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1、第五讲第五讲空间问题的基本理论空间问题的基本理论本讲将系统地介绍空间问题的基本理论基本方程本讲将系统地介绍空间问题的基本理论基本方程和边界条件，及空间轴对称问题的基本方程。要求掌握和边界条件，及空间轴对称问题的基本方程。要求掌握的内容如下：的内容如下：1 1、空间问题的基本未知函数；、空间问题的基本未知函数；2 2、一点应力状态的分析；、一点应力状态的分析； 3 3、空间问题的三套基本方程平衡微分方程、几、空间问题的三套基本方程平衡微分方程、几何方程与物理方程何方程与物理方程4 4、边界上边界条件的建立；、边界上边界条件的建立；5 5、空间轴对称问题的基本方程。、空间轴对称问题的基本方程。本讲
2、学习指南本讲学习指南为了理解空间问题的基本理论，可从以下几为了理解空间问题的基本理论，可从以下几个方面出发：个方面出发：1 1、清楚地了解推导空间问题的基本方程所、清楚地了解推导空间问题的基本方程所用的条件和方法；用的条件和方法；2 2、对照平面问题基本理论的相关知识进行、对照平面问题基本理论的相关知识进行学习，将空间问题的基本方程、边界条件看成是学习，将空间问题的基本方程、边界条件看成是平面问题的推广，以加深理解；平面问题的推广，以加深理解；3 3、柱坐标系中的空间轴对称问题可看成是、柱坐标系中的空间轴对称问题可看成是平面轴对称问题的推广；平面轴对称问题的推广；本讲学习指南本讲学习指南q 空
3、间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容5.1 空间问题的基本未知量与方程空间问题的基本未知量与方程 什么空间问题？什么空间问题？q 一维问题：一个基本坐一维问题：一个基本坐标变量，如杆件。是材料力标变量，如杆件。是材料力学的重点内容。学的重点内容。q 二维问题：二个基本坐二维问题：二个基本坐标变量，如平面问题。是本标变量，如平面问题。是本课程
4、的重点内容。课程的重点内容。q 三维问题：三个基本坐三维问题：三个基本坐标变量，即空间问题。是本标变量，即空间问题。是本课程需了解的内容。课程需了解的内容。空间问题的基本未知量与方程空间问题的基本未知量与方程 任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为x、y、z），外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间，外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题问题。 对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在边界上建立应力边界条件
5、或位移边界条件。程；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。 空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。q 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容5.2 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析1：求经过该点
6、任何斜面上的求经过该点任何斜面上的应力应力p？ 2：求经过该点的任何斜面上的求经过该点的任何斜面上的正应力正应力s sn和和切应力切应力t tn ？ 3：若经过该点的若经过该点的主应力主应力s s和和应力主方向应力主方向a a ？4：求经过该点的求经过该点的正应力正应力s sn和和切应力切应力t tn 的最大和最小值的最大和最小值？ 一点应力状态分析：已知任一点处坐标面上一点应力状态分析：已知任一点处坐标面上的的6 6个应力分量个应力分量，求解如下四个问题：求解如下四个问题：过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力问题问题1 1：已知任一点处坐标面上的：已知任一点处坐标面上的6 6个应力分
7、量个应力分量，求经过求经过该点的任何斜面上的应力该点的任何斜面上的应力p？取如图所示微分单元体取如图所示微分单元体PABC，当平面当平面ABC无限接近于无限接近于P点时，该点时，该平面上的应力即为所求平面上的应力即为所求应力应力p 。根据该微分单元的力系平衡条根据该微分单元的力系平衡条件，在件，在x、y和和z轴方向上合力为轴方向上合力为0，从而有：从而有：nmlpnmlpnmlpFFFzyzxzzzyyxyyzxyxxxzyxstttsttts000过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力特殊情况下，若平面特殊情况下，若平面ABC是弹是弹性体上受面力作用的边界面，则性体上受面力作用的边界面
8、，则应力应力p就成为面力，于是由就成为面力，于是由(72)式可得出式可得出 :上式就是上式就是空间问题的应力边界条件空间问题的应力边界条件，它表明应力分，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。量的边界值与面力分量之间的关系。)()()()()()(sfnmlsfnmlsfnmlzszyzxzyszyyxyxszxyxxstttsttts过一点任意斜面的正应力与切应力过一点任意斜面的正应力与切应力问题问题2 2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？平面平面ABC上的上的正应力正应力s sn即为即为上面所求的上面所求的全应力全应力p向法线方向向法
9、线方向n的投影：的投影：平面平面ABC上的上的切应力切应力t tn则由则由下式求得：下式求得：zyxnnpmplps22222nzyxnpppst过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向问题问题3 3：若经过该点的某一斜面上的切应力为：若经过该点的某一斜面上的切应力为0 0，求此斜，求此斜面上的主应力面上的主应力s s和应力主方向和应力主方向a a ？设如图所示的斜面上切应力设如图所示的斜面上切应力为为0 0，则，则该面上的全应力等于正该面上的全应力等于正应力，也等于主应力应力，也等于主应力，于是有，于是有npmplpzyxsss,又由于有又由于有nmlpnmlpnmlpz
10、yzxzzzyyxyyzxyxxxstttsttts过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向从而有关于方向余弦从而有关于方向余弦l, ,m, n的线性方程组：的线性方程组：其有非零解的充要条件为系数行列式等于其有非零解的充要条件为系数行列式等于0 0，即，即0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0sstttsstttsszzyzxyzyyxxzxyx过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向0sstttsstttsszzyzxyzyyxxzxyx032213IIIssszyxIsss1其中：其中： 222
11、2xzyzxyxzzyyxItttsssssszzyzxyzyyxxzxyxIstttsttts3主应力特征方程主应力特征方程展开，得：展开，得： q主应力特征方程主应力特征方程有三个实数根，有三个实数根，s s1 1，s s2 2，s s3 3分别表示这分别表示这三个根，代表某点三个主应力，从而三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任确定弹性体内部任意一点主应力意一点主应力。q主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。，与坐标轴的选取无关。qI1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变分别称为应力
12、张量的第一、第二和第三不变量。特征方程的根是确定的，即系数量。特征方程的根是确定的，即系数I1、I2、I3的值是不的值是不随坐标轴的改变而变化的。随坐标轴的改变而变化的。过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向032213IIIsss结合结合 l2+m2+n2=1则可求主应力方向。则可求主应力方向。0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss过一点任意斜面的主应力与方向过一点任意斜面的主应力与方向 对于对于主应力方向主应力方向，将，将s s1 1，s s2 2，s s3 3分别代入分别代入 可以证明：三个主可以证明：三个主应力方
13、向应力方向，是互相垂直的。，是互相垂直的。 弹性体内任意一点的最大正应力为弹性体内任意一点的最大正应力为s s1，最小正应力为最小正应力为s s 3 最大切应力可以通过主应力计算，等于最大切应力可以通过主应力计算，等于(s s 1- -s s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用平面通过用平面通过s s 2 应力主方向，并且平分应力主方向，并且平分s s 1和和s s 3应力主方向应力主方向的夹角（即的夹角（即4545角）。角）。过一点任意斜面的应力极值过一点任意斜面的应力极值2)()(31sst极值n问题问题4 4、已
14、知任一点处三个主应力（、已知任一点处三个主应力（ s s1 s s2 s s3 ），及其应），及其应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值例例1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有s sx= s s1 ， s sy= s s2 ， s sz= s s3 ， t txy= t tyz=t txz= 0 0设任意斜微分面的方向余弦为（设任意斜微分面的方向余弦为（ l, m , n )，其上的全应
15、其上的全应力为公式（力为公式（72），正应力为公式（），正应力为公式（73），代入有），代入有s sn= s s1 l2+s s2m2+ s s3n2 =s s1 (s s1- s s2)m2- (s s1- s s3)n2设三个主应力大小顺序为设三个主应力大小顺序为 s s1 s s2 s s3 ，则正应力取极则正应力取极大值条件：大值条件： m=n=0, | l | =1, , 即极大值为即极大值为s s1。同理极小值为同理极小值为s s3。例题例题例例1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有解：为
16、了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有s sx= s s1 ， s sy= s s2 ， s sz= s s3 ， t txy= t tyz=t txz= 0 0设任意斜微分面的方向余弦为（设任意斜微分面的方向余弦为（ l, m , n )，其正应力为其正应力为公式（公式（73），代入有），代入有s sn= s s1 l2+s s2m2+ s s3n2 =s s1 (s s1- s s2)m2- (s s1- s s3)n2设三个主应力大小顺序为设三个主应力大小顺序为 s s1 s s2 s s3 ，则正应力取极则正应力取极大值条件：大值条件： m=n=0, | l | =1, , 即极大值
17、为即极大值为s s1。同理极小值为同理极小值为s s3。例题例题q 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容5.3 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 空间问题的平衡微分方程是考虑空间问题的静力空间问题的平衡微分方程是考虑空间问题的静力学条件，根据弹性体内微分单元体的静力平衡条件来学条件，根据弹性体内微分单元体的静力平衡条件来推导出推
18、导出应力分量与体力分量之间的关系应力分量与体力分量之间的关系。 分析问题方法：分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件空间力系和力矩的平衡条件 分析手段：分析手段：微分单元体（微分）微分单元体（微分） 意义：意义：弹性体区域内任一点的微分体的静力平衡弹性体区域内任一点的微分体的静力平衡条件条件空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程由于六面体是微小的，各面上的应力可认为由于六面体是微小的，各面上的应力可认为是均匀分布，且作用于对应面的中心。是均匀分布，且作用于对应面的中心。同理，六面体所受的体力也可以认为是均匀同理，六面体所受的体力也可以认为是均匀分布，且作用于它的体积的中心。分布，且作用于
19、它的体积的中心。如图所示，考虑一个微小的如图所示，考虑一个微小的正平行六面体，其正平行六面体，其x、y、z方向方向的尺寸分别为的尺寸分别为dx、dy、dz。空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 考虑问题的基础知识：静力学知识考虑问题的基础知识：静力学知识 微分单元体：正平行六面体，每个边界面都是坐标平微分单元体：正平行六面体，每个边界面都是坐标平面，各坐标面上有三个应力分量。面，各坐标面上有三个应力分量。 应力符号约定应力符号约定（1 1）正坐标面：外法线方向沿正坐标面：外法线方向沿坐标轴正向的坐标面坐标轴正向的坐标面应力沿坐标轴正向时取正应力沿坐标轴正向时取正值，沿坐标轴负向时取负值
20、；值，沿坐标轴负向时取负值；反之亦然。反之亦然。（2 2）负坐标面：外法线方向沿负坐标面：外法线方向沿坐标轴负向的坐标面坐标轴负向的坐标面应力沿坐标轴正向时取负应力沿坐标轴正向时取负值，沿坐标轴负向时取正值；值，沿坐标轴负向时取正值；反之亦然。反之亦然。由泰勒级数展开，求各面应力由泰勒级数展开，求各面应力空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（6 6个）个） 意义：弹性体区域内任一点的微分体的平衡条件意义：弹性体区域内任一点的微分体的平衡条件0,0,00,0,0zyxzyxMMMFFF000zzyzxzyzy
21、yxyxzxyxxfzyxfzyxfzyxstttsttts平衡微分方程平衡微分方程yxxyzxxzzyyztttttt切应力互等定理切应力互等定理平衡微分方程：注意事项平衡微分方程：注意事项 列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；和体积，才能得到合力； 应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，也是其适用的条件。也是其适用的条件。 平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式的各项为的各项为x方向的量，第二项为方向的量，第二项为y方
22、向的量，第三项为方向的量，第三项为z方向的量；方向的量；平衡微分方程：注意事项平衡微分方程：注意事项 空间问题的平衡微分方程有空间问题的平衡微分方程有3 3个方程，但包含有个方程，但包含有6 6个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静定的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的定的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的条件。条件。 平衡微分方程表示了弹性体内任意点的微分单元平衡微分方程表示了弹性体内任意点的微分单元体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区域体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的，因而所考虑的静
23、力学条件是严格是满足平衡条件的，因而所考虑的静力学条件是严格和精确的；和精确的；q 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容5.4 空间问题的几何方程及物理方程空间问题的几何方程及物理方程几何方程：位移与应变的关系，分为线应变和切应变几何方程：位移与应变的关系，分为线应变和切应变xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx空间问题的位
24、移边界条件：在给定约束位移的边界面上，位移分空间问题的位移边界条件：在给定约束位移的边界面上，位移分量在边界面上的值与边界上的约束位移值相等。量在边界面上的值与边界上的约束位移值相等。wwvvuusss)(,)(,)(体应变：单位体积的体积改变体应变：单位体积的体积改变zwyvxuzyx空间问题的物理方程空间问题的物理方程物理方程：应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。物理方程：应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。E 为杨氏模量G 为剪切弹性模量m 为横向变形系数泊松比)1 (2mEGGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtttssmsssmsssms)
25、(1)(1)(1对于理想弹性体，按应力表示为对于理想弹性体，按应力表示为用于按应力求解的方法。用于按应力求解的方法。空间问题的物理方程空间问题的物理方程按应变表示的物理方程为按应变表示的物理方程为yzyzyzxzxzxzxyxyxyzzyyxxEGEGEGEEEmtmtmtmmmsmmmsmmms)1(2)1(2)1(2)21(1)21(1)21(1用于按位移求解的方法。用于按位移求解的方法。总结：基本未知量与方程总结：基本未知量与方程位移分量位移分量ux uy uz应变分量应变分量 x y z xy xz yz应力分量应力分量s sx s sy s sz t txy t txz t tyz体
26、力体力f几何方程几何方程物理方程物理方程平衡微分方程平衡微分方程已知位移已知位移已知面力已知面力变形协调方程变形协调方程位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件混合边界条件混合边界条件例题例题例题：例题：将立方体的橡皮放在一同样大小的刚性体铁盒容器将立方体的橡皮放在一同样大小的刚性体铁盒容器内，其上用铁盖封闭，铁盖上受均匀分布垂直压力内，其上用铁盖封闭，铁盖上受均匀分布垂直压力 q 作用作用，假设橡皮与容器间无摩擦力，试求橡皮中的应力分量与，假设橡皮与容器间无摩擦力，试求橡皮中的应力分量与应变分量。应变分量。例题例题1、建立求解的直角坐标系、建立求解的直角坐标系2、橡皮在力的作用下会发
27、生形变，但由于容器为刚性体，因、橡皮在力的作用下会发生形变，但由于容器为刚性体，因此其在此其在 x 和和 y 两个方向变形受到约束，位移两个方向变形受到约束，位移u=v= 0，相应的正，相应的正应变应变 x= y= 0。5、由于、由于橡皮与容器间无摩擦力橡皮与容器间无摩擦力，因此切应力均为，因此切应力均为 0 ，切应变，切应变也为也为0。4、将上述条件代入物理方程，可解得、将上述条件代入物理方程，可解得s sx和和 s sy，进而求进而求 z3、橡皮的上边界受均匀分布垂直压力橡皮的上边界受均匀分布垂直压力 q 作用，因此有作用，因此有 s sz= -q （见见8.28.2内容内容）)(11)(
28、1),(1yxzzyxxyyyxxEqqEqEssmsmmsssmssmsq 空间问题的基本未知量与基本方程空间问题的基本未知量与基本方程q 物体内任一点的应力状态分析物体内任一点的应力状态分析q 空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程q 空间问题的几何方程和物理方程空间问题的几何方程和物理方程q 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 主要内容主要内容5.5 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程空间轴对称：空间轴对称：弹性体的形状、约束和外力都是对称于某一轴，通弹性体的形状、约束和外力都是对称于某一轴，通过对称轴的任何平面均是对称面，则所有物理量（应力、应变和位过
29、对称轴的任何平面均是对称面，则所有物理量（应力、应变和位移）都对称于该轴。宜采用圆柱坐标系（移）都对称于该轴。宜采用圆柱坐标系（r, j, r, j, z）。）。由于对称，在对称面两边对应点的物理量满足如下两个条件由于对称，在对称面两边对应点的物理量满足如下两个条件（1 1）数值轴对称：）数值轴对称：所有物理量与环向坐标所有物理量与环向坐标 j j 无关，同一环向无关，同一环向线上的值相等，且只是径向坐标线上的值相等，且只是径向坐标 r r 和轴向坐标和轴向坐标 z 的函数。的函数。（2 2）方向轴对称）方向轴对称，即方向对称于，即方向对称于 z 轴，方向不对称于轴，方向不对称于 z 轴的轴的
30、物理量不能存在，从而有：物理量不能存在，从而有：000jjjjrrjttttuzz00zzjjjrrj轴对称问题的平衡微分方程轴对称问题的平衡微分方程由径向轴由径向轴 r r 和轴向和轴向 z 两个方向的空间力系的平衡条件，可推导两个方向的空间力系的平衡条件，可推导出出“平衡微分方程平衡微分方程”：0,0zFFr整理可得整理可得00zzzzzfzfzrtsrtrsstrsrrrjrrr（7-15）轴对称问题的几何方程轴对称问题的几何方程通过与通过与2.42.4及及4.24.2中相同的分析方法，可见由于径向位移中相同的分析方法，可见由于径向位移 ur r 引引起的形变为起的形变为zuuuzrrr
31、jrrrr,由于轴向位移由于轴向位移 uz 引起的形变为引起的形变为：rrzzzzuzu,根据叠加原理，将两组形变叠加，得轴对称问题的几何方程：根据叠加原理，将两组形变叠加，得轴对称问题的几何方程：rrrrrrjrrzzzzuzuzuuu,（7-16）轴对称问题的物理方程轴对称问题的物理方程由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择无关。由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择无关。对于直角坐标系和柱坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐对于直角坐标系和柱坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。标系下的物理方程具有相同的形式。物理方程：应力与
32、应变的关系物理方程：应力与应变的关系GGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtttssmsssmsssms,)(1)(1)(10,0,)(1)(1)(1rjjrrjrrjjjrrtssmsssmsssmszzzzzzzGEEE（7-17）空间轴对称问题：小结空间轴对称问题：小结 空间轴对称问题的基本未知函数为空间轴对称问题的基本未知函数为10个：个：4个应个应力分量、力分量、4个应变分量、个应变分量、2个位移分量个位移分量。空间轴对称问题的基本方程也为空间轴对称问题的基本方程也为10个：个：2个平衡个平衡微分方程、微分方程、4个几何方程、个几何方程、4个物理方程。个物理方程。 空间轴对称问题所有未知函数与环向坐标空间轴对称问题所有未知函数与环向坐标 j j 无无关，一般都是径向坐标关，一般都是径向坐标 r r 和轴向坐标和轴向坐标 z 的函数。的函数。