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1、第一章计数原理,1分类加法计数原理和分步乘法计数原理,第1课时,一,二,一、分类加法计数原理完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,在第n类办法中有mn种方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种方法.(也称加法原理),一,二,名师点拨应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点:第一,明确题目中“完成一件事”所指的是什么事,怎么才算是完成这件事,完成这件事可以有哪些办法.第二,完成这件事的N种方法是相互独立的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.第三,确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方
2、法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法是不同的方法,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.,一,二,【做一做1】把10个苹果分成3份,要求每份至少1个,至多5个,则不同的分法种数共有()A.5种B.6种C.4种D.3种解析由于分成3份,每份至少1个,至多5个,故有一份1个苹果,其余两份只能选一份5个,一份4个;有一份2个苹果,则其余两份可能一份5个,一份3个,或两份都是4个;有一份3个苹果,则其余两份只能是一份4个,一份3个.所以共有1+2+1=4(种).答案C,一,二,二、分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,做第n步有mn
3、种方法.那么,完成这件事共有N=m1m2mn种方法.(也称乘法原理),一,二,名师点拨应用分步乘法计数原理要注意的问题:(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的,也就是说必须要经过几步才能完成这件事.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步骤,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.,一,二,【做一做2】2014年南京青奥会是世界体坛的一大盛事.一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务,但需
4、在北京停留,已知从沈阳到北京每天有7个航班,从北京到南京每天有6列火车,该志愿者从沈阳到南京共有()种不同的方法.A.13B.42C.7D.6解析根据乘法原理,该志愿者从沈阳到南京的不同方法共有67=42种.答案B,一,二,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.()(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()答案(1)(2)(3)(4)
5、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】高三一班有学生50人,男30人,女20人;高三二班有学生60人,男30人,女30人;高三三班有学生55人,男35人,女20人.(1)从高三一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析所谓“完成一件事,有几类方案”,是指对完成这件事情的所有方案的一个分类.利用分类加法计数原理求解.解(1)分三类:第一类选法,从高三一班中任选一名,有50种不同的方法;第二类选法,从高三二班中任选一名,有60种不同的
6、方法;第三类选法,从高三三班中任选一名,有55种不同的方法.根据分类加法计数原理,得50+60+55=165种.因此共有165种不同的选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)分三类:第一类选法,从高三一班男生中任选一名,有30种不同的方法;第二类选法,从高三二班男生中任选一名,有30种不同的方法;第三类选法,从高三三班女生中任选一名,有20种不同的方法.根据分类加法计数原理,得30+30+20=80种.故共有80种不同的选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟运用分类加法计数原理时,首先要依据问题的特征,确定恰当的分类标准,然后在这个标准下进行分类.分类应满足:完成一件事的任
7、何一种方法,必须属于某一类而且仅属于这一类,即各类办法是互斥的,相互独立的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1某班有男生26人,女生22人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数为()A.22B.26C.48D.572解析:由分类加法计数原理可知不同选法有26+22=48(种).答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.,探究一,探究二,探究三,思维
8、辨析,解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729种.(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有654=120种.(3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有666=216种.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点:一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;二
9、是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事:2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2在运动会比赛中,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.解析分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有432=24(种).第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有54321=120(种).故安排这8人的方式共有24120=2880(种).答案
10、2880,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】从0,1,2,3,4,5共六个数字中取四个数字组成一个四位数,问:(1)总共能组成多少个四位数?(2)在(1)中所有的四位数中,则能被5整除的四位数有多少个?分析(1)要完成的一件事是组成四位数,所以首位数字不能是0.(2)要使所组成的数字能被5整除,则末位数字必须是0和5中的一个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)第一步:千位上的数不能取0,只能取1,2,3,4,5,共5种情形;第二步:因为千位取了一个数,还剩下5个数字供百位上取,所以有5种情形;第三步:因为千位、百位分别取了一个数,还剩下4个数字供十位上取,所以有4种情形;第四
11、步:因为千位、百位、十位分别取了一个数,还剩下3个数字供个位上取,所以有3种情形.根据分步乘法计数原理,取得的四位数总共有5543=300个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)因为四位数能被5整除,所以个位数字只能是0或5.第一类情形:当个位数字为0时,依次取千位数字、百位数字、十位数字,分别有5种情形、4种情形、3种情形,所以共计有543=60个四位数.第二类情形:当个位数字为5时,依次取千位数字、百位数字、十位数字,分别有4种情形、4种情形、3种情形,所以共计有443=48个四位数.根据分类加法计数原理,能被5整除的四位数总共有60+48=108个.,探究一,探究二,探究三,思维辨
12、析,反思感悟利用两个计数原理解题的思路(1)当题目无从下手时,可考虑分类完成这件事.(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.(3)混合问题一般是先分类再分步.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3有甲、乙、丙三个盒子,分别装有除颜色外都一样的红色小球6个,白色小球5个,黄色小球4个.从中取两个小球,球的颜色互不相同的取法有多少种?解分三类,每一类又分两步.第一类,从甲、乙两个盒子中分别取一个小球,有65=30种不同的取法;第二类,从乙、丙两个盒子中分别取一个小球,有54=20种不同的取法;第三类,从丙、甲两个盒子中分别
13、取一个小球,有46=24种不同的取法.根据分类加法计数原理知共有30+20+24=74种取法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视限制条件而致误【典例】有3张卡片的正、反两面上分别写有1和2,4和5,8和9,将它们并排组成三位数,共有多少个不同的三位数?易错分析计数原理出错的主要原因有两种.一是混淆分步乘法和分类加法;二是忽视题干所隐含的客观限制条件而致误.解分三步进行.第一步:确定个位上数字有6种选法.第二步:确定十位上数字,因个位上数字已定,其反面数字不能选取,只能从剩余的2张卡片中选取,有4种选法.第三步:确定百位上数字,只能从剩余的1张卡片中选取,有2种选法.由分步乘法计数原理知
14、,共有642=48(个)不同的三位数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得1.正确分清是分类问题还是分步问题,选用加法计数原理还是乘法计数原理.2.要正确认识题目的条件,本题是有约束条件的问题,即同一张卡片的两数在同一个三位数中不能同时出现.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从点P处进,点Q处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有()A.6种B.8种C.12种D.48种,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析从点P处进入交汇点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有2条,若先游览完A景点,再进
15、入另外两个景点,最后从点Q处出,有2222=16种不同的方法;同理,若先游览B景点,有16种不同的方法;若先游览C景点,有16种不同的方法,因而所求的不同游览线路有316=48种.答案D,1,2,3,4,1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种解析分到甲地:第一步选1名教师,有2种方法;第二步选2名学生,有6种方法;第三步,剩下1名教师和2名学生分到乙地,有1种方法,由分步乘法计数原理知共有261=12种方法,故选A.答案A,1,2,3,4,2.已知ax2-b=0是关
16、于x的一元二次方程,其中a,b1,2,3,4,则解集不同的一元二次方程的个数为()A.4B.6C.11D.16,1,2,3,4,3.有A,B,C三个城市,上午从A城去B城有5班汽车、2班火车,都能在12:00前到达B城;下午从B城去C城有3班汽车、2班轮船.某人上午从A城出发去B城,要求12:00前到达,然后他下午去C城,则不同的走法共有()种.A.12B.15C.35D.60解析:根据分类加法计数原理,上午从A城去B城,并在12:00前到达,共有5+2=7种不同的走法.下午从B城去C城,共有3+2=5种不同的走法.根据分步乘法计数原理,上午从A城去B城,然后下午从B城去C城,共有75=35种不同的走法.答案:C,1,2,3,4,4.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则报名方法共有种.解析这里是5位同学(设为甲、乙、丙、丁、戊)报名参加课外活动小组,因而完成这件事需要分5步.第一步:甲同学报名参加课外活动小组,有2种报名方法.第二步:乙同学报名参加课外活动小组,有2种报名方法.第五步:戊同学报名参加课外活动小组,有2种报名方法.根据乘法原理,满足条件的报名方法共有22222=32种.答案32,