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1、退出开始5-1 电容元件电容元件 1.数字逻辑电路中的延迟现象产生这一现象的原因：产生这一现象的原因：构成逻辑门的晶体管或构成逻辑门的晶体管或MOSMOS管具有内部管具有内部电容所致。电容所致。 A=0B=1C=0D=0E=1F=1G=01232.电容器(capacitor)绝缘介质金金属属极极板板电容器电容器是一种能够是一种能够存储电荷乃至电场存储电荷乃至电场能量的器件。能量的器件。理想电容器理想电容器应该只具有存储电荷从而在电容器中建立应该只具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用，因而是一种电荷与电压相约束的器件。电场的作用，因而是一种电荷与电压相约束的器件。充电充电+-+-su3.电容
2、元件 uqC电容元件是实际电容器的理想化模型。电容元件是实际电容器的理想化模型。2.1 2.1 定义：定义：如果在任一时刻如果在任一时刻t，一个二端元件的端电，一个二端元件的端电压压u( (t) )与其存储的电荷与其存储的电荷q( (t) )之间的关系可以用之间的关系可以用u- -q平平面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电容元件。面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电容元件。2.2 2.2 符号符号3.电容元件u0q线线性性电电容容u0q非非线线性性电电容容2.3 2.3 线性非时变电容元件：线性非时变电容元件：电容元件的特性曲电容元件的特性曲线是线是u- -q平面上的一条过原点的直线，且不
3、随时间平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。而变化。constCtutq)()(即：即：2.4 2.4 电容电容( (capacitance):):C 单位：单位：法拉法拉（F）V, ,C微法微法( )( )，皮法，皮法( (pF)F( )( )q tCu t 或：或：电容的VCR uiCtqiddttCud)(dtuCidd在关联参考方向下：在关联参考方向下：非关联参考方向：非关联参考方向：通常，电压、电流采用关联参考方向。通常，电压、电流采用关联参考方向。tuCdd结论：结论：某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。压的变化率。电容的动
4、态特性 tuidd |0 0dditu| dditu| | dditu电容在直流电路中相当电容在直流电路中相当开路开路隔直作用隔直作用 uiCtuCidd1( )( )dtCutiC 在关联参考方向下：在关联参考方向下：所以：所以： 001( )dtCtutiC 0tt 1.电容电压的连续性质 电容电压的连续性质 Ot/msi/mA1042-5865Ot/msu/V4286200)0()(0ccutu设设电容电流波形虽然不连续，但电电容电流波形虽然不连续，但电容电压波形却是连续的。容电压波形却是连续的。（电容电压不能跃变）（电容电压不能跃变）电容电压的电容电压的连续性质连续性质：若电容：若电容
5、电流电流 在闭区间在闭区间 内为有界内为有界的，则电容电压的，则电容电压 在开区间在开区间 内为连续的。特别是对任内为连续的。特别是对任意时刻意时刻t，且，且 有：有：)(ti,batt)(tuc),(battbattt( )( )CCutut 证明 任取一点任取一点t，以，以t 和和 t + dt 分别作为积分上下限，分别作为积分上下限，且且 ta t tb 和和 ta t + dt tb ，则，则 dddtttcciCtuttu)(1)( dddtttcciCtuttu)(1)(即即由于由于i(t)在在ta, tb内为有界的，所以，对所有在内为有界的，所以，对所有在 ta, tb内内的的t
6、，必存在一个有限常数，必存在一个有限常数M，使，使|i(t)|0 电容不断储能电容不断储能0 电容向外电路释放能量电容向外电路释放能量 dddtuuC)()(d tuuuuC)(212tCu结论：结论：电容的能量总为正，但有时增加，有电容的能量总为正，但有时增加，有时减少。电容是无源元件。时减少。电容是无源元件。t1t2期间电容储存或释放的能量：期间电容储存或释放的能量：电容的储能电容的储能d)(),(2121ttcpttW ddd21ttuuC)()(21d tutuuuC)()(211222tutuC结论：结论：t1t2期间电容储存或释放的能量只与期间电容储存或释放的能量只与t1、 t2时
7、刻的电压值有关，而与此期间内的时刻的电压值有关，而与此期间内的 其他电压值无关。其他电压值无关。)()(12twtwcc结论结论1、电容的储能本质使电容电压具有记忆性、电容的储能本质使电容电压具有记忆性质；质；2、电容电流在有界条件下储能不能跃变、电容电流在有界条件下储能不能跃变,使使电容电压具有连续性质。电容电压具有连续性质。具有初始电压的电容等效电路 d ttcciCtutu0)(1)()(0)()(10tutuc 010)(tttuU 结论：结论：一个已被充电的电容，如果已知初始电压一个已被充电的电容，如果已知初始电压uc(t0) =U0，则在，则在t t0时可等效为一个未充电的电容与时
8、可等效为一个未充电的电容与电压源电压源相串联的电路，电压源的电压值即为相串联的电路，电压源的电压值即为U0。又称又称U0为电为电容的初始状态。容的初始状态。N+-)(tuc00)(Utuc)(tiCb ba aN+ +- -)(tuc)(tiCb ba a0)(01tu+ +- -+ +- -)(1tu0U电容的串、并联 电容的串联电容的串联 u+ +-+-sC) 0(ui) 0(1u) 0 (2u) 0 (nuu+ +-+-1C2CnCinuuuu21t0111d1)0(iCuu 根据根据KVL: 等效电路等效电路 t0222d1)0(iCuut0d1)0(iCuunnnt02121d111
9、)0()0()0(iCCCuuuunnt0d1)0(iCus其中：其中：)0()0()0()0(21nuuuu为等效电路电容的初始电压，是各串联电容初始电为等效电路电容的初始电压，是各串联电容初始电压的代数和。压的代数和。电容的串、并联nsCCCC111121Cs 为等效电路的等效电容，其倒数为各串联电容为等效电路的等效电容，其倒数为各串联电容倒数的总和。倒数的总和。 电容的并联电容的并联 （设电容初始电压为（设电容初始电压为0） 根据根据KCL可得等效电容可得等效电容: npCCCC21为各并联电容的总和。为各并联电容的总和。电容的串、并联例题例题 如图所示电路中，各电容元件的电容值均为如图
10、所示电路中，各电容元件的电容值均为1F，试求端口试求端口ab的等效电容。的等效电容。 cdab解解 cd1 111.5F1 1C ab1 11 1.50.50.61.1F1 11 1.5C例题例题求如图所示电路中各电容元件上的电压。已知求如图所示电路中各电容元件上的电压。已知 解解 两个两个1F1F电容并联的等效电容为：电容并联的等效电容为： 20Vu 。 3F1F1F+-+-+-u1u2up1 12FC 根据电荷平衡原理，根据电荷平衡原理，3F上的电荷应与上的电荷应与 pC相等，所以有相等，所以有： 上的电荷上的电荷1232uu （A A） 又因为又因为 1220uuu（B B）（A A）、
11、（）、（B B）联立可求得：）联立可求得： 18Vu 、212Vu 退出开始5-2 电感元件电感元件电感器电感器(inductor)(inductor)把导线绕成线圈即构成把导线绕成线圈即构成电电感器（电感线圈）。感器（电感线圈）。电感器是存储磁场能量的电感器是存储磁场能量的器件。器件。理想电感器理想电感器只具有产生磁通从而建立磁场的作用，只具有产生磁通从而建立磁场的作用，因而是一种磁链与电流相约束的器件。因而是一种磁链与电流相约束的器件。)(ti+-)(tu)(t电感元件电感元件 电感元件是实际电感器的理想化模型。电感元件是实际电感器的理想化模型。2.1 2.1 定义：定义：如果在任一时刻如
12、果在任一时刻t，一个二端元件的电，一个二端元件的电流流i( (t) )与其磁链与其磁链 ( (t) )之间的关系可以用之间的关系可以用i- - 平面上的平面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电感元件。一条曲线确定，则称此二端元件为电感元件。2.2 2.2 符号符号)(ti+ +-L)(tu考虑电阻的电感器模型：考虑电阻的电感器模型：LR0非非线线性性电电感感i i0 线线性性电电感感2.3 2.3 线性非时变电感元件：线性非时变电感元件：电感元件的特性曲电感元件的特性曲线是线是i- - 平面上的一条过原点的直线，且不随时间平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。而变化。电感元件电感元件即：
13、即：const )()( Ltit2.4 2.4 电感电感( (inductance):):L 单位：单位：亨利亨利（H）W, ,A毫亨毫亨( (mH) )，微亨，微亨( )( )H( )( ) tLi t 或：或：电感的电感的VCRVCR uiLABtuddtiLdd关联参考方向：关联参考方向：电压的参考方向与磁电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，电链的参考方向符合右手螺旋定则，电流的参考方向与磁链的参考方向符合流的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则。右手螺旋定则。结论：结论：某一时刻，电感的电压取决于该时刻电感电某一时刻，电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率。流的变化率
14、。非关联参考方向：非关联参考方向：tiLudd电感的动态特性电感的动态特性tiudd |0 0dduti| dduti| | dduti电感在直流电路中电感在直流电路中相当于相当于短路短路d)(1d)(1 00tttuLuL d)(1)(tuLti任选初始时刻任选初始时刻t0 0后后d)(1)( 00ttuLti0 tt 结论：结论：某一时刻某一时刻t 的电感电流值取决于其初始值的电感电流值取决于其初始值i(t0)以及在区间以及在区间t0, t的所有电压值。的所有电压值。电感的动态特性电感的动态特性1 1、在电感电压为有限值的情况下，电感电流不、在电感电压为有限值的情况下，电感电流不能跃变，将
15、此性质称为能跃变，将此性质称为电感电流的连续性电感电流的连续性。电容、电感的对偶性电容、电感的对偶性2 2、在某一时刻电感的储能为、在某一时刻电感的储能为 。21( )( )2LLw tL i t假设假设 时电感无储能。时电感无储能。t 3 3、在某一时间段、在某一时间段 电感储存或释放的能量电感储存或释放的能量为：为： , abt t221( , ) ( )( )( )( )2LabLbLaLbLaw t tL i ti tw tw t 电感的串联电感的串联（设电感初始电流为（设电感初始电流为0） 根据根据KVL：电感的串、并联电感的串、并联u+ +-+-i1L2LnL1u2unuu+ +-
16、isL 等效电路等效电路 nuuuu21tiLtiLtiLndddddd21tiLLLndd)(21tiLsddnsLLLL21其中：其中：为等效电感，是各串联电感的总和。为等效电感，是各串联电感的总和。电感的并联电感的并联根据根据KCL：niiii21t022d1)0(uLit011d1)0(uLit0d1)0(uLinnt0d1)0(uLip电感的串、并联电感的串、并联npLLLL111121其中：其中：)0()0()0()0(21niiii为等效电路电感的初始电流，是各并联电感为等效电路电感的初始电流，是各并联电感初始电流的代数和。初始电流的代数和。Lp 为等效电路的等效电感，其倒数为各
17、并联为等效电路的等效电感，其倒数为各并联电感倒数的总和。电感倒数的总和。电感的串、并联电感的串、并联试求如图所示电路端口试求如图所示电路端口ab的等效电感。的等效电感。 例题例题1H1H2H2H1Hcdab解解 cd2 (1 1)1H2 1 1L ab2 (1 1)1H2 1 1L 将如图（将如图（a a）所示电路化为最简形式。）所示电路化为最简形式。 例题例题ab0.8H2H3H6uF3uF1uFab2H3uF（a a） （b b） 解解 等效电容为：等效电容为： eq6 313F63C 等效电感为：等效电感为： eq2 30.82H23L等效电路如图（等效电路如图（b b）所示。）所示。退
18、出开始5-3 忆阻元件忆阻元件至此，我们已经介绍了三种无源元件至此，我们已经介绍了三种无源元件电阻电阻R、电、电容容C和电感和电感L，这些元件把电路的基本变量联系了起来，这些元件把电路的基本变量联系了起来如图：如图：ddutiuqRCLddqit?电路基本变量之间关系结构图电路基本变量之间关系结构图 和和q之间还没有一个元件能将其联系起来之间还没有一个元件能将其联系起来 只有只有元件对偶元件对偶和和q之间存在类似之间存在类似R、L、C的第四类基本电路元件，的第四类基本电路元件，并将其称为忆阻器，定义如下：并将其称为忆阻器，定义如下： ddM q 将将M 称为忆阻，称为忆阻，M是是q的函数。并推
19、出如下关系：的函数。并推出如下关系： dd( )d( ) dd( )( )( )dddddqqqqquiM q ittqtt忆阻元件的符号下图所示。忆阻元件的符号下图所示。M忆阻元件忆阻元件 加州大学伯克利分校的华裔科学家蔡少棠加州大学伯克利分校的华裔科学家蔡少棠 提出在提出在 忆阻元件忆阻元件忆阻器的某些基本特性为：是耗能元件；具有记忆性；忆阻器的某些基本特性为：是耗能元件；具有记忆性；只有非线性忆阻器才有实际意义；只在交变状态才只有非线性忆阻器才有实际意义；只在交变状态才能正常工作能正常工作 直到直到2008年年5月月1日，来自惠普实验室的四位科学家在日，来自惠普实验室的四位科学家在 Na
20、ture杂志上发表了题为杂志上发表了题为“The missing memristor found”的文章，宣布研制出了纳米尺度的忆阻元件。惠普实的文章，宣布研制出了纳米尺度的忆阻元件。惠普实验室发现的忆阻器可以在纳米尺度上实现开关，这将验室发现的忆阻器可以在纳米尺度上实现开关，这将极大地缩小存储器的体积，因此，对数字计算机的发极大地缩小存储器的体积，因此，对数字计算机的发展可能具有深远意义。展可能具有深远意义。 忆阻元件忆阻元件退出开始5-4 换路定则及初始值的确定换路定则及初始值的确定电路通常都工作在一种稳定的工作状态，如果由于电路通常都工作在一种稳定的工作状态，如果由于某种原因，例如电源或
21、某部分电路的接通或断开、某种原因，例如电源或某部分电路的接通或断开、电路元件参数的改变等使电路的工作状态发生变化，电路元件参数的改变等使电路的工作状态发生变化，使其由一种工作状态变化到另外一种工作状态，将使其由一种工作状态变化到另外一种工作状态，将这种工作状态的改变称为这种工作状态的改变称为换路换路 。在换路过程中，电路中的电量随时间而变化，所以在换路过程中，电路中的电量随时间而变化，所以我们把这个变化的过程称为过渡过程或瞬态。把对我们把这个变化的过程称为过渡过程或瞬态。把对电路过渡过程的分析称为电路的瞬态分析。电路过渡过程的分析称为电路的瞬态分析。 换路换路在电容电流和电感电压为有界值的情况
22、下，在电容电流和电感电压为有界值的情况下，电容电压电容电压不能跃变，电感电流不能跃变不能跃变，电感电流不能跃变，我们将这一性质称为，我们将这一性质称为换路定则。用公式表示如下：换路定则。用公式表示如下：(0 )(0 )(0 )(0 )CCLLuuii0(0 )Cu)0(Li在直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路，在直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路，由此可以得到由此可以得到时刻的等效电路，并据此计算初始时刻的等效电路，并据此计算初始状态状态和和。换路定则换路定则 时刻的等效电路是在时刻的等效电路是在 时刻将电路中的电容用电压时刻将电路中的电容用电压值等于值等于 的电压源代替，电感
23、用电流值等于的电压源代替，电感用电流值等于 的电流源代替，独立源则取其在的电流源代替，独立源则取其在 时的值得到的电路。时的值得到的电路。 00(0 )Cu(0 )Li0例题例题1 如图（如图（a a）所示电路，开关）所示电路，开关S S在在 0t时刻打开，时刻打开，S打开打开前电路已处于稳态，求开关打开后电路中各元件的前电路已处于稳态，求开关打开后电路中各元件的电压值。电压值。C200+-Cu200S(0)t 5V+-+1u2u100+3u- （a） 解解 开关打开前电容开路，所以开关打开前电容开路，所以 10005V=1V200200 100()Cu例题例题10开关打开后的开关打开后的等效
24、电路如图（等效电路如图（b）所示。此时）所示。此时(0 )(0 )1VCCuu12(0 )(0 )0Vuu3(0 )1Vu； ； 200+-200S5V+-+1(0 )u2(0 )u1V100+-3(0 )u （b） 例题例题2求如图（求如图（a）所示电路中的）所示电路中的 1(0 )u(0 )Lu)0(1id (0 )dLit、和和0.1H4+-LuS(0)t 10V+-+1u1Li1i4+-(0 )LuS10V+-+1(0 )u1(0 )Li1(0 )i（a） （b） 解解 t = 0时，开关闭合。时，开关闭合。0t10(0 )2A1 4Li时，开关未闭合，电感短路，时，开关未闭合，电感短
25、路， 0t(0 )(0 )2ALLii0等效电路如等效电路如图图时：时：，所示。所示。（b）例题例题21(0 )10Vu(0 )4 28VLu 110(0 )10A1i，因为因为 d ( )dLLi tuLt d (0 )(0 )8d0.180V / H=80A /sLLiutL 所以所以 d (0 )dLit的单位换算说明如下：的单位换算说明如下： VVV AAWbV ss4+-(0 )LuS10V+-+1(0 )u1(0 )Li1(0 )i法拉第电磁定律：导体回路中感应电动势大小与穿过导体回路磁通量的变化率成正比dEdt 通过对前面例题的求解，可以总结出求初始值的通过对前面例题的求解，可以
26、总结出求初始值的计算步骤如下：计算步骤如下：1）由）由 0t(0 )Cu(0 )Li(0 )(0 )CCuu)0()0(LLii；0(0 )Cu(0 )Li等效电路计算等效电路计算和和3）画出）画出2）根据换路定则，）根据换路定则，；等效电路，其中，电容用电压值为等效电路，其中，电容用电压值为的电压源代替，电感用电流值为的电压源代替，电感用电流值为的电流源的电流源代替；代替；4）用分析直流电路的方法计算待求量。）用分析直流电路的方法计算待求量。计算步骤计算步骤退出开始5-5 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应内容提要内容提要RC电路的零输入响应电路的零输入响应RL电路的零输入响应电路的零
27、输入响应小结小结几个定义几个定义 如果电路中除了电阻元件外，还含有电容、电感如果电路中除了电阻元件外，还含有电容、电感这些动态元件，则由于动态元件电压电流之间的这些动态元件，则由于动态元件电压电流之间的微积分关系，此时就需要用微分方程进行描述。微积分关系，此时就需要用微分方程进行描述。我们将至少含有一个动态元件的电路称为我们将至少含有一个动态元件的电路称为动态电动态电路路。通常含有一个动态元件的电路用一阶微分方。通常含有一个动态元件的电路用一阶微分方程描述，称其为程描述，称其为一阶动态电路一阶动态电路。1.几个定义几个定义1.几个定义几个定义t t0时的时的RC串联电路串联电路 说明：说明：u
28、s在 t = t0时可能不时可能不连续，但电容电压却是连连续，但电容电压却是连续的，续的，)(00tutuCC）（即+ +C- -)(0tuC- - -+ + +Ra ab b)(ti)(tuC)(1tu+ +C+ +- - - -+ +R)(stu0tt a ab b)( ti)( tuC)( 1tu零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 +C+-)(ti-)(0tuC)(tuC-+R)(stu0tt ab)(1tu(0)S t 1.几个定义几个定义零状态响应零状态响应 (zero state response-z.s.r) ：在零初始在零初始状态下，仅由外加激励引起的响应。状态下，仅由
29、外加激励引起的响应。零输入响应零输入响应(zero input response-z.i.r)：在没有外加在没有外加激励情况下，仅由非零初始状态引起的响应。激励情况下，仅由非零初始状态引起的响应。全响应全响应 (complete response-c.r) ：零输入响应与零零输入响应与零状态响应之和。状态响应之和。因为零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的，因为零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的，所以，当电路中存在耗能元件时，有限的储能终将被所以，当电路中存在耗能元件时，有限的储能终将被消耗殆尽，零输入响应最终为零。所以，零输入响应消耗殆尽，零输入响应最终为零。所以，零输入响应是一个放
30、电过程。是一个放电过程。返回返回状态变量状态变量(state variable) 电容、电感都属于电容、电感都属于动态元件动态元件元件的元件的 VCR涉及对电压、电流的微分或积分。涉及对电压、电流的微分或积分。 至少含有一个动态元件的电路称为至少含有一个动态元件的电路称为动态电路动态电路。 在动态电路中，电容电压和电感电流是电在动态电路中，电容电压和电感电流是电 路的路的状态变量状态变量。 在电路及系统理论中，在电路及系统理论中，状态变量状态变量是指一组最是指一组最 少的变量，若已知它们在少的变量，若已知它们在t0时刻的数值（初时刻的数值（初 始状态），则根据所有在始状态），则根据所有在t t
31、0时的输入就能时的输入就能 确定在确定在t t0时电路中的任何电路变量。时电路中的任何电路变量。2.RC电路的零输入响应电路的零输入响应电路稳态 0t210倒向由即开关时发生换路，Kt 0000UuuuCCC+C-+R0U)(1tu)(ti) (tuCKVL方程方程: 0CRiutuCidd10ddCCuUttuCCdd00ddtutuRCCC0ee)(1010tUUtuttRCC解得解得: 其中其中: 的特征根为特征方程 01s 1RCRC电路中的电流电路中的电流: )(tuC)0(Cu0t放电电压、电流曲线放电电压、电流曲线: 2.RC电路的零输入响应电路的零输入响应10d( )e0dtC
32、RCuUi tCttR 2.RC电路的零输入响应电路的零输入响应RC 伏库安伏11RCs时间常数：时间常数：时间常数的单位：时间常数的单位：称为电路的称为电路的固有频率固有频率(natural frequency)电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小，电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小， 越大，衰减越慢，反之则越快。越大，衰减越慢，反之则越快。 t = 时，电压下降为初始值的时，电压下降为初始值的36.8%。工程上常取工程上常取t = (4 5 ) 作为放电完毕所需时间。作为放电完毕所需时间。秒秒库库返回返回不同时间常数时的放电曲线不同时间常数时的放电曲线3.RL电路的零输入响应电路
33、的零输入响应 tiL 0R 0U RL) 0( tK00)0()0()0(IRUiiiLLL R tuLL tiL tuR )()()(tRitutuLRLtiLtuLLdd)(00ddtitiRLLL电路稳态 0t210倒向由即开关时发生换路，Kt KVL方程方程: 3.RL电路的零输入响应电路的零输入响应 )(tiL0I0t放电曲线放电曲线0ee)(100tIItittLRL解得解得: 其中其中: RL电感电压（非关联参考方向）电感电压（非关联参考方向）: 10d( )e0dtLLiutLI Rtt 1LRs电路的电路的固有频率：固有频率：。，。求打开开关时时电路处于稳态0)(0 , 0t
34、tiKttV100)(ti)(tuC F21 1 3 2)0( tKV60100323)0(Cu:0t:0t)(ti)(tuC F21 1 3 ttCCeeutu60)0(sRC221310 (V) e60)(2ttutC22d11( )60e15e(A) 0d22ttCui tCtt 解解：根据换路定则：V60)0()0()0(CCCuuu返回返回例题例题例题例题s( )140V, 0u tts( )0,0u tt0t ( )Cit( )u t 如图所示电路中，已知如图所示电路中，已知；求求时的时的和和。su+42070208060- -( )u t( )i t0.02FC( )it（a）
35、0t解解时，电容开路时，电容开路s( )140 420(0 )420120V(0 )70420490CCu tuu例题例题0t 时，与电容连接的时，与电容连接的等效电阻为：等效电阻为： eq70 42070/420(2060)/80406040100490R所以，所以， 66eq100 0.02 102 10 sR C 55 10( )(0 )e120eV ttCCutu5655 10d( )( )0.2 10120( 5 10 )1.2eAdtCCutitCt 55 101( )( )0.6eA2 tCi tit55 10( )( ) 6036eV tu ti tsu+42070208060
36、- -( )u t( )i t0.02FC( )it 例题例题或根据或根据 0时的等效电路求时的等效电路求 (0 )u，如图（，如图（b b）所示）所示 60(2060)/8032(0 )12012036V206070/420(2060)/8045 u55 10( )(0 )e36eV ttu tu+42070208060- -(0 )u120V（b） 例题例题 如图所示电路中，电感元件已有初始储能，如图所示电路中，电感元件已有初始储能， (0 )1.2ALi 0tAB( )?ut求求时的时的15i2ABu5HAB+- -1iLi15i2ABuAB+- -iABi（a） （b） 解解 先求先求
37、ABAB左端网络的等效电阻，如图（左端网络的等效电阻，如图（b b）所示。）所示。ABABAB1 (5)6 uiiiii例题例题AB2 ui 由以上二式可得由以上二式可得 ABAB4ui，所以，所以 ABABAB14uRi与电感连接的等效电阻为：与电感连接的等效电阻为： eqAB514 RReq454s5 LR，(0 )(0 )1.2ALLii0.25( )(0 )e1.2eAttLLi ti0.250.250.25ABd ( )1( )1.2e5 1.2 ( 0.25)e0.3eVd tttLLi tui tLtABABAB1 (5)6 uiiiii4.小结小结 01ddtytyt) ( 1
38、固有频率s，RLRCor (2) RC电路和电路和RL电路的零输入微分方程具有相同的电路的零输入微分方程具有相同的形式，可表示为如下一般形式：形式，可表示为如下一般形式： (1) 零输入响应是在输入为零时由非零初始状态产生零输入响应是在输入为零时由非零初始状态产生的响应，它取决于电路的初始状态和电路特性，因的响应，它取决于电路的初始状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电感电流的初始值和电路此，只要知道电容电压或电感电流的初始值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的的时间常数，就能求得一阶电路的z.i.r。 0 )0(teytytz.i.r：（指数衰减）（指数衰减）0)(y ty)0(y)0(
39、%8 .36yt0 3 2 %8 .36)0()0(1yeyy衰减愈快衰减愈快愈小愈小时间常数时间常数 , (3) 零输入响应线性：零输入响应线性：初始值增加初始值增加k倍，零输入响应倍，零输入响应也增加也增加k倍。倍。 (4) 反映一阶电路特性的时间常数是特征根（固有频率）反映一阶电路特性的时间常数是特征根（固有频率）倒数的相反数。在电路理论中，固有频率用来表征电倒数的相反数。在电路理论中，固有频率用来表征电路的固有性质。固有频率是负实数表明响应总是按指路的固有性质。固有频率是负实数表明响应总是按指数规律衰减的。数规律衰减的。 0 )0(teytyt 的零输入的零输入响应形式不仅适用于状态变
40、量，也适用于非状态变量。响应形式不仅适用于状态变量，也适用于非状态变量。 返回返回4.小结小结退出开始5-6 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 内容提要内容提要RL电路的零状态响应电路的零状态响应小结小结RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励是在零初始状态下，仅由外加激励源产生的响应。源产生的响应。零状态响应是储能从无到有的建立零状态响应是储能从无到有的建立过程过程充电过程。充电过程。 0)0()0(0)( CCCuuusCUuRi0 tKVL方程：方程：0ddtUutuRCsCC（一阶线性常系数非齐次微分方程）（一阶线性常
41、系数非齐次微分方程）0)0(CusU R CuC)0( tKsU R CuCi 0Kt合上开关1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应齐次方程的通解ChutRCChAu1e非齐次方程的特解CpuCpChCuuu解的形式为：解的形式为：)( 与激励同形式BuCp0e)(1tUAtustRCC由初始值求得：由初始值求得：sUAstRCsCUUtu1e)(0 eedd)(11tRURUtuCtitstRCsC0e11tUtRCs0 e)(1tRUtits)(tuCsU0t充电曲线充电曲线)(ti)0( i0tRC时间常数：时间常数：RCs1固有频率：固有频率：
42、)(CsuU终值（稳态值）终值（稳态值）0e1)(1tUtutRCsC1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应不同时间常数时的充电曲线不同时间常数时的充电曲线充电过程中的能量充电过程中的能量电阻消耗的能量：电阻消耗的能量：02d)(tRtiwR022detRUtRCs221sCU（与（与R的大小无关）的大小无关）电容的最终储能：电容的最终储能：221sCCUw （与（与R消耗的能量相等）消耗的能量相等）电源提供的总能量：电源提供的总能量：2sCRsCUwww充电效率为充电效率为50%。1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应返回返回2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应 R sUL )(tu
43、L)(tiL) 0( tK 0)0( 0Lit时无原始储能， 0 合合上上开开关关 t R sUL )(tuL)(tiLsLLUuRi0 tKVL方程：方程：0ddtRUitiRLsLL 0 e1e1tRURUtitstLRsL解得：解得： ( )( )e 0tLLsdi tutLUtdt2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应0 e)(tUtutsL )(tuLsU0t)(tiLRUs0t充电曲线充电曲线LRsRL时间常数：时间常数：固有频率：固有频率：)(LsiRU终值（稳态值）终值（稳态值） 0 e1tRUtitsL 3k V9 Cu6kCiiF50 )0( tK t 3k V9 )(C
44、u6k , 00 Cu已知。和试求0 t),( )( tituC解：解：tCCutue1)()( RCV6)(Cu3/62kR 0t 0.1s1050102630 V e1610tt例题例题 mAe216dd)(10tCCutuCti/V)(tuC0st/6mA / )(ti0st /13返回返回解（续）解（续）例题例题0t如图所示电路在如图所示电路在时处于稳态，时处于稳态， (0 )0Li(0 )0Cu，求开关求开关S闭合后的闭合后的 ( )Li t和和 ( )Cut 。+- -S(t = 0)( )Li t( )CutCL1R2R3R4RsU解解: 开关闭合后，因为左右两条支路的端电压相等
45、，所以开关闭合后，因为左右两条支路的端电压相等，所以左右两部分电路是两个独立的部分，可以分别考虑。左右两部分电路是两个独立的部分，可以分别考虑。例题例题s3( )LUiR 1s12( )CRuURR 与电感连接的等效电阻为：与电感连接的等效电阻为：34eq343434/R RRRRRR右边电路的时间常数为：右边电路的时间常数为：34eq3434()LL RRLRR R与电容连接的等效电阻为：与电容连接的等效电阻为：12eq121212/R RRRRRR当电路在达到稳态时，电感短路，当电路在达到稳态时，电感短路，电容开路，所以有：电容开路，所以有：+- -S(t = 0)( )Li t( )Cu
46、tCL1R2R3R4RsU例题例题左边电路的时间常数为：左边电路的时间常数为：12eq1212CR R CRCRR电感电流为：电感电流为： 3434()s3( )( )(1 e)(1 e)LR RttL RRLLUi tiR12121s12( )( )(1 e)(1 e)CRRttR R CCCRUutuRR 0t 0t+- -S(t = 0)( )Li t( )CutCL1R2R3R4RsU(1) 零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此，响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电
47、感电流的稳态值和电路的时间只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的常数，就能求得一阶电路的z.s.r。3.小结小结 0e1)(tytytz.s.r：，RLRCor ) ( 1固有频率s Etytyt1dd为为与与激激励励有有关关的的函函数数E (2) 一阶电路零状态微分方程的一般形式为一阶电路零状态微分方程的一般形式为: %2 .63)()e1)(1yyy增长愈快愈小时间常数 , )(tuCsU0t)(63. 0y(3) 零状态响应线性：零状态响应线性：激励增长激励增长k倍，响应也增长倍，响应也增长k倍。倍。如果有多个激励，则零状态响应是每个激励单独如果有多个激励
48、，则零状态响应是每个激励单独作用产生的零状态响应的叠加。作用产生的零状态响应的叠加。 0e1)(tytyt零状态响应形式只适用于状态变量。零状态响应形式只适用于状态变量。返回返回3.小结小结退出开始5-7 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应由非零初始状态和外加激励共同作用产由非零初始状态和外加激励共同作用产生的响应。生的响应。微分方程的一般形式：微分方程的一般形式： 0)0( , 1ddyEtytyt全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应0)()()( ttytyty0e )0()(tytyt0e1)()( tytyt全响应因为因为t 0时零输入响应取决于时零输入响应取
49、决于t = 0时的初始状态，而时的初始状态，而初始状态又取决于初始状态又取决于t 0时的输入，所以，时的输入，所以， t 0时的全时的全响应可理解为响应可理解为t 0时输入和时输入和t 0时输入产生的响应的时输入产生的响应的叠加。叠加。0e1)(tyttytye )0()(tyytye)()0()(0)(ty自由分量自由分量 暂态响应暂态响应强制分量强制分量 稳态响应稳态响应全响应如图所示电路，开关如图所示电路，开关K闭合前电路已处于稳闭合前电路已处于稳 态，态，t = 0时时K闭合。试求闭合。试求uC(t)，t 0。2462123636)0(Cu电路处于稳态电路处于稳态(图图 a)解解:36
50、V12V+-K(t =0)F100k2k6k4)(tuC+-时：0tV32)0()0(CCuuV32)0(Cu时：0t(图图 b)36V12V+-k2k6k4+-CuK(a)36V12V+-F100k2k6k4) (tuC+-(b)RCCkk)6/2(s15. 0例题例题tCCutue )0()(V2736626)(Cu(1) 零输入响应零输入响应0(V)e 32320tt(图图 c)F100k2k6+-)(tuC(c)(2) 零状态响应零状态响应tCCutue1 )()( 0(V)e1 27320tt+-F100+-)( tuC0ROCu(图图 d)36V+-F100k2k6+-)( tuC