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1、第三章导数应用,1函数的单调性与极值,1.1导数与函数的单调性,导数与函数的单调性如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的.如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0(或f(x)0,则f(x)在该区间上是增加的,反之亦成立.()(2)函数f(x)在区间(x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则函数在(x1,x2)上比在(x2,x3)上增长的快.()(3)函数f(x)=lnx+在(-,1)上是减少的.()(4)在某个区间内有f(x)=0,则f(x)为常数函数.(),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,求函数的单调区
2、间【例1】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=x4-2x2+3.(2)f(x)=2x-lnx.分析:先求f(x),再解不等式f(x)0得递增区间,解不等式f(x)0,解得-11,函数f(x)的递增区间是(-1,0)和(1,+).令4x(x+1)(x-1)0,解得x-1或0x0(或f(x)0),得出相应的x的范围;(4)根据不等式的解集,写出相应结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1函数y=x2-4x+a的递减区间是.解析:y=(x2-4x+a)=2x-4,由y=2x-42时,函数f(x)在(-,1)上是增加的,在(1,a-1)上是减少的,在(a-1,+)上是增加的.依题
3、意知,函数f(x)在区间(1,4)上是减少的,在(6,+)上是增加的,4a-16,即5a7.a的取值范围是5,7.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(方法二)f(x)=x2-ax+a-1,由题意知f(x)0在区间(1,4)上恒成立,f(x)0在(6,+)上恒成立.,5a7.故a的取值范围为5,7.反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的方法(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调,则f(x)0或f(x)0在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.,探究一,
4、探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练3已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的取值范围是.解析:f(x)=3x2-k,由题意知3x2-k=0在(-3,-1)内有解,即k=3x2在(-3,-1)内有解.又当x(-3,-1)时,3x2(3,27),k(3,27).答案:(3,27),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练4若函数f(x)=x3-ax2+1在0,2内是减少的,求实数a的取值范围.,解:(方法一)f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a).当a=0时,f(x)0,故y=f(x)在(-,+)上是增加的,与y=f(x)在0,2内是减少的不符,舍
5、去.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(方法二)f(x)=3x2-2ax.由y=f(x)在0,2内是减少的知3x2-2ax0在0,2内恒成立.当x=0时,由3x2-2ax0在0,2内恒成立得aR.当x0时,3x2-2ax0在0,2内恒成立,综上可知,a的取值范围是3,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,证明不等式,分析:由题目可获取以下主要信息:要证明当x0时,x-0,xsinx(x0).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟利用导数证明不等式的步骤(1)构造函数:F(x)=f(x)-g(x).(2)求导:F(x)
6、=f(x)-g(x).(3)判断函数的单调性.(4)若F(x)在区间上的最小值大于或等于0,则f(x)g(x);若F(x)在区间上的最大值小于或等于0,则f(x)g(x).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练5已知函数f(x)=+lnx,则有()A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)0恒成立,即f(x)在(0,+)上是增加的.又2e3,f(2)ln(1+x).分析:构造函数f(x)=x-ln(1+x),只要证明在x(1,+)上,f(x)0恒成立即可.,证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x1).,f(x)在(1
7、,+)上是增加的.又f(1)=1-ln21-lne=0,即f(1)0,f(x)0,即xln(1+x)(x1).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,函数与其导函数的关系【例4】下图是函数f(x)的导函数f(x)的图像,则下列判断中正确的是()A.函数f(x)在区间(-3,1)上是增加的B.函数f(x)在区间(1,3)上是减少的C.函数f(x)的递增区间为(-3,1),(3,+)D.函数f(x)的递增区间为(0,2),(4,+)解析:根据f(x)的正、负判断函数f(x)的单调性,在(0,2),(4,+)上f(x)0,所以函数f(x)的递增区间是(0,2),(4,+),函数f(x)的递减区间
8、是(-3,0),(2,4).答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟研究一个函数的图像与其导函数的图像之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图像在哪个区间上是增加的,哪个区间上是减少的,而对于导函数图像,则应考察导函数值在哪个区间上大于0,哪个区间上小于0,并考察这些区间与原函数的单调区间是否吻合.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练7f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能是下列选项中的(),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析:题目所给出的是导函数的图像,导函数的图像在x
9、轴的上方,表示导函数值大于零,原函数的图像呈上升趋势;导函数的图像在x轴的下方,表示导函数值小于零,原函数的图像呈下降趋势.当x(-,0)时,导函数图像在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图像呈上升趋势,可排除B,D两选项.当x(0,1)时,图像在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图像呈下降趋势,可排除A选项.故选C.答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,分类讨论思想在研究函数单调性中的应用【典例】已知函数f(x)=(xR),其中aR,当a0时,求函数f(x)的单调区间.分析:因为a的大小及符号不确定,所以要先求f(x),然后对a的取值进行讨论,以确定单调区间.,探究一,探究
10、二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛导函数值的符号是影响函数在区间上的单调性的决定因素,在涉及含参数函数的单调性的判定、求单调区间问题时,需要分类讨论:(1)讨论导数的最高次项系数,若最高次项含参数,则需分大于0、小于0、等于0讨论.若最高次项不含参数,则不需要讨论.(2)讨论导数不等式的解集,一般情况下导函数都是二次函数,要讨论二次函数的判别式是否大于零,再讨论两根的大小,以确定不等式的解集.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解:当-10,可知f(x)在(-,+)上是增加的.答案:A,12345,2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的
11、单调函数,则实数m的取值范围是(),解析:由已知函数是R上的单调函数,可得y=3x2+2x+m0恒成立,判别式=4-12m0,解得m.答案:C,12345,3.若在区间(a,b)内有f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)0,且f(a)0,函数f(x)在区间(a,b)上是增加的.f(x)f(a)0.答案:A,12345,4.函数f(x)的导函数y=f(x)的图像如图,则函数f(x)的递增区间为.解析:由y=f(x)的图像,可知在(-1,0)和(2,+)上,f(x)0,故f(x)的递增区间为(-1,0)和(2,+).答案:(-1,0)和(2,+),12345,5.已知函数f(x)=2ax-,x(0,1,若f(x)在(0,1上是增加的,求a的取值范围.,g(x)max=g(1)=-1.a-1.a的取值范围是-1,+).,