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1、压轴题题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合【例1】已知定义在上的函数，当时，当时，为常数.下列有关函数的描述：_x0001_ 时，； 当函数的值域为； 当时，不等式在区间上恒成立； 当时，函数的图像与直线在内的交点个数为.其中描述正确的个数有（ ）【答案】C（A）4 （B）3 （C）2 （D）1故正确， 【例2】定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为_【答案】【解析】令，则，所以，故不等式的解集为 【例3】定义在上的单调函数，则方程的解所在区间
2、是（ ）【答案】CA. B. C. D.【解析】根据题意，对任意的 ，都有 ，由f（x）是定义在上的单调函数，则为定值，设 ，则 ，又由f（t）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2； 则 ， 。因为 ，所以，即 ，令 ，因为 ， ，所以 的零点在区间 ，即方程 的解所在的区间是 例4.（2014湖南理科10）已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 ( ) 【答案】BA B C D【解析】解法一：由题可得存在满足,当趋于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以。解法二：由已知设，满足，即，构造函数，画出两个函数的图象，如图，当向右平移个单位，恰好过点时，得到
3、，所以。 2、函数零点、方程的根、函数图像交点对策与方法：函数、方程、不等式三者相互转化；数形结合【例1】已知函数满足，当时，若在区间内，曲线轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）【答案】CA B C D【解析】法一：设，则，又，则的图象如图所示，当时，显然不合乎题意；当时，如图所示，当时，存在一个零点，当时，可得，则，若，可得，为减函数；若，可得，为增函数；此时必须在上有两个零点，由，解得法二：当时，求y=ax与相切时的a值即可。【例2】（2015天津高考，理8）已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( ) 【答案】D（A） （B） （C） （D）【解析】法一：
4、由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.法二：同一坐标系下作出与图像，寻找满足已知的条件即可。【例3】（2014湖北高考理科10）已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B解析：当x0时，f(x)，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，利用图像平移可得f(x1)图像，又xR，f(x1)f(x)，可知4a2(2a2)1a。 【例4】已知函数f（x）周期为4，且当x（1，3时，f（x）=，其中m0若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）【答案】BA（，） B
5、（，） C（，） D（，）【解析】当x（1，1时，将函数化为方程x2+=1（y0），实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x（1，3得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x4）2+=1=1（y0）相交，而与第三个半椭圆（x8）2+=1=1 （y0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x4）2+=1=1 （y0）得，（9m2+1）x272m2x+135m2=0，令t=9m2（t0），则（t+1）x28tx+15t=0，由=（8t）2415t （t+1）0，得t15，由9m215，且m0得 m ，同样由 y=与第三个椭圆（x8）2+
6、=1=1 （y0）由0可计算得 m，综上可知m（）【例5】已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）【答案】AA、 B、 C、 D、【解析】当时，为减函数，；当时，则时，时，即在递增，在递减，；其大致图象如图所示，令，得，即；当时，有一解；若有四解，则，即.3、单调性、极值与最值【例1】若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是（ ）【答案】AA B C D【解析】由已知得：恒成立，即对任意实数x成立，所以即对任意的正实数恒成立，故只需的最小值令， ，由于时，；时，即时，取得最小，故选注意：即求最小值的最小值【例2】若对，不等式恒成立，则实数的最大值是
7、（ ）A B1 C2 D 【答案】D【解析】，由，可有，令，则，可得，且在上，在上，故的最小值为，即。 【例3】若曲线与曲线存在公切线，则的（ ）【答案】BA最大值为 B最大值为 C最小值为 D最小值为【解析】设公共切线与曲线切于点，与曲线切于点，则有解，将代入，可得，代入可得，设，求导得，可得在上单调递增，在上单调递减，所以【例4】已知函数，对，使得，则的最小值为（） 【答案】AA B C D【解析】由可得：，令，则，令=，所以，令=0得，所以当时为减函数，当时为增函数，所以的最小值为【例5】直线分别与曲线，交于A，B，则的最小值为（ ）A3 B2 C D 【答案】D【解析】当时，所以；设方
8、程的根为，所以，则，设（），令，得，当；，所以，所以，所以的最小值为.练习1.函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是（ ）【答案】AA. B. C. D. 【解析】设函数，所以，根据已知，所以，所以为单调递增函数，且，所以不等式等价于，等价于，根据为增函数，所以2.定义在上的函数满足：对，都有；当时，给出如下结论：对，有； 函数的值域为； 存在，使得；函数在区间单调递减的充分条件是“存在，使得，其中所有正确结论的序号是： （请将所有正确命题的序号填上）【答案】【分析】作出的图像即可逐一判断3.（2013安徽高考理）若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则
9、关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是 () 【答案】AA3 B4 C5 D6【解析】因为f(x)3x22axb, 3f2(x)2af(x)b0且方程3x22axb0的两根分别为x1，x2，所以f(x)x1或f(x)x2.当x1是极大值点时，x2为极小值点，且x2x1，如图1所示可知方程f(x)x1有2个实根，f(x)x2有1个实根，故方程3f2(x)2af(x)b0共有3个不同实根当x1是极小值点时，f(x1)x1，x2为极大值点，且x2x1，如图2可知方程f(x)x1有2个实根，f(x)x2有1个实根，故方程3f2(x)2af(x)b0共有3个不同实根综上，可知方程3f
10、2(x)2af(x)b0共有3个不同实根4.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）【答案】AA. B. C. D. 显然， 5.已知函数，若存在三个不相等的正实数，使得成立，则的取值范围是 【答案】【解析】由题意得：方程有三个不同的解，则有三个不同零点。，因为因此6.（2015北京高考，理14）设函数若恰有2个零点，则实数的取值范围是【解析】若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，则，函数与轴有一个交点，所以；若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足； 综上所述的取值范围或.
11、7.设函数在上存在导数，有，在 上，若，则实数的取值范围为（ ）【答案】BA B C D【解析】设 ，因为对任意 ，所以，= 所以，函数为奇函数；又因为，在上，所以，当时 ， 即函数在上为减函数，因为函数为奇函数且在上存在导数，所以函数在上为减函数，所以， 所以，即实数的取值范围为.8.已知函数g（x）=ax2（xe，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）【答案】BA1，+2 B1，e22 C+2，e22 De22，+）【解析】由已知得方程ax2=2lnxa=2lnxx2在上有解，设f（x）=2lnxx2，求导得：f（x）=2x=，xe，
12、f（x）=0在x=1有唯一的极值点，f（）=2，f（e）=2e2，又f（x）极大值=f（1）=1，且知f（e）f（），故方程a=2lnxx2在上有解等价于2e2a1.从而a的取值范围为1，e229.若直角坐标平面内A、B两点满足：点A、B都在函数的图象上；点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数 ，则的“姊妹点对”有（ ）【答案】CA 0个 B 1个 C2个 D3个方法：即求一部分图像关于原点对称的图像与另部分图像交点个数10.已知函数f（x）的定义域为（0，+），对于给定的正数K，定义函数fk（x）=若对于函
13、数f（x）=恒有fk（x）=f（x），则（）【答案】BA K的最大值为 B K的最小值为 C K的最大值为2 D K的最小值为2【解析】由已知，即Kf(x)恒成立。f（x）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+）单调递减，且g（1）=0，令f（x）=0，即=0，解得x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=故当k时，恒有fk（x）=f（x） 因此k的最小值为11.已知函数， 若，则的取值范围是 【答案】【解析】当时，易得时有极大值；当时，恒成立，是减函数，且设，由得，即对恒成立，当时，而，不合
14、题意；当时，得12.已知函数= ，=，若至少存在一个1，e，使得成立，则实数a的范围为 （ ）【答案】BA1，+） B（0，+） C0，+） D（1，+）【解析】由题意得在上有解,即，令，则，故，因此13.（2015全国高考1，理12）设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）【答案】D(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，直线恒过（1,0），结合图像有：，且，解得1.15.(2014新课标全国卷高考理科数学T12)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极
15、值点x0满足+m2,则m的取值范围是() 【答案】CA. B. C. D. 【解析】因为f(x)=sin的极值为,即f(x0)2=3,|x0|,所以+f(x0)2,所以+32.16.（2014四川理科9）已知，当时，现有下列命题：；.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】选A. 对于：，故正确；对于：，故正确；对于：当时，令（），因为，所以在单增，即，又与为奇函数，所以成立，故正确.17.已知为常数，函数有两个极值点，则( )A. B. 【答案】BC. D. 【解析】有两个根且,所以方程判别式,则则,令,在上是增函数,所以.18.若存在实常数和，使得函数和对
16、其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；和之间存在唯一的“隔离直线”其中真命题的个数有（ ）【答案】CA个 B个 C个 D个【解析】由得，故函数的单调递增区间为因此命题正确设函数图像上任意一点（，），则函数在该点处的切线方程为同理，设函数图像上任一点，则函数在该点处的切线方程为当两切线重合时，可得且，解得，故两曲线的公切线方程为：从图像可看出，当直线绕点（-1，0）转动，且在x轴和公切线之间时都满足题意因此同时，可得所以命题正确命题错误由“隔离直线的
17、定义可做如下推测：函数与函数之间存在唯一的“隔离直线”只需两函数有唯一的公共点（即有唯一公共切线），且除去该点外，一个函数图形恒在另一函数图像的上方，即设，所以，可得，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增因此函数即所以如果存在隔离直线，那么隔离直线必过点，且为两曲线的公切线，可得方程为可以证明和在x0时恒成立（由函数图像也可得到）故命题正确19.已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则 【答案】【解析】因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即，即；因为，当，即时，在单调递减，则（舍），当，即时，函数在上递减，在上递增，且，所以，即，解得20.已知函数，其中，存在，使得 成立，则实数的值为（）【答案】AA B C D1【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图像上，在直线是图像上，于是 “存在，使得 成立”转化为“求直线上的动点到曲线的最小距离”由可得，令，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，且最小距离为，则根据题意，要使存在，使得 成立，则，此时点恰好为垂足，由，解之得