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1、2综合法与分析法,1.综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.名师点拨综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”.(2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下:,(3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易于表达的特点.,【做一做1】已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2.证明:x2+y22xy,y2+z22yz,z2+x22xz,(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)2xy+2yz+2xz.
2、3(x2+y2+z2)x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2=1.,2.分析法从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这种思维方法称为分析法.名师点拨分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.(2)用分析法书写证明过程的格式为“要证,只需证,只需证,由于显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.,【做一做2】将下面用分析法证明ab的步骤,补充完整:要证ab,只需证a2+b22ab,也就是证,即证,由于显然成立,因
3、此原不等式成立.答案:a2+b2-2ab0(a-b)20(a-b)20,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)综合法是由因导果的顺推证法.()(2)分析法是执果索因的逆推证法.()(3)分析法的推理过程要比综合法优越.()(4)所有证明的题目均可使用分析法证明.(),探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法的应用【例1】在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求证:A的大小为60.(2)若sinB+sinC=,证明ABC为等边三角形.分析:(1)要证A的大小为60,可先从已知条件
4、出发,利用正弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小.(2)要证ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sinB+sinC=转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的大小也为60,命题得证.,探究一,探究二,探究三,规范解答,证明:(1)2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2.,探究一,探究二,探究三,规范解答,(2)由(1)知A=60,且A+B+C=180,B+C=120.,0B120,30B+30150.B+30=90,即B=60.A=B=C=60.因此ABC为等边三角形.,探究一
5、,探究二,探究三,规范解答,反思感悟综合法证明问题的思路(1)分析条件,选择方向.即分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.(2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.(3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析法的应用,分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用分析法,寻找结论成立的充分条件.,探究一,探究二,探究三,规范解答,而上述不
6、等式显然成立,故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟利用分析法证明不等式(1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明.(2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.,探究一,探究二,探究三,规范解答,只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2,只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)0,只需证(xy-1)(xy+1-x-y)0,只需证(xy-1)(x-1)(y-1)0.因为x1,y1,所以上式显然成立.
7、所以原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,规范解答,综合法与分析法的综合应用【例3】已知a,b,c是不全相等的正数,且0x1,求证:,分析:解决本题的关键是利用对数的运算法则和对数函数的性质转化为证明整式不等式.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟综合法与分析法的综合应用(1)在实际解题过程中,常常是先用分析法寻找解题思路,即从结论入手,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述解题过程.(2)对于较复杂的问题,在解题过程中,把分析法和综合法有机地统一起来,一方面从问题的已知条件出发,用综合法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问
8、题的结论出发,用分析法回溯到中间,即推出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练3设f(x)=ax2+bx+c(a0),若f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称,求证:f为偶函数.,探究一,探究二,探究三,规范解答,用分析法证明不等式成立【典例】(12分)在某两个正数m,n之间插入一个数x,使m,x,n成等差数列,插入两个数y,z,使m,y,z,n成等比数列,求证:(x+1)2(y+1)(z+1).,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,即证y3+z3yz(y+z)成立,9分只需证y2-yz+z2yz,即证(y-z
9、)2011分因为(y-z)20显然成立,所以(x+1)2(y+1)(z+1).12分,解题反思实际解题时,综合使用分析法与综合法,即从“未知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟通已知条件和结论的途径,本例中若得不出2x=就无法实现等价转化.另外在应用分析法解题时,语言、步骤要完整、规范,避免逻辑性混乱,减少失分.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练如图,在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PH底面ABC于点H,求证:H是ABC的垂心.证明:连接AH,BH,要证H是ABC的垂心,只需证BCAH,且ACHB,只需证BC平面PHA,且A
10、C平面PHB,只需证BCPH,且BCPA,ACPH,且ACPB.因为PH底面ABC,所以PHBC,PHAC成立,故只需证BCPA,且ACPB即可.只需证PA平面PBC,PB平面PAC,只需证PAPB,且PAPC,PBPA,且PBPC.因为PA,PB,PC两两垂直,上式显然成立,所以原结论成立,即H是ABC的垂心.,12345,1.“对于任意角,都有cos4-sin4=cos2”的证明过程:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos2”应用了()A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.间接证法解析:证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式,因此是综合法.答案:B,12345,2.已知f(x)=ax+1,0x6+y6+2x3y3,只需证3x2y2(x2+y2)2x3y3.因为x0,y0,12345,(方法二:综合法)因为x0,y0,所以(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)x6+y6+6x3y3x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2.,