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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学必修2模块整体介绍高中数学必修2“平面解析几何”复习课教学研究高中数学必修2模块整体介绍【课程简介】 本课程通过三位专家的互动讨论对高中数学必修二模块进行了整体介绍。通过上下两讲，对立体几何初步、平面解析几何初步进行了数学分析，标准分析，重点分析，教育分析，学情分析，教材分析，教学建议，学法指导；并特别针对教学实施中的问题，即怎么帮助学生完成自主学习、如何帮助
2、学生积累空间观念的经验，积累数形结合的经验不同的教学顺序安排的利弊等方面进行了详细的阐述。 ( 第一讲 ) 王尚志：首都师范大学 教授 张怡慈：首都师范大学 教授 张思明：北京大学附属中学 特级教师 张思明：各位老师大家好，欢迎大家继续参加高中数学新课程远程培训，我们这一讲是针对模块二做整体分析。请允许我先来介绍一下到场的嘉宾：首都师范大学博士生导师王尚志教、首都师范大学张饴慈教授，欢迎两位老师参加我们的讨论。对于模块二的整体分析，我们也从前面提到的几个环节入手。我们先请两位老师给模块二教学上的定位做一个分析。 王尚志：我们像模块一一样，还强调几个主题词，第一个还是整体，第二个是从局部到整体到
3、局部，第三件事情，我们希望老师和我们一起来思考几何的教育价值，到底我们的几何课程的教育价值在哪。下面我们按照这样一个顺序，数学分析，标准分析，重点分析，教育分析，学情分析，教材分析，教学建议，学法指导来讨论下面的问题。我们分两个课时来讲，第一个是立体几何初步，我们在第二个课时里主要分析平面解析几何初步和“必修二”教学中应关注的几个问题。先请张老师对立体几何内容做一个数学的分析。 张饴慈：好，我们首先对立体几何的教学做一个分析，我想几何学和立体几何学主要是研究空间图形的科学，我想对这一点我们一定要有一个很好的认识，因为几何是一个很直观视觉的艺术，所以它也是一个培养逻辑思维的载体。但是我觉得在前一
4、段几何教学里面，就把它侧重于培养逻辑思维载体，把它作为一个主要的任务，做了很多技巧性很高的题目，但是对它研究空间图形，要求我们培养学生一个空间想象的能力，认识图形、把握图形的能力有所忽略，实际上我们应该看到培养逻辑思维能力，是各个学科共同的任务。而几何学主要是培养学生把握图形、认识图形的能力，而这种能力不仅是学习几何的一个基本能力，也是学习数学的基本能力。 所以我想一定要回归到这个问题，就是认识到几何学科到底是研究什么东西，以这个作为我们立体几何初步最重要的认识。其次就是研究几何的方法。从整个数学来说，除了传统从中学就开始学习综合几何方法以外，将来大学或者中学现在也涉及到变换的问题。另外在高中
5、将来主要学习的是用代数方法讨论几何问题。解析几何、向量几何、代数方法都可以解决，所以研究几何是有好几种方法的。这样我们要看到现在的立体几何出的问题，我们用的是综合几何的方法，但是在后面我们要用代数方法来讨论几何的问题，所以这个问题的定位需要清楚，在立体几何初步里，主要任务是培养学生对空间图形的把握能力，适当削弱了综合几何证明问题，一方面是因为综合几何的证明在整个数学里面，比如说他们的向量方法就不能比，向量方法不但是简单，是一个通性通法，而且它是一个作用非常大的方法，而综合几何虽然对逻辑思维能力有一定的作用，但是在后面的发展是有限的，能够对这个东西有一个比较整体的认识，就知道立体几何里面不把证明
6、放在非常高的地位，而把认识图形放在主要问题的地位来看。 王尚志：我想补充张老师说的，就是综合几何大体上是这样来描述的，从我们通常所说的公理、定义出发，按照演绎的方式得到一些新的结论，这种方法通常我们所说的是综合几何的方法，而我们欧式几何大体上主要是按照综合几何的方法来展开的，但是也不尽然。 那么所谓变换的方法，就是用我们通常所说的变换，比如我们通常所说的旋转、平移、对称都是变换，用这样一种视角来认识几何图形，我们通常叫变换几何，将来有相似，有射影，有所谓拓扑变换等等各种各样的变换来认识几何。 那么另外一个用代数的方法去讨论几何问题，讨论图形问题。我们老师比较熟悉的解析几何，就是找到曲线和方程之
7、间的关系，然后用处理方程代数方法去研究这个问题，然后去解决这个几何问题，大体上需要经历这样一个过程，几何到代数，再到几何。另外我们想特别说一下向量的办法，因为向量进入高中的数学，应该说改变了整个高中几何课程的结构，也改变了我们对于运算的认识，这一件事情我们老师必须有一个清醒的认识，所以我想在这里多说几句。 刚才张老师也说了，综合几何的办法我们觉得随着数学的发展，它将融在变换几何，或者解析几何，向量几何，包括后面代数拓扑方法之中，它不会凸显作为一个基本办法，在后期的课程中独立地出现，所以我想我们没有必要过分强调这个综合几何的办法，这是我们老师需要关注的一件事情。 另外我们需要认识，即或在欧式几何
8、里，我们通常变换几何依然是非常重要的，比如说要证明通常我们所说的两个三角形全等是什么呢？首先我们是从重合开始说起的，重合就叫全等，那么怎么实现两个三角形重合呢？比如说三个边都相等，重合不重合？我们需要变换来解决这个问题，实际上我们有一个假设，一个三角形作为一个钢体，通过平移，通过旋转，通过反射，是不变的。所以我们能使得不在同一个位置上的，两个三个边都相等的三角形能够重合，所以我们才说三个边相等的两个三角形是全等三角形。 所以我们老师必须要认清这些东西。 张饴慈：也就是说实际上欧式几何，是在钢体变换下保持性质不变的那一类性质。 王尚志：所以我们下面要特别强调一下向量几何，向量几何是我们高中一个新
9、内容，同时也是改变高中数学内容结构的一个新的载体。因为向量之所以重要，我们可以从几个角度来说，第一向量是代数的，可以算。我记得张老师曾经讲过，向量可以做加法，平行四边形法则，或者说三角形法则，都可以体现向量的运算。另外向量还有点乘，向量还有内积，通常我们所说的数量积，点乘，将来我们还要学习向量的叉乘，以及其他的向量运算。所以向量是一个具有丰富运算的载体，另外向量是个几何的东西，反映它是几何的东西，我觉得有两个维度，第一个可以帮助我们刻画几何的研究对象，可以帮助我们刻画点，可以帮助我们刻画直线，可以帮助我们刻画平面，简单的说一点一个方向可以唯一地确定，过这个点和这个向量垂直的唯一的一个平面。所以
10、可以刻画它，所以可以得到平面向量方程，这是第一个角度。 第二个角度，在我们几何或者立体几何里研究什么东西？研究两个事情，一个是点线面的位置关系，而主要的位置关系是平行和垂直。另一个就是研究他们的度量关系，无非是长度、角度、面积、体积，在高中阶段主要是长度和角度。向量为我们研究位置关系，特别是平行和垂直提供了非常方便的方法，比如说我们说向量在刻画垂直关系的时候，就是方向向量的点乘如果等于零，那么它就是垂直关系。平行关系的时候，就是方向向量共线就行了。那么同样向量可以帮助我们去解决距离和角度，所以我们看出作为向量来说，它是一个几何的对象。 第三件事，一个东西既是代数，又是几何，它就自然而然成为连接
11、代数和几何的一个桥梁。 第四件事，就是向量有着丰富的物理学背景。 第五件事，向量是一个重要的数学模型，因此向量的重要性，我们老师必须给予足够的认识，这一点我们辅助材料有比较详细的论述。 那么，另外一件事，数学分析里张老师反复强调的，就是几何是培养学生空间想象力几何直观能力的，这不仅在学习几何中是重要的，而且对于整个数学学习也是非常重要的。 张饴慈：我们整个高中几何也是要从整体来看，你看立体几何初步这一块，你要对他的内容从局部到整体，但是在整个高中来看，为什么我们后面要说向量，因为你对向量有这样的认识，才知道为什么立体几何初步这里面有些证明为什么我们要削弱了，为什么我们现在要强调空间想象能力，就
12、是整个定位比较清楚，因为我们整个在中学里面，在必修二里面是立体几何初步和解析几何初步。那么除了这个以外，在必修部分里面我们要讲平面向量，然后到了选一选二里面，我们要讲空间向量和立体几何。 然后我们解析几何初步到了选修部分，我们要讲圆锥曲线，就是说整个这样一个结构我们要清楚的话，我们就不会过早的在立体几何里面算一些度量问题，角的大小，距离问题。我想要对整体的结构有一个认识，就能对它有一个清楚的认识，很多东西很简单就能处理掉了，不会在这里用非常大的力量做这些。 王尚志：比如说我们通常所说，在现在的标准里面，关于平行和垂直判定性质，我们就不要求在立体几何初步里去证明，而放在空间向量与立体几何去证明，
13、你要用向量的办法去处理这件事，就变得非常简洁，它的思路清晰，做起来也简单。这个对于我们整体把握几何课程，整体把握高中课题是非常重要的一件事情。 张饴慈：我想刚才说的也是我们现在课标里面对几何的定位问题，一定把立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象能力、几何直观能力和逻辑推理的能力。那么我想前面这几个能力，是几何这门课所特有要培养的能力，逻辑推理能力也是我们几何的一部分，但是它是所有数学都共同的一个能力，我们并不是说不要逻辑推理能力，而是要把它放在一个适当的位置来讲。 王尚志：另外就是，我们在立体几何初步里面，讨论的一些位置关系，如果过早地强调用综合几何的办法去证明，可能会对一部分
14、同学带来一定的困难和不必要的难度，所以这一点也是我们做这样一个选择的出发点。 张饴慈：实际上有了这样一些推理的论证，对学数学的人来说，或者对一个中学数学老师来说，可能需要把握这样一个证明，但是对于高中生来说，并不要求我们把握这么难的理论。我去年曾经在江西听了一堂课，他们请了一个外省很有经验的数学老师，他总觉得标准说不要求证明判定定理，但培养逻辑思维还是应该来证明它，虽然标准不要求，虽然用的教材上没有这个证明，但是我觉得还是应该讲，结果他就在课堂上讲这个证明，自己讲着讲着，这个证明还没有讲对。有时候可以看到，这个证明还是很难的，既使对数学老师来说，也不见得是很容易的，何况对我们高中生来说，所以这
15、个度要把握。 王尚志：特别是用综合几何的证明，有一些逻辑推理方面的要求，还是有一定的难度。我想在我们标准里面，还有一个内容的处理方式，有这么几句话，就是：直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算。特别是直观感知，我觉得这一件事情应该引起老师的注意，操作确认也是一样，有的时候让学生动动手，看看具体的图形，这是非常重要的。实际上我们立体几何的图形，在我们生活周围经常可以碰到，它都是我们思考立体几何问题的一个具体模型，所以我们在课程里面，还特别强调所谓长方体。 张饴慈：关于直观感知，操作确认，有很多老师还是觉得不习惯，好像不证明总是不太好的，实际上就是和上次讲的必修一中指数函数和对数函数一样，我们也是
16、直观感知，操作确认，也没有证明，在代数上就不觉得这不好，到了几何就觉得不好。我想这就是一个认识或者习惯的问题。 王尚志：我们在立体几何的标准里面，提出了用长方体模型贯穿始终，这是非常重要的。我想原因从数学上来说，是因为我们大部分所用的数学是在一个直角坐标系的框架下展开的，比如说我们将来大部分学的高等数学、概率统计、数理方程、复变函数，大体上都是在直角坐标系这个框架下展开的，而直角坐标系这样一个框架，实际上可以通过一个长方体来体现它的价值。因此，我们大部分的研究几何图形的对象是发生在长方体里，这是不严格地说，因此帮助学生在脑子里建立长方体的模型，并且贯穿始终对于理解立体几何的问题是非常重要的一件
17、事情，而且长方体是看得见，摸得着的，我们生活的教室里，我们学习的教室就是一个很好的长方体的模型， 我们既要帮助学生能在长方体内部来看待他们之间的关系，也能站在长方体的外部来看待图形之间的关系，这对于我们掌握和理解、解决一些立体几何图形问题是非常重要的。 张饴慈：因为长方体模型从向量观点来看，就是向量的基本定理。就是把一般的向量用三个简单的向量来表示，而且这三个互相正交的向量就是我们的长方体问题，这样一个思想，把一个复杂的东西用简单的东西来表示，来处理，这是一个非常重要的数学理论思想。从理论上来说也是比较深刻的，从实际来说又是一个很具体，很直观，对孩子来说很好认识的一个东西，所以我想在这里要有意
18、识地往这方面去想，去用这个问题。就是非常有意识地主动把一个问题嵌入到长方体模型，要培养这样一个习惯，把一般的问题用简单的问题表述出来，这样一种思维和习惯我觉得非常重要。 王尚志：我觉得在我们后面选择的这些课程中，很多老师非常好的用到了这件事情，比如说在立体几何的起始课，通过生活中的长方体和我们抽象的长方体，帮助学生完整地去了解我们立体几何研究的对象是什么，研究的方法是什么，我怎么样处理这个事情，是一个非常好的设计。那么在我们点线面的位置关系，特别是判定和性质定理里，也比较好的使用了长方体模型，帮助学生去理解和认识它们的位置关系，和它们的度量关系，我觉得都会发生非常好的一个作用。 那么，另外我们
19、还会讲到空间直角坐标系，也可以充分利用长方体这样一个模型，去完成这样一个考虑。另外还有长方体模型提供的一个非常好的思考，就是我们标准里不仅要强调从局部到整体，是点线面基本图形组成的图形，另外我们还要强调另一面，就是从整体到局部，学生的认知更习惯于从整体到局部。 王尚志：孩子们都是先看见一个整个的东西，然后再看局部。另外我想我们这次课标里强调直观感知，操作确认，先直观上得到一些几何图形性质，然后再去通过推理论证，再来证明这个性质是对的，我想不仅是几何上如此，在整个数学中发现探索都是这样一个过程，我想这个东西非常重要，首先先要有这么一个过程，然后才是论证。而不是简单地先把已知条件给你了，然后你再去
20、论证，也不知道这个结论就出来了，这个东西就违背了我们的认识。 这些都是我们在几何教学中的一些变化，我觉得这些变化实际上都是从老师的经验中总结出来的变化，比如说从整体到局部，我记得我们在制作标准的时候，看到了很多很优秀老师的教案，他们都是从整体出发，帮助学生在我们整体的图形中去认识这些局部图形之间的关系，所以我想这一点宝贵的经验是我们应该珍惜的东西，也希望把它贯穿在我们教学过程中。 张饴慈：通过刚才说的，立体几何的初步我们的重点就是帮助学生逐步形成空间想象和几何直观能力，这就是我们的重点。那么对于立体几何这一部分内容，具体到初步这一部分内容，主要是点线面的位置关系，特别是平行和垂直的关系。 王尚
21、志：我想要形成空间想象力和几何直观能力，应该说我们是通过四个载体。第一个就是直观图，你怎么样把空间的图形在平面上表示出来，这是我觉得一个非常重要的载体。第二个载体就是三视图，我们怎么样能把三视图，一个空间图形通过三视图来认识这个空间图形，那么我们还会有适当的载体，怎么样通过三视图，帮助学生去想象它的空间原来的图形是什么，这是第二个重要的载体。第三个重要的载体就是刚才张老师强调的，一个核心的内容，就是我们通常所说基本几何图形的位置关系和度量关系，而位置关系和度量关系的基本图形，位置关系和基本关系的认识，我们是从整体到局部的，我们强调这样一个纬度。那么第四个载体就是我们要帮助学生掌握几种基本的几何
22、图形，就是通常我们所说柱，锥，台，球，因为在我们日常生活中碰到绝大部分的图形，都可以用这样一些最基本的几何图形去近似地表达它们。 那么我们去了解，不仅要把握这些图形，还要去掌握这些图形的表面积的求法和体积的求法，当然我们这些都不是能严格证明的，这些严格证明都需要我们有新的工具才能完成这个证明。通过这样四个载体，来帮助学生形成空间想象力和几何直观能力，我想这是我们几何课程的重点。 张饴慈：另外就是点线面的位置关系，特别是平行和垂直基本位置关系，我们是依托长方体为载体，来认识这样一个问题，这是我们的重点。那么其中平行和垂直，我们也讲到判定定理和性质定理。 王尚志：就是说平行和垂直重要性，不仅仅是在
23、高中几何课程中，到我们大学几何课程中仍然是最基本的位置关系，仍然是我们必须反复强调的东西。 张饴慈：另外这里还涉及到三种数学语言的转换，对几何图形的描述就自然语言，图形语言，还有就是符号语言，就是能够比较熟练的对这三种语言进行转换，特别是符号语言。 王尚志：但是这三种语言，我们几何课程做出的贡献，应该是强化图形的语言。我觉得这一点是非常重要的。 思明是不是把教学建议给我们老师谈一谈。 张思明：我们老师在实践过程中经常提出来，就是像图形语言作为立体几何是最核心的，像刚才符号语言，第一模块里也分析了，包括函数图形单调性的时候，也有这种语言的转化，那么我们在立体几何里面特别强调图形的作用。所以我想在
24、给老师们在模块教学中提出的建议，头一条王老师开始提到的关键字，就是我们思考问题，备课，做教学设计，包括让学生感知立体几何的知识有一个核心的过程，就是从局部、整体，再到局部，我们要把一个过程变成教学设计的习惯，要变成学生思考问题的习惯。 王尚志：我觉得这一件事是我们特别希望强调的一个思维，就是我们学习数学也好，无论是很多数学家和在大学进行数学教学，我觉得本质上和中学是一样的，我们认识每一个局部的概念，认识某一个局部的方法，一定要把它放在整体中去认识，我们才有可能真正地抓住它的本质，那么我们增加了对整体认识的维度，然后再从整体回到局部，才能清楚在这个局部的教学中，我们应该强调什么，应该达到什么，就
25、是我们最主要的目标。我们后期课程可能还有跟进，这样的一个认识我同意思明说的，是非常重要的一件事情。 张思明：第二个建议就是我们要突出，就是从具体到抽象，我们确定标准里写到的十六字方针，就是直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。在这个过程中我们要把它看成是一个过程，不要省略前面那个东西，在这个过程里面，核心我们要直观感知，在动作里面我们要强调过程，很多老师最简单，最省事的办法我们提出这个东西，线面垂直是什么什么，这个过程在我们后面提出的课案里面，我们都突出表现了老师建立一个几何的命题过程，过程的开头都是具体到抽象，直观感知，应该变成我们这一轮教学里面特别要注意的地方。 张饴慈：尽管几何好像已经
26、是很直观的，但是还有一个从具体到抽象的问题，比如说抽象的直线，那么给到长方体的直线，学生的感觉就立刻不一样了，所以尽管几何是很形象的东西，但是还是要由具体到抽象，还是要把握最基本的东西。 张思明：第三个建议就是我们反复强调的一个模型，就是长方体的模型，这个模型刚才两位老师都强调了它的作用，特别是从数学的价值，包括正交基，包括一些数学发展中的作用，都提到了。我们还有一个角度，在后面的课程中我们会看到唐山一中的王军老师的课例，他甚至把若干年高考题里面的长方体模型的作用都提炼了一下，发现了绝大部分题都是可以用长方体来描述这样的关系的。 以长方体作为载体，我们在这里面强调的教学建议是有实际意义的，这个
27、是非常重要的，就是它放在那里，老师有意识地引导学生，在考虑问题画出长方体，或者拿出长方体的模型，把对应的关系转移到长方体，这件事情非常重要。 张饴慈：比如说长方体你也可以来体会，就是说长方体的重要性再体会到垂直的重要性，这是一个平行垂直充分体现在长方体里，为什么长方体那么重要，那么好，因为有垂直的关系，垂直的关系反映出来就能够简单，像这些东西要有一个很好的认识。 张思明：第四个建议，就是我们推理论证的把握，在这里面我们提到了，我们加强了直观感知，具体到抽象，我们要处理合情推理和演绎推理的平衡，什么地方我们要把合情推理也作为一个发现的过程，让学生去体会这个过程，而把这个过程更加显性化，这个过程的
28、作用是什么，这个我也想请王老师来分析一下，为什么我们在这里面也强调合情推理，是不是演绎推理不重要了，或者我们怎么样表现这种平衡？ 王尚志：我想在数学里面有两种基本的推理方式，一种是归纳，我们通过所说的合情推理，大体上指的归纳，当然归纳有不严格的地方，但是我们设想一下，我们数学的概念是怎么得到的，我们是从具体问题，通过归纳把它核心含义总结抽象出来得到的概念，我们的结论是怎么得到的，不是演绎出来的，是我们通过观察、分析和对某些问题的思考，我们逐渐形成了一些猜想，得到一些结论，然后我们再通过演绎去证明这件事情是正确的，因此我们不应该单纯地强调演绎推理，而忽视了归纳推理的作用。 所以，在我们讲概念，在
29、我们讲结论，在我们讲探索，证明思路的过程中，经常要用到我们通常所说的归纳推理，也就是我们通常所说的合情推理，所以我觉得不应该把这两者对立起来，而应该看到他们各自应该发挥的作用，当我们要验证这个结果的时候，或许演绎推理能够发挥更重要的作用，但是我们为了去产生一个东西，寻求一个证明思路的时候，或许我们需要尝试，我们需要猜想，我们需要运用归纳推理，来帮助我们找到结论，或者找到证明结论的思路。 张饴慈：实际上探索、猜想、归纳是创新发展的一个动力，最后你要来落实对和错，你可能是猜错了，可能是归纳错了，最后是一个演绎论证对和错的问题，但是前面这些东西都是靠这些来论证，没有靠形式推理来推出一个重要的结果。
30、王尚志： 那么张老师说的这一点特别重要，因为特别是我们新课程强调培养学生的创新意识，所谓创新我觉得需要有两方面，一个是思维的支持，应该支持创新思维的最重要的数学思维方式应该是归纳，归纳、猜想，这是非常重要的一点。另外一个就是问题意识，那么产生问题一般不严格，只是根据这些现象，提出一些猜想，产生一些问题，并没有证明这个问题，所以这些都是创新的基础，所以我们在课程中，在几何课程中应该去强调这些，我觉得这个对于我们数学教育的价值是一个新的思考，也是一个进步。 张饴慈：非常有名的数学家叫F.克莱茵，他是变换几何的创立者，他在谈到欧几里得和阿基米德区别的时候，欧几里得的几何里面反映不出来这个结论是怎么得
31、出来的，都是一些最后的验证式的，就是已经把结论猜出来，猜了以后来验证对不对，而真正符合现代科学认识，现代科学发展规律，还是阿基米德这样的思维，就是探索和探究，把这个过程给弄出来，最后再来一个证明。另外当然阿基米德还有一些优点，关注应用，关注计算，这都是欧几里得的缺点，虽然欧几里得在我们数学中有很大的作用，但是从现代数学比较来说，它的思维模式可能偏重在逻辑推理上。 王尚志：我想刚才张老师说的这本书，就是F.克莱茵写的一个高观点下的初等数学，我建议老师可以参考一下这本书。另外一本书就是张饴慈老师翻译的什么是数学，是美国另外一个非常著名数学家叫柯朗，写的一本书，我们很多中国数学家都非常推崇这本书，很
32、多大的数学家都建议，中学生或者中学老师都读这本书。 张饴慈：爱因斯坦都对这本书有很高的评价。 王尚志：非常高的评价，我建议老师们看看这些书，能打开我们的眼界，从我们长期一些比较狭隘的视角跳出来，会对数学有新的认识，会对数学有新的体会。那么这样我们在教学生学数学的时候会带来一个非常好的效果。 张思明：在这个过程里面，我们也想就第一模块的教学提一些学法指导的建议，首先我们从前面的分析反复强调长方体模型，在建立直观认识的过程中的作用，所以我想我们的老师应该用长方体模型自觉引导学生，学会使用长方体，来认识点线面之间的位置关系。比如说可以让每个学生动手做一个，在每一个问题里面让学生具体地摸一摸，指一指哪
33、个线和哪个面有怎样的关系，还有我们也可以让学生感受到我们观察长方体的两种角度，一种我们坐在教室里面，在里面看到周围的长方体就是教室，也可以走出教室，在操场上看到的楼，也是另外一个长方体。那么像这样的过程里面，我们应该把它变成教学的一个过程，帮助学生自觉认识长方体的作用，并在自己理解各种几何性质的时候，在长方体中找到对应的对象。 张饴慈：我觉得帮助学生，老师首先要习惯于用长方体来思考问题，每碰到问题，你要主动认识这个问题，这样你可以帮助学生来认识这一点，现在我觉得我们老师对长方体自己的认识不太够，还是要加强。 王尚志：有一些老师跟我谈体会的时候，非常感慨地说，他的教学中，要把长方体从立体几何初步
34、的起始课，一直到最后贯穿始终，我觉得这个建议希望我们老师能够参考，这是一个非常好、也非常重要的思路。我觉得在我们教学中，和对学生的指导中，要把它贯穿下来。 张思明：我觉得还有一个学法的建议，就是要让学生养成，画图、做图、用图思考的习惯，我觉得这个习惯当然不仅仅是在这，在上一个模块里，在函数里面我们也希望这样，但是立体几何更突出，这种图包括需要的时候画出直观图，三视图，或者平移图截面，一定要用图表现出来，这个画图过程实际上是学生在空间和平面中做变换的思考过程，而这种习惯对学生培养空间想象力非常重要。 王尚志：我非常同意思明说的。 张饴慈：因为我想在整个数学里面，我们老强调数形结合，特别对我们几何
35、来说，就更离不开图了，就是说这个习惯的培养，不仅是在几何里面，整个数学里面一定要培养，能画图一定画图，想问题就用图来想，用图来讲问题真的是太重要了，立刻能够让问题简单化了。 王尚志：我个人有这样的一个习惯，就是要画图，用图来说事情。我想希尔伯特写过两本书，一本书就是经常被宣传的几何基础，实际上希尔伯特在同时期还写了另外一本书，叫直观几何。中译本已经不多了，后来我找到了中译本和英译本，我专门把它的前言翻出来，实际上希尔伯特特别强调图形的作用，他说图形有三个基本作用，第一个作用图形可以帮助我们去表达问题，就是我们一个问题画一个图，这个事情就变得很容易理解，这是第一个。 第二个图形能够帮助我们寻找解
36、决问题的思路。 第三件事图形能够帮助我们记忆和理解我们所得到的结果。比如说我在大学讲分析，讲隐函数存在定理的时候，我就让学生记住一个图，记住一个图就等于记住隐函数的证明过程。 所以，我觉得养成一个作图，用图思考分析的习惯，是我们应该给学生反复提供的一个学法指导。 张饴慈：比如说一个不等式，用一个图来表示出不等式，这个不等式就记得很清楚了，很多东西要有意识做这个东西。 张思明：最后一个学法指导建议，我想是这样的，就是在这一课里面，很多老师说对好学生，或者学有余力的这种同学，又没有证明的要求，到底还能用什么方法来帮助学生提高空间想象能力，我们想这部分内容也可以做一些相关小课题，让学生在探究过程中加
37、深对几何之间位置关系的理解，比如说我们有这样的载体，削土豆的方式，做一个正方体灌水的方式，来看一个截面，正方体的截口是什么形状的，可能出现什么形状，然后把这个问题做实验，然后探究，我想这些过程，包括一个直线和一个平面垂直要多少根线，就能确定这样的垂直关系，都可以把这个过程来变成学生体验空间关系的一个载体。 王尚志：我在一个农村的中学就看过这样的课，老师就买了土豆，然后发给大家，学生有一个刀子，当然让学生小心一点，就是通过切土豆来帮助学生认识刚才思明提出来的问题，来帮助学习形成空间想象力和几何直观能力，他真的去操作，他真的是切出这个土豆，然后去理解各种截面的情况。这个注水也是一个日本人做的，就用
38、一个玻璃立方体，然后有一个口，往里灌不同的水量，然后来旋转立方体的位置，就可以看出截面的形状。里面打上彩色的水，看得非常清楚，学生就可以探索，甚至还可以寻求证明的思路。 张思明：我们以前的立体几何题可能是老师出出来的，然后让学生证，学生不知道产生这样的问题是从哪来的，比如我们可以说拿一个刀去截正方体，那个截口为什么不会出现直角三角形，如果是三角形的话，如果截口出现了六边形，一定满足什么条件，为什么不会出现截口是正五边形，比如说这样的问题让学生去思考，他才能去理解两个平行平面被第三个平面所截，截口一定是平行的。这样的性质就变成了很自然应用的过程，在这些过程中可能会加强学生对几何性质，或者平行和垂
39、直性质应用的这些理解。 张饴慈：你看俄国（沙奈金）他们写的几何，突破了我们简单逻辑论证的东西，就非常丰富，七巧板等各种各样的东西，都非常有助于孩子培养图形把握的能力，这才是对几何图形的认识，而不是局限于过去老证三垂线定理，好像只有这些东西不一样。 王尚志：我觉得我们希望老师能开发一些探究的几何问题，那么我想这些探究应该是中国数学老师的一种创造载体。那么这样我们想一些办法来帮助我们的学生，又好玩，又有趣，然后又能帮助学生去建立空间想象力，我觉得这样的尝试是非常重要的一件事情。希望，期待我们老师能够开发出一些好的几何探究问题，可以作为数学的探究，我觉得这个是很好的一件事情。 比如说我们老师还曾经做
40、过类似的问题，就是扛着一个大柜子能不能进门，能不能拐弯，还有一些烟筒的拐角，我想这一些都可以成为我们探究的一个非常好的载体。 张思明：那么在这一节课里面，我们一起讨论了模块二里面，立体几何初步的把握，在我们贯彻的核心词里，我们看到了局部、整体、局部，同时也强调了一些大家关注的地方，比如说长方体模型的作用，怎么引导学生建立空间想象力变成日常教学具体可以操作的行为。在下一讲里我们将结合模块二的另外一个专题，解析几何初步来进行具体的分析，这一讲我们就到这里，我们希望老师和我们一起提供更多的帮助学生建立空间想象力的经验，我们一起来分享，谢谢大家的参与，我们下节课再见。 作业 1. 谈谈您对中学几何课程的地位和作用的认识？通过课改实践您的认识有何变化？ 2. 就必修模块二的一个知识点（如圆的方程）给出“数学分析”。 3. 就必修模块二的一章内容给出您的单元教学设计框架。 4. 就学生在必修模块二学习中的一个具体问题，给出您的教学建议和学法指导建议。 5. 结合前几轮教学实际，介绍您在模块二教学中调动学生学习积极性、主动性和创造性的做法和经验。-