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1、3组合,一,二,一、组合的概念一般地,从n个不同元素中,任取m(mn)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,一,二,名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时,就是不同的组合.3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中任取出m个元素”;不同点是,组合“不管元素的顺序并成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”.因此区分某一问
2、题是组合还是排列,关键是看取出的元素有无顺序,有顺序就是排列,无顺序就是组合.,一,二,【做一做1】判断下列各事件是排列问题,还是组合问题.(1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法?(2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种选法?(3)从1,2,3,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?(4)从1,2,3,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?,一,二,解(1)(2)都是选出3人,但参加同一劳动没有顺序,而到三个学校参加毕业典礼却有顺序,故(1)是组合问题,(2)是排列问题.(3)当取出3个数字后
3、,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.(4)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题.,一,二,一,二,名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具体的事件,不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数,它是一个数.,一,二,一,二,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C42个积.()(2)1,2,3与3,2,1是同一个组合.()答案:(1)
4、(2)(3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话?(2)从10个人中选出3个为代表去开会,有多少种选法?(3)从10个人中选出3个不同学科的课代表,有多少种选法?分析解答本题主要是分清取出的m个是进行组合还是排列,即确定是与顺序有关还是无关.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟区别排列与组合首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是
5、排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1给出下列问题:(1)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?(2)从a,b,c,d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法?(3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场?(4)a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?解(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.(2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只赛一场,没
6、有顺序,是组合问题.(4)争夺冠亚军是有顺序的,是排列问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.有关组合数的计算问题,一般先用组合数的两个性质化简,再用组合数公式的乘积形式计算,但当组合数中含有字母时,要限制字母的范围,这往往是解题的关键.2.有关组合数的证明问题,一般先用组合数的两个性质化简,再用组合数公式的阶乘形式去证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这10名医疗专家中有4名是外科
7、专家.问:(1)抽调的6名专家恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.(1)现要从中选出2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因重复计数而致误【典例】数学研究学习小组共有13名学生,其中男生8人,女生5人,从这13人里选出3个人准备做报告.在选出的3个人中
8、,至少要有1名女生,一共有多少种选法?易错分析此类组合题目若不细致审题,则会因出现重复或遗漏等情况而致误.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”的原则,即优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承
9、担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有种(用数字作答).解析先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出1人承担任务乙;最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙.根据乘法原理,不同的选法共有种.答案2520,1,2,3,4,5,1.给出下列问题:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法?有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法?某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?其中是组合问题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析因为是到两个乡镇调查,所以是排列问题;是组合问题;射击命中的4枪之间没有顺序之分,所以是组合问题.答案C,1,2,3,4,5,2.在桥牌比赛中,发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌,一名参赛者可能得到的不同的牌为(),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选1门,学校规定每位同学选修4门,共有多少种不同选修方案?(用数字作答)解每位同学选修4门,可分为两类不同的选取方式.其一为从A,B,C中选一门,再从其余的六门中选三门,共有其二为从其余的六门中选四门,共有种.所以共有60+15=75种不同的选修方案.,