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1、2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）函数f（x）=lg（2x）定义域为 2（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（1）+f（0）+f（1）= 3（4分）首项和公比均为的等比数列an，Sn是它的前n项和，则= 4（4分）在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= 5（4分）已知复数z=a+bi（a，bR）满足|z|=1，则ab的范围是 6（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门
2、，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 7（5分）已知M、N是三棱锥PABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥PABC的体积为V1，三棱锥NMBC的体积为V2，则等于 8（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 9（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形ABC，则ABC的面积等于 10（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若MNF2的内切圆的面积为，则= 11（5分）在ABC中，D是BC的中点，点列Pn（nN*）在线段AC上，且满
3、足，若a1=1，则数列an的通项公式an= 12（5分）设f（x）=x2+2ax+b2x，其中a，bN，xR，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x）都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）异面直线a和b所成的角为，则的范围是（）AB（0，）CD（0，14（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A若x1，则x1或x1B若x=1，则x=1或x=1C若x1，则x1且x1D若x=1，则x=1且x=115（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2017）=（）A2017B1513CD16（5分）已知RtABC
4、中，A=90，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，则的取值范围是（）AB4，6CD三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB，M为AC的中点（1）求证：PM平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小18（14分）已知函数，其中xR，0，且此函数的最小正周期等于（1）求的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值19（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互
5、相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q（1）设AQ=x（km），将APQ的面积S表示为x的函数；（2）求APQ的面积S（km）的最小值20（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求EAF的取值范围；（3）判断EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由21（18分）已知无穷数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4（1）如果a2=2，且对于一切正整数
6、n，均有，求Sn；（2）如果对于一切正整数n，均有anan+1=Sn，求Sn；（3）如果对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，证明：a3n1能被8整除2018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）函数f（x）=lg（2x）定义域为（，2）【解答】解：要使函数有意义，可得2x0，即x2函数f（x）=lg（2x）定义域为：（，2）故答案为：（，2）2（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（1）+f（0）+f（1）=0【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=f（1），f（0）=0，
7、即f（1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：03（4分）首项和公比均为的等比数列an，Sn是它的前n项和，则=1【解答】解：根据题意，等比数列an的首项和公比均为，则其前n项和Sn=1（）n，则=1；故答案为：14（4分）在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC=故答案为：5（4分）已知复数z=a+bi（a，bR）满足|z|=1，则ab的范围是，【解答】解：z=a+bi（a，bR），且|z|=1，即a2+b2=1，令a=cos，b=sin，则
8、ab=cossin=，ab，故答案为：6（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187（5分）已知M、N是三棱锥
9、PABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥PABC的体积为V1，三棱锥NMBC的体积为V2，则等于【解答】解：如图，设三棱锥PABC的底面积为S，高为h，M是AB的中点，N是PC的中点，三棱锥NMBC的高为，则，=故答案为：8（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9（5分）已知y=sinx和y=cosx的
10、图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形ABC，则ABC的面积等于【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形ABC是等腰三角形，底边长为一个周期T=2，高为，ABC的面积=2=，故答案为：10（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若MNF2的内切圆的面积为，则=4【解答】解：椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，MNF2的内切圆的面积为，MNF2内切圆半径r=1MNF2面积S=1（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案
11、为：411（5分）在ABC中，D是BC的中点，点列Pn（nN*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列an的通项公式an=【解答】解：如图所示，D是BC的中点，=+=+，又=+，+=+an（+），化为：=（1anan+1）+，点列Pn（nN*）在线段AC上，1anan+1+=1，化为：an+1=，又a1=1，则数列an是等比数列，首项为1，公比为an=故答案为：12（5分）设f（x）=x2+2ax+b2x，其中a，bN，xR，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x）都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a
12、x+b2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x）的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2ax+b2x=x，方程x2+2ax+b2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x）的零点，则有，解可得x=0，即x2+2ax+b2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2ax，解可得x1=0或x2=2a，f（f（x）=（x2+2ax）2+2a（x2+2ax），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x）的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分
13、）异面直线a和b所成的角为，则的范围是（）AB（0，）CD（0，【解答】解：异面直线a和b所成的角为，的范围是（0，故选：C14（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A若x1，则x1或x1B若x=1，则x=1或x=1C若x1，则x1且x1D若x=1，则x=1且x=1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x21”；即“若x1，则x1且x1”故选：C15（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2017）=（）A2017B1513CD【解答】解：函数，f（1）+f（2）+f（3）+f（2017）=1009f（1）+1008f（0）=10092
14、1+100820=故选：D16（5分）已知RtABC中，A=90，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，则的取值范围是（）AB4，6CD【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），|=2，M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆，N是MC的中点设M（2cos，2sin），则N（cos，sin+3），=（cos4，sin+3），|2=（cos4）2+（sin+3）2=6sin8cos+26=10sin（）+26，当sin（）=1时，|取得最小值=4，当sin（）=1时，|取得最大值=6故选B三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1
15、8=76分）17（14分）如图，在三棱锥PABC中，PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB，M为AC的中点（1）求证：PM平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小【解答】证明：（1）在三棱锥PABC中，PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB，M为AC的中点PMAC，AB平面PAC，PMAB，ABAC=A，PM平面ABC解：（2）连结BM，PM平面ABC，PBM是直线PB和平面ABC所成的角，PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB，M为AC的中点，PM=，BM=，tanPBM=，直线PB和平面ABC所成的角为arctan18（14分）已知函数，其中xR，0，
16、且此函数的最小正周期等于（1）求的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值【解答】解：函数=sinx+cosx=2sin（x），（1）函数的最小正周期等于即=2可得f（x）=2sin（2x），由2x，kZ得：x故得函数的单调递增区间为，kZ（2）f（x）=2sin（2x），当，（2x）当2x=时，函数f（x）取得最大值为2当2x=时，函数f（x）取得最小值为119（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q（1）设
17、AQ=x（km），将APQ的面积S表示为x的函数；（2）求APQ的面积S（km）的最小值【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S=（x1）；（2）由（1）得：S=（x1）；当x（1，2）时，S0，当x（2，+）时，S0，故x=2时，Smin=420（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求EAF的取值范围；（3）判断EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐
18、标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d）=2pd，在EAF中，cosEAF=1，可得cosEAF，可得arccosarccos，则EAF的取值范围是arccos；（3）EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1设A（x0，y0
19、），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得AMF=MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得AMF+EFM=90，tanAMF=cotEFM=，可设y00，则直线AM的方程为yy0=（xx0），则y0yy02=pxpx0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y22y0y+2px0=0，即为（yy0）2=0，可得y=y0，x=x0，即EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为121（18分）已知无穷数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4（1）如
20、果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求Sn；（2）如果对于一切正整数n，均有anan+1=Sn，求Sn；（3）如果对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，证明：a3n1能被8整除【解答】解：（1）无穷数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4a2=2，且对于一切正整数n，均有，=1，=，由此猜想=23n再利用数学归纳法证明：当n=1时，=4，成立假设n=k时，成立，即，则ak+1=2（62k）（4k）=22k=23（k+1）由得，an是首项为4，公比为的等比数列，Sn=8（1）（2）对于一切正整数n，均有anan+1=Sn，Sn=anan+1，Sn1=an1an，an=an（an+1an1），an+1an1=1a1=4，由anan+1=Sn，得a2=1，a3=5，a4=3，当n为偶数时，+=当n为奇数时，Sn=+=证明：（3）对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，an+an+1=3Sn，an1+an=3Sn1，an+1an1=3an，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3a1=3a2，a3=28，假设a3k1=8m，mN*则a3k+2=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k1）+a3k=10a3k+a3k1=40p+24q，p，qN*能被8整除，综上，a3n1能被8整除第23页（共23页）