的切线方程为：22 依定义求导数的方法（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 23 导数的运算2.31几种常见函数的导数(C为常数)；()；。232 导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）； （4）；（5）若则。3导数在解题中的
7、应用3.1 利用导数定义巧妙解题 导数的定义，在解题中有广泛的应用，与此同时可以简化解题的步骤。下面将从导数的定义在函数、不等式、曲线斜率以及综合应用四个方面加以阐述。3.11 利用导数的定义求函数的极限例1设，则等于A B. C. D.分析：此题看似一个求极限的问题，但是根据导数的定义其实为在处的导数。故有两种解法，一种运用极限知识求解，另一种运用求导方法巧妙求解。解法一：解： C此种解法给出的是利用极限的基本知识求解，当时，。解法二：解：由导函数的定义可知，=， =因此选C解法一与解法二分别从两个角度来解析此题，一方面是从极限的角度，另一方面利用导数定义，解法二更为巧妙简单。例2若则的值为
8、A -3 B.-6 C.-9 D.-12分析：此题同理可以利用导数定义巧妙求解，但是此处给出的极限式子有别于定义标准形式，需要进行适当的变形。 解：根据导数的定义可知， =4= D此题关键在于将此题给出的极限式子与导数定义产生联系，并明确导数定义中并非确定的一个数，任意的数均可。例3已知则的值为（ ）. A.0 B.2 C.3 D.6分析：此题也容易想到运用导数定义求解，但关键在于将充分运用在极限式子中,将3转换为，将极限式子进行变形，具体解法如下。解： 故选C.以上三道例题展现了函数的极限与导数的定义充分结合，将极限转换成求函数的导数。3.12 利用导数的定义求函数在某点处的导数值例4已知，
9、用导数定义求。解法一：利用导数求导公式可得解法二：导数定义求解 在用极限来定义导数主要有导函数以及在某个点处的导数值两个方面，解法二直接运用在的导数定义来求解比先求的值，再求更加简单。例5.已知，求 分析：若此题采取利用导数公式对进行求导，过程十分复杂，并且这个式子还可以无限往后，可以继续乘上型的单项式。所以此题才用导数的定义求解。解：在一般情况下，先求出，在取，但是此题对于的求解比较繁琐，直接求得更为简单。3.13 利用导数定义判断函数的单调性例6. 已知在实数R上的可导函数对于任意实数 都有，若存在实数a,b 使且求证：（1）（2）在是单调递增函数。分析：此题中的没有给出准确的表达式，第二
10、问要证明在R上的单调性，只能利用导数的定义。证明：（1）又，即（2）=即=，所以在是单调递增函数。3.14 利用导数定义判断函数切线的斜率例7. 设为可导函数且满足，问曲线在点处的切线斜率是否存在？若存在求在该点的切线斜率；若不存在，请说明理由.解析：为可导函数, . 即在点处存在切线斜率,且在点处切线的斜率为-2.3.2导数与其他知识点的联系 3.21导数与函数在中学数学中，导数与函数的联系主要在于利用导数对函数的单调性、极值、最值、函数对应曲线的切线以及函数在某个区间内的恒成立问题进行研究。往往函数这几个方面在解题中是紧密联系在一起的，对于，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减。
11、函数的恒成立问题一般结合二次函数的性质与分离参数的方法求解。例8. 已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围。分析：函数在某点处取得极值必有在该点处的导数值必为0，反过来导数等于0的点并不一定是取得极值的点，还需要检验，这是学生易犯错误的地方。利用便可求出的值。解：（1） 由题意可知，且解得 即或时，；时，单调递增区间，；单调递减区间（2）由（1）可得， 时在,上单调递增，在递减 即或第（2）小题是利用函数的单调性解决不等式恒成立问题，在恒成立即大于的最大值即可。这就归结于在一个区间内，对于参数恒成立，即大于等于在区间上的最大值；恒成立，即小
12、于等于在区间上的最小值。例9.设函数 (1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.分析：导函数在某点处的值的几何意义，即函数在该点处的切线斜率，该点称之为切点解：（1） 在点切线方程为：（2）由（1）可知：当时，单调递增 ，单调递减；当时，单调递增 ，单调递减.（3）当时，即；当时，即.第（2）、（3）问重点在于，判断导数的正负情况首先与的正负有紧密联系，故此讨论与是必要的.引申：导数的几何意义往往和切线产生联系，过点处的切线，一种情况点p在曲线上，即为切点。另一种情况点p不在曲线上 ，做题关键设切点坐标，通过斜率建立等量关系。3.22 利
13、用切线的几何意义解决问题例10. 点P是曲线上任意一点，求P到直线的距离的最小值。分析：要求曲线上一点到直线的最小距离，实际上P点为曲线的一条与直线平行的切线的切点，故此题的关键为设切点，利用距离公式。解：设切点，由题意得： 得或（舍） 例11. 函数的图像如图所示,下列不等关系正确的是( ) A B C D 分析：根据导数定义结合导数的几何意义, 表示图像在处的切线斜率，表示图像在处的切线斜率，所以表示图像在A(2, )以及B(3, )两点的割线斜率。 由图可见,答案应为C。3.23 导数与不等式例12. 对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A BC D分析：与0的大小关系与有关，当
14、时，；时，。所以的单调性有两种情况，一种是在单调递减，单调递增；另一种特殊的情况（这种情况学生容易忽略）。由此可得所以。故选C3.24 导数与数列例13. 若等比数列的首项为，且，求公比。解：由题意得：例14. 设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，令，求的值。解：由题意可得，故在点（1,1）处的切线方程为：，则即：3.25 导数的实际应用例15. 如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大。分析：设这个正六棱柱容器的底面边长为，那么底面面积正六棱柱高。所以正六棱柱体积故此在单调递增，在
15、单调递减，即在处取得最大值。例16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足函数关系式，其中，为常数 已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克。(1) 求的值；(2)若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解： (1)因为时，所以，.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量。所以商场每日销售该商品所获得的利润从而又因为，于是，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减；由此可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值.答：当销售价格为4元/千克时，商场
16、每日销售该商品所获得的利润最大4.总结导数已经成为了高考的热门，通过以上对导数定义及其在函数、不等式、数列及其实际应用的讨论，对于解决有关导数问题给与了思路与方法。参考文献：1 魏霞.导数在中学数学中的地位和应用J.现代阅读（教育版）.2012（08）2 刘韧.论导数在不等式中的应用J.现代商贸工业.2009（06）3 蒋亚红.再谈“切线”问题J.考试周刊.2007(04).致谢：在本次论文的撰写过程中，陈波老师对我的帮助非常大，感谢陈波老师在百忙中抽出时间对我的论文加以修改、指导。我非常佩服陈波老师具有渊博的知识与工作认真负责的精神。我衷心的希望陈波老师在今后的日子里工作顺利以及身体健康。最后我对所有的数学与统计学院的老师们表示感谢，由衷的祝愿我的母校蒸蒸日上。 第12页