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1、本章知识结本章知识结构图构图乘方乘方开方开方开平方开平方开立方开立方平方根平方根立方根立方根有理数有理数无理数无理数实数实数互为逆运算互为逆运算算术平方根算术平方根负的平方根负的平方根平方根、立方根平方根、立方根概念及性质概念及性质1.算术平方根的定义：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根算术平方根。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。x2特殊：0的算术平方根是0。00 记作：一般地，如果一个数的一般地，如果一个数的平方等于平方等于a a ，那，那么这个数就叫做么这个数就叫做a a 的平方根的平方根（或二次方（或二次
2、方根）根）这这就是说，如果就是说，如果x x 2 2 = = a a ，那么，那么 x x 就叫做就叫做 a a 的平方根的平方根a a的平方根记为的平方根记为 a2. 平方根的定义：平方根的定义：3.平方根的性质：平方根的性质：正数有正数有2个个平方根，它们平方根，它们互为相反数互为相反数；0的平方根是的平方根是0；负数负数没有平方根没有平方根。平方根、立方根平方根、立方根概念及性质概念及性质4.立方根的定义：立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于一般地，如果一个数的立方等于a a，那，那么这个数就叫做么这个数就叫做a a的的立方根立方根，也叫做，也叫做a a的的三次方根三次方根记作记
3、作 . .3a其中其中a是被开方数，是根指数，是被开方数，是根指数，符号符号“”读做读做“三次根号三次根号”35.立方根的性质：立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。零的立方根是零。平方根、立方根平方根、立方根概念及性质概念及性质你知道算术平方根、平方根、立方根联你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？系和区别吗？表示方法表示方法a的取值的取值性性质质a3aa0a是任何数开开方方a0a正数正数0负数负数正数（一个）正数（一个）0没有没有互为相反数（两个）互为相反数（两个）0没有没有正数（一个）
4、正数（一个）0负数（一个）负数（一个）求一个数的平方根求一个数的平方根的运算叫开平方的运算叫开平方求一个数的立方根求一个数的立方根的运算叫开立方的运算叫开立方是本身是本身0,100,1,-11.1.求下列各数的算术平方根求下列各数的算术平方根: :(1) 0.04; (2) 1; (3) (-3)2 ; (4) 494964643.3.求下列各数的立方求下列各数的立方根根: :(1) 121;(2) 16; (3) 0 ; (4) (-3)2 ; (5) 9 94 42.2.求下列各数的平方根求下列各数的平方根: :(1) -0.008;(2) 43; (3) -64; (4) (-3)3;
5、(5) 2 27 78 84.4.求下列各式的值求下列各式的值: :16. 0) 1 (31 (4)169)2(925) 3(327125)5(求根也好求根也好,求值也好求值也好,关键要弄清它是什么意关键要弄清它是什么意思思,然后可以选择定义和性质来求然后可以选择定义和性质来求.不要搞错了是8的平方根的平方根是64的值是64的平方根是9的立方根是6464883-4的所有整数为小于大于1117.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3一、平方根和立方根一、平方根和立方根1. 16的平方根是的平方根是_,符号表示为符号表示为_;16的算术平方根是的算术平方根是_,符号表示为符号表示为_.2. 27的
6、立方根是的立方根是_,符号表示为符号表示为_.3.下列数中的无理数是下列数中的无理数是_1， ，0.3， ， 0 ，0.101 001 000 1(相邻两个相邻两个1之间之间0的个数逐次的个数逐次加加1).416 3 16 4 327311349 ,8 ,311, 0.101 001 000 1 22_222_22_222333（3）3222（ ）= 2332（） =2利用定义利用定义无理数也有乘除运算，在后面的章节里将会学无理数也有乘除运算，在后面的章节里将会学习，也满足先定符号，再计算习，也满足先定符号，再计算.三、实数的运算三、实数的运算不要遗漏哦！解下列方程：解下列方程：4)3(92
7、y323312yy或当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解0835273 ）（x1x当方程中出现立方时，一般都有一个解当方程中出现立方时，一般都有一个解1.解解:94)3(2 y2.解解:8)35(273x278)35(3x327835x3235x943 y323y掌握规律的平方根是那么已知0017201. 0,147. 4201.17,311. 17201. 104147. 0是则若已知xx,4858. 0,858. 46 .23,536. 136. 2236. 0的值是则已知3335250,744. 35 .52,738. 125. 538.17 注意平方根和立方根的移位法则注意平方根
8、和立方根的移位法则1、无限不循环的小数无限不循环的小数 叫做无理数叫做无理数.有理数和无理数统称实数有理数和无理数统称实数.5、在进行、在进行实数的有关实数的有关概念和性质概念和性质2、实数与数轴上的点是一一对应的、实数与数轴上的点是一一对应的.4、实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利用绝对值比、实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利用绝对值比较、求平方比较、求差比较、求商比较和计算近似值比较较、求平方比较、求差比较、求商比较和计算近似值比较等方法。等方法。实数实数有理数有理数无理数无理数分数分数整数整数正整数正整数 0负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数正无理数正无理数负无理数
9、负无理数无限不循环小数无限不循环小数有限小数及无限循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况一般有三种情况、) 1 ( 开不尽的数”“”“23，、00010100100010. 0) 3(类似于、1、判断下列说法是否正确：、判断下列说法是否正确：1.实数不是有理数就是无理数。实数不是有理数就是无理数。 （ ）2.无限小数都是无理数。无限小数都是无理数。 （ ）3.无理数都是无限小数。无理数都是无限小数。 （ ）4.带根号的数都是无理数。带根号的数都是无理数。 （ ） 5.两个无理数之积一定是无理数。（两个无理数之积一定是无理数。（ ）6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，所有的有理数都
10、可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（数轴上所有的点都表示有理数。（ ）有理数集合：有理数集合： ； 1、把下列各数填在相应的大括号内：、把下列各数填在相应的大括号内：, 1,75,14. 3, 0, 333 . 3, 3,643.1010010001. 2整数集合：整数集合： ； 奇数集合：奇数集合： ； 无理数集合：无理数集合： 。 -1，0， 364-1-1，3.14，0，3.33， 75364, 2.1010010001 ,41,23,7,25 ,23,5 ,83 ,94, 0 3737737773. 0,83 ,41,25 ,94, 0 ,23,7,2,3,5 37
11、37737773. 0 322314. 3是负数是负数等于它的相反数等于它的相反数14. 314. 3是正数是正数等于它本身等于它本身23 是负数是负数2332）（原式232314. 3232314. 3223314. 314. 3里面的数的符号里面的数的符号化简绝对值要看它化简绝对值要看它等于它的相反数等于它的相反数要学会计算哟！计算：计算：(1)343、（）(2)3(1 3 2)、2 2233(3)( 3)(2)42、(-2)3、已知已知cba、位置如图所示，位置如图所示，试化简试化简 22) 1 (cbacbaa22)2(abcbcba解：原式解：原式-a-(b-a)+(c-a)-(c-
12、b)=-a-b+a+c-a-c+b=-a解：原式解：原式-(a+b-c)+(-b+2c)+(b-a)=-a-b+c-b+2c+b-a=-2a-b+3c在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。全一样。（1）a是一个实数，它的相反数为是一个实数，它的相反数为 ， 绝对值为绝对值为 ；（2）如果）如果a 0，那么它的倒数为，那么它的倒数为 . aaa1 例题例题;求下列各数的相反数和绝对值求下列各数的相反数和绝对值解：336414. 3333 33 46434464314. 3)14. 3(14. 314. 33333 相反数 绝对值37 5它本身它本身0 0它的相反数它的相反数3572235、判断（1）带根号的数都是无理数。（2）无理数就是开方开不尽的数。（3）有限小数是有理数，无限小数是无理数。6、实数 在数轴上对应的点的位置关系如图所示，下列式子错误的是（ ）ba, baA.baB.baC.0.abDC0ab