《机器人动力学》PPT课件.ppt

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1、1牛顿牛顿欧拉运动方程欧拉运动方程拉格朗日动力学拉格朗日动力学关节空间与操作空间动力学关节空间与操作空间动力学 前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是考虑上述因素，研

2、究机器人运动与关节力考虑上述因素，研究机器人运动与关节力( (力矩力矩) )间的动间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力学方程。机器人动力学要解决两类问题：学方程。机器人动力学要解决两类问题： 动力学动力学正问题正问题和和逆问题逆问题。 动力学正问题动力学正问题是是根据关节驱动力矩或力，计算机器人根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动的运动(关节位移、速度和加速度关节位移、速度和加速度)； 动力学逆问题动力学逆问题是是已知轨迹对应的关节位移、速度和加已知轨迹对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。速度，求出所需要的

3、关节力矩或力。 不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，n n 自由度机器人动力方程为自由度机器人动力方程为n n个二阶耦合非线性微分方程。个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力方程中包括惯性力/ /力矩、哥氏力力矩、哥氏力/ /力矩、离心力力矩、离心力/ /力矩及重力力矩及重力/ /力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)方法、方法、牛顿一欧拉牛

4、顿一欧拉(Newton(NewtonEuler)Euler)、高斯、高斯(Gauss)(Gauss)、凯恩、凯恩(Kane)(Kane)、旋、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡量对偶数、罗伯逊一魏登堡(Roberson(RobersonWittenburgWittenburg) )等方法。等方法。 研究机器人动力学的目的是多方面的研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关；动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优最优控制，以期达到良好的动态性能和控制，以期达到良好的动态性能和最优最优指

5、标指标。在设计中在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学需根据连杆质量、运动学和动力学参数参数、传动机构特征和负、传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都这些都需要以机器人动力学模型为基础需要以机器人动力学模型为基础。研究机器

6、人动力学的目的研究机器人动力学的目的5.1 5.1 机器人静力学机器人静力学 机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件下图表示作用在机器人手臂杆件i i上的力和力矩。其上的力和力矩。其i-1fii-1fi为杆件为杆件i-1i-1对杆对杆i i的作用力，的作用力，-ifi+1-ifi+1为杆为杆i+1i+1对杆对杆i i的作用力，的作用力，i-i-1Ni

7、1Ni为杆件为杆件i-1i-1对杆对杆i i的作用力矩，的作用力矩，-iNi+1-iNi+1为杆为杆i+1i+1对杆对杆i i的作用力的作用力矩，矩，cici为杆为杆i i质心。质心。作用在杆作用在杆i i的的力和力矩力和力矩根据力、力矩平衡原理有根据力、力矩平衡原理有5.2 5.2 机器人动力学正问题机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器矩作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方人手臂的动力学方程。建立机器人动力学方程的方法有牛顿法有牛顿欧拉

8、法和拉格朗日法等。欧拉法和拉格朗日法等。1、牛顿、牛顿欧拉法方程欧拉法方程 在考虑速度与加速度在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在机影响的情况下，作用在机器人手臂杆器人手臂杆i i上的力和力上的力和力矩如右图所示。其中矩如右图所示。其中vcivci和和i i分别为杆分别为杆i i质心的平质心的平移速度向量和此杆的角速移速度向量和此杆的角速度向量。度向量。 根据力、力矩平衡原根据力、力矩平衡原理有理有: :5-15-2称称5-1为牛顿方程，为牛顿方程，5-2为欧拉方程。为欧拉方程。其中其中I Ii i为杆为杆i i绕其质心的惯性张量绕其质心的惯性张量2 2、 拉格朗日方程拉格朗日方程 牛顿一欧

9、拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统能量的概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并概念，以简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，并具有显式结构，物理意义比较明确。具有显式结构，物理意义比较明确。 (1) (1) 拉格朗日函数拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L L定义为系统总的定义为系统总的动能动能E Ek

10、k与总的势能与总的势能E Ep p之差，即之差，即: :( , )( , )( )kpL q qEq qEq12nqqqq12nqqqq表示动能与势能的广义坐标表示动能与势能的广义坐标相应的广义速度相应的广义速度 (2) (2) 机器人系统动能机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆在机器人中，连杆是运动部件，连杆i i的动能的动能E Ekiki为为连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能连杆质心线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能之和，即之和，即: :1122TiTiikiiciciiiiEmI 1nkkiiEE1( , )( )2TkE q qq D q q系统的动能为系统

11、的动能为n n个连杆的动能之和，即：个连杆的动能之和，即： 由于由于 和和 是关节变量是关节变量 和关节速和关节速度度 的函数，因此，从上式可知，机器人的函数，因此，从上式可知，机器人的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记为为 ，可表示成：，可表示成：1( , )( )2TkE q qq D q qciiiqq ( , )kE q q 式中，式中， 是是nxnnxn阶的机器人惯性矩阵阶的机器人惯性矩阵( )D q 3 3机器人系统势能机器人系统势能 设连杆设连杆i i的势能为的势能为 ，连杆，连杆i i的质心在的质心在O O坐标系中的位坐标系中的位置矢

12、量为置矢量为 ，重力加速度矢量在坐标系中为，重力加速度矢量在坐标系中为g g，则：，则： 机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即： 它是它是q q的标量函数。的标量函数。TpiiciEm g p 1npipiiEEpiEcip 4 4拉格拉格朗朗日方程日方程 系统的拉格朗日方程为：系统的拉格朗日方程为： 上式又称为拉格朗日上式又称为拉格朗日欧拉方程，简称欧拉方程，简称L LE E方程。式方程。式中，中， 是是n n个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成：个关节的驱动力或力矩矢量，上式可写成：pkkEEEddtqqqdLLdtqq 例例 平面平面RPRP机器

13、人如图所示，连杆机器人如图所示，连杆l l和连杆和连杆2 2的质量的质量分别为分别为m m1 1和和m m2 2，质心的位置由，质心的位置由l l1 1和和d d2 2所规定，惯量所规定，惯量矩阵为：矩阵为：1111100000 xxyyzzIIIiI2222200000 xxyyzzIIIiI (1) (1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆建立连杆D-HD-H坐标系如上图所示，关节变量为坐标系如上图所示，关节变量为1 1+/2/2为求解方便，此处取关节变量为为求解方便，此处取关节变量为1和和d2d2，关节驱动力矩，关节驱动力矩l l和力和力f

14、f2 2。(2)(2)系统动能系统动能 由式由式(1)(1)，分别得，分别得22211 111 11122kyyEmlI2222222122111()22kyyEm ddI22221 1122212211()22kyyyyEmlIIm dm d1122TiTiikiiciciiiiEmI 1总动能为：总动能为：(3)(3)系统势能系统势能 因为：因为：00Tgg11 11 10Tcpl cl s11111 1TpcEm g pm gl s 22222 1TpcEm g pm gd s 1 1221()pEg mlm ds则：则：总势能为：总势能为：221 11222122()yyyykmlII

15、m dEqm d222 10kEm dq1 12212 1()pEg mlm d cgm sq(4)(4)偏导数偏导数2211 11222122121 1221222222121()2()yyyymlIIm dm ddg mlm dcm dm dm gs(5)(5)拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日将偏导数代入拉格朗日方程，得到平面方程，得到平面RPRP机器人的机器人的动力学方程的封闭形式：动力学方程的封闭形式：pkkEEEddtqqq拉格朗日方程拉格朗日方程2( )( , )( )D q qH q qG q221 1122220( )0yyyymlIIm dD qm2

16、2 12222 12( , )m ddH q qm d1 122121()( )mlm dgcG qm gs (1)(1)关节空间动力学方程关节空间动力学方程 将式将式2 2写成矩阵形式：写成矩阵形式：3、关节空间与操作空间动力学、关节空间与操作空间动力学式中式中3 式式(3)(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭为机器人在关节空间中的动力学方程封闭形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。对于量、速度和加速度之间的函数关系。对于n n个关节的个关节的机器人，机器人， 是是n nn n正定对称矩阵，是正定对称

17、矩阵，是q q的函数，称的函数，称为机器人惯性矩阵；为机器人惯性矩阵； 是是n n1 1的离心力和哥氏力的离心力和哥氏力向量；向量； 是是n n1 1重力矢量，与机器人的形位重力矢量，与机器人的形位q q有关。有关。( )D q( , )H q q ( )G q( )( , )( )xxxFMq xUq qG q 2 2操作空间动力学方程操作空间动力学方程 与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，操作力操作力F F与末端加速度与末端加速度 之间的关系可表示为：之间的关系可表示为：x ( )xMq( , )xUq q ( )xG q操作空间

18、中的惯性矩阵操作空间中的惯性矩阵离心力和哥氏力矢量离心力和哥氏力矢量重力矢量重力矢量xF广义操作力矢量广义操作力矢量机器人末机器人末端位姿向量端位姿向量( )TJq F( )xJ q q( )( )( )( , )rxJ q qJ q qJ q qa q q( )( )( ) ( )TxD qJq Mq J q( , )( )( , )( ) 9 )( , )TTxrH q qJq Uq qJqq a q q( )( )( )TxG qJq G q由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为：由上一章可知，广义操作力和关节力之间的关系为：操作空间与关节空间之间的速度与加速度的关系：操作空间与关

19、节空间之间的速度与加速度的关系：比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到：比较关节空间与操作空间动力学方程，可以得到：( )( )( , )( )TxxxJq Mq xUq qG q 3 3关节力矩关节力矩操作运动方程操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的操作运动之间的关系由式的操作运动之间的关系由式(4)(4)和和(5)(5)，得，得(6) ：( )( , )( )xxxFMq xUq qG q( )TJq F456式式(6)(6)反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。反映了输入关节力与机器人运动之间的关系。 思考题思考题1 1 什么是拉格朗日函数？什么是拉格朗日函数？简述用拉格朗日方法建立简述用拉格朗日方法建立机器人动力学方程的步骤机器人动力学方程的步骤。