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1、密级： JINING UNIVERSITY 学 士 学 位 论 文THESIS OF BACHELOR题 目 函数的一致连续性与Cauchy收敛准则的关系 系 别： 数学系 专业年级： 数学与应用数学专业 2008级本科一班 学生姓名： 学号： 2008118103 指导教师： 职称： 副教授 起讫日期： 2012年2月22日至2012年5月25日 目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11预备知识11.1函数的定义21.2函数在一点连续的定义 22.关于函数的一致连续性概念22.1函数一致连续性的概念22.2对函数的一致连续性概念的掌握应注意的问题22.3 函数一致连
2、续性重要结论23.关于函数极限的Cauchy收敛准则23.1函数极限的Cauchy收敛准则的概念23.2 Cauchy收敛准则的内涵 34.Cauchy收敛准则在有关函数一致连续性题目中证明的应用 34.1 Cauchy收敛准则在抽象函数一致连续性的题目中证明的应用34.2 Cauchy收敛准则在具体函数一致连续性的题目证明中的应用4结束语5致谢5参考文献5函数的一致连续性与Cauchy收敛准则的关系 摘要：函数的一致连续性与Cauchy收敛准则在数学分析的教学和研究中有着举足轻重的作用，尤其是其思想在一些定义、定理的证明中起着非常重要的作用。主要介绍了函数的一致连续性与Cauchy收敛准则的
3、概念及其内涵，并从Cauchy收敛准则在一些有关函数的一致连续性的题目中的证明入手，来说明函数的一致连续性与Cauchy收敛准的关系。通过对函数的一致连续性与Cauchy收敛准则的准确把握以及对两者关系的深刻理解，可以帮助学生将它们灵活地运用到以后一些有关的证明题中，提高学习的乐趣与自信。关键词：函数极限，连续性，一致连续性，Cauchy收敛准则。The relationship of Function of the uniform continuity of and Cauchy convergence criteriaMathematics and Applied Mathematics
4、majors Han XiaoTutor Zhu XianjunAbstract: The uniform continuity of functions and the Cauchy convergence criteria in the mathematical analysis of teaching and research plays an important role, especially in its thinking plays a very important role in some of the definitions, the proof of the theorem
5、. The article introduces the concept and connotation of the function of the uniform continuity of Cauchy convergence criterion, and from the Cauchy convergence criterion in the proof of the subject of some of the functions and the Uniform Continuity start to explain the relationshipof the function o
6、f the uniform continuity and the Cauchy convergence criteria. Accurate grasp of the concept of uniform continuity of functions and the Cauchy convergence criteria and deep understanding of the relationship between the two, can help students the flexibility to use them after some of the proofs, to en
7、hance the enjoyment of learning and self-confidence.Keywords: Functionlimits,continuity,uniform continuity ofthe Cauchyconvergence criteria. 引言：在数学分析中有各种形式的Cauchy收敛准则，如数列极限、函数极限、广义积分、级数等，它的思想将贯穿数学分析课程的始终，因此它被称为“数学分析中头等重要的定理”。Cauchy收敛准则不仅在证明极限，求极限证明题中起着重要的作用，而且它的思想贯穿在整个数学分析之中，在数学的许多方面都有应用。一致连续是一个重要概念
8、，它是从连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）。研究函数的一致连续与Cauchy收敛准则之间的关系可以深入地理解它们的内容，从而更好地把握它们之间的异同，这样就可以灵活的运用到以后的证明题中，具有十分重要的意义。1.预备知识1.1 函数极限的定义设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的存在正数，使得当0|时有|,则称函数当趋于以为极限，记作或。1.2 函数在一点连续性的定义设函数在某内有定义，若，则称在点连续。2.关于函数的一致连续性概念2.1 函
9、数一致连续性概念 设函数在区间上有定义，若|，有|，则称函数在上一致连续。2.2 对函数的一致连续性概念的掌握应注意的问题对函数一致连续性概念的掌握应注意以下三个方面的问题： 要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别与联系。比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知：前者的不仅与有关，而且还和点有关，即对不同的，一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在整个区间上连续；后者的仅与有关，而与无关，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的（即连续可对一点来讲，而且对于某一点，取决于和；而一致连续必须以区间为对
10、象，只取决于，与点的值无关）。 在区间上一致连续的函数在这个区间上一定是连续的。事实上，由一致连续性定义将固定，令变化，即知函数在连续，又是上的任意一点，从而函数在上连续。但在区间上连续的函数在这区间上不一定一致连续，例如在区间上就是如此。 函数一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的函数值的差，就绝对值来说，可以任意小，即|，有|。 要注意函数一致连续的否定叙述。一致连续的否定就是非一致连续，即设函数在区间上有定义，若|，有|，则称函数在上非一致连续。总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映了函数在整个区间上的整体性质。二者之间既有区别又有联系
11、。2.3 函数一致连续性重要结论设区间的右端点为，区间的左端点也为（，可分别为有限或无限区间）。若分别在，一致连续，则在上也一致连续。3.关于函数极限的Cauchy收敛准则3.1函数极限的Cauchy收敛准则的概念 设函数在内有定义，则存在的充要条件是：任给存在正数，使得对任何，有|。3.2 Cauchy收敛准则的内涵 Cauchy收敛准则从理论上解决了函数极限的存在性问题（充分必要条件）； Cauchy收敛准则把函数极限定义中与之差换成与之差。其优点在于无需借助函数以外的任何数，只要根据函数本身的特征就可以鉴别其敛散性，缺点是无法确定其极限值是多少； Cauchy收敛准则的条件称为柯西条件，
12、它反映这样的事实：极限存在的函数的变量愈接近，函数值愈彼此接近，以至于变量充分接近于的任何两个函数值之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。4.Cauchy收敛准则在有关函数一致连续性题目中证明的应用单纯地从结论上看函数的一致连续性与函数极限的Cauchy收敛准则有相似的地方，因此在由极限的存在性证一致连续性或由一致连续性证极限的存在性时常常考虑使用函数极限的Cauchy收敛准则。下面我们将从抽象函数和具体函数的一致连续性的证明这两个角度来探讨函数的一致连续性与Cauchy收敛准则的关系。4.1 Cauchy收敛准则在抽象函数一致连续性的题目中证明的应用 Cauchy收敛准则在抽象函数一致连
13、续性的题目中的证明主要从函数在不同区间上的证明来探讨两者之间的关系。下面我们先来探讨连续函数在闭区间上的一致连续性的证明，即一致收敛定理的证明。尽管在此证明过程中并没有用到Cauchy收敛准则，但是由于函数在其它各类区间上一致连续性的证明过程中都要证明所给函数在闭子区间上的一致连续性，此时直接利用一致连续性定理即可，无需再进行具体的证明。例1.一致连续性定理：若函数在区间上连续，则在区间上一致连续。证明：由函数在区间上连续，对每一点，都存在使得当时，有|。考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在的一个有限子集也覆盖。记，对任何|，必属于中某个开区间。设，即|，此时有|。故有|，
14、|。由此得|,所以在上一致连续。例2. 设在有限开区间内连续，证明：在内一致连续均存在。证明： 在内一致连续，|，有|。特别地，或有|，由Cauchy收敛准则可知均存在。 ： 作连续开拓，令则在上连续，从而一致连续，因而即在内一致连续。例3. 证明：若在,上连续且存在，则在,上一致连续。证明：存在， 由Cauchy收敛准则，有有|。又在上连续，从而一致连续，即对上述|，有|。取则|，同属于或同属于，总有|。即在,上一致连续。对于区间上的函数，只要存在，则在也一致连续。例4.证明：若在上连续，且有极限则在上一致连续。证明：由上题可知，在和上都一致连续，则在上一致连续。通过上述例题的证明可以看出，
15、题目之间在证明方法上存在着很大的承接性。但是，我们最明显的感受是这几个例题条件有类似的地方，证明方法有很强的规律性：题设中都会至少给出一个函数的极限（区间不同，所给的函数极限的个数也不同）；证明过程中，都是由已知函数的极限，通过函数极限的Cauchy准则过渡到函数一致连续性的定义上；最后再由一致连续性定理和函数一致连续的区间可加性使题目得证。4.2 Cauchy收敛准则在具体函数一致连续性的题目证明中的应用有了Cauchy收敛准则在一些抽象函数一致连续性的题目中的理论证明，在接下来的一些具体函数的一致连续性的证明中就会变得很简单了。从下面的两个例题中大家就可以深刻地感受到。例5证明：在内一致连
16、续。证明： 在上连续，且，由上面的例2可知函数在内一致连续。例6.证明：在上一致连续。证明：显然，在连续；另一方面，存在。由上面例3可以很容易的得到函数在区间上是一致连续的。此题目也可用函数的一致连续性的定义来证明。结束语函数的一致连续性与Cauchy收敛准则在数学分析的教学和研究中有着举足轻重的作用。在数学分析中有各种形式的Cauchy收敛准则，它的思想将贯穿数学分析课程的始终，在数学的许多方面都有应用，被称为“数学分析中头等重要的定理”。在本文中，通过对其概念与内涵的深刻理解，可以更好地帮助学生掌握与应用。同时，由本文中一些有关函数一致连续性的题目的证明中可以明显地看到Cauchy收敛准则
17、在有关函数一致连续性题目证明中的重要作用。这样可以使学生清楚地理解函数的一致连续性与Cauchy收敛准则的关系，从而能够使学生在以后的一些有关证明题中积极思考，发散思维，拓宽解题思路，激发学生学习数学的兴趣。致谢首先，我由衷感谢我的指导老师朱先军老师，在这篇论文的撰写过程中他给了我很多的帮助和支持。特别是最初着手收集材料和写初稿的时候，朱老师耐心的指导、及时的督促，使我提前进入了备战论文的状态。在后期的修改和完善过程中朱老师对我更是耐心指导，热情帮助，积极鼓励，对我的文章进行了认真的阅读，并给了我很多有针对性的意见。此外，我通过参考朱老师的论文找到了一些写作技巧和方法。在他的帮助下我尽自己最大的努力完成了这篇论文。另外，还要特别感谢同学的帮助，在论文写作过程中他们为我提出了许多意见和建议，并对我的不足之处直言不讳。在此向他们表示衷心的感谢。参考文献:1 华东师范大学数学系.第三版，北京：高等教育出版社，2001.2 沈燮昌、邵品琮.数学分析纵横谈，北京大学出版社3 毛羽辉.数学分析选论，科学出版社，2004.4 邱兆泰、王承国、章仰文.数学分析学习指导,北京：科学出版社，2004.5 陈纪修等.数学分析M，北京：高等教育出版社，2000.6 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M，北京：高等教育出版社，1993.5