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1、量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，子，质子，中子，光子，介子等。介子等。 同一类粒子同一类粒子具有完全相同的内禀属性具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷，包括静质量，电荷,自自旋，磁矩，寿命等旋，磁矩，寿命等. 粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的联系，联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性如果没有态的量子化，就谈不上全同性. 在量子力
2、学中，把属于同一类的粒子称为在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同（全同（identical）粒子）粒子.4.5.1 全同粒子的交换对称性全同粒子的交换对称性量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 全同粒子组成的多体系的全同粒子组成的多体系的基本特征基本特征是：是： 任何可观测量，特别是任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任量，对于任何两个粒子交换是不变的，即何两个粒子交换是不变的，即交换对称性交换对称性.222221212122222ppeeeHmmrrrr12,0PH
3、 例如例如氦原子中两个电子组成的体系氦原子中两个电子组成的体系, Hamilton量为量为12P11212,P HPH 当两个电子交换时，当两个电子交换时， 显然不变，即显然不变，即 是两个电子交换的算符是两个电子交换的算符, 亦即亦即H量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 对于全同粒子多体系对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下任何两个粒子交换一下, 其量子态是不变的其量子态是不变的, 即要求即要求该体系的波函数对于粒该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性子交换具有一定的
4、对称性. 那么那么, 在在忽略粒子相互作用的情况下忽略粒子相互作用的情况下, 如如何去何去构造构造具有完全交换对称性或反对性的波具有完全交换对称性或反对性的波函数函数? 接下来我们将对这问题做一般的讨论接下来我们将对这问题做一般的讨论. 考虑考虑N个全同粒子组成的多体系的情况个全同粒子组成的多体系的情况.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 11,ijijNjiNPqqqqqqqq 1ijPC 2 对于有对于有 个全同粒子组成的多体系，其量子态个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函
5、数用波函数 描述描述, 表示每一个粒子的表示每一个粒子的全部坐标全部坐标 ( 例如包括空间坐标与自例如包括空间坐标与自旋坐标旋坐标) . 表示第表示第 粒子与第粒子与第 粒子的全部坐标的粒子的全部坐标的交换，即交换，即1,ijNqqqq1,2,iqiNijPijN 由于所有粒子的内禀属性完全相同，由于所有粒子的内禀属性完全相同， 和和 这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描描述的是同一个量子态述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一，因此它们最多可以相差一个常数因子个常数因子 ,即即ijPC量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全
6、全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 用用 再运算一次，得再运算一次，得ijP22ijijPCPC21ijP 显然显然 ，所以，所以 ，因而，因而21C 代入式（代入式（2），可看出，），可看出， 有（而且有（而且只有只有）两个两个本征值本征值，即，即 . 即全同粒子系的波函数必须即全同粒子系的波函数必须满足下列关系之一满足下列关系之一ijP1C 1C 3ijijPP 4b4a量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 注意注意，对
7、于全同粒子系，对于全同粒子系式中式中 .凡满足凡满足 的，称为的，称为对称波函数对称波函数；满足；满足 的的, 称为称为反对称波函反对称波函数数.1,2,3,ijNijP ijP 所有所有 都是守恒量都是守恒量.ijp,0,1,2ijP Hij 5 所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称换，或者对称，或者反对称.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对
8、称称 性性 实验表明实验表明 凡自旋为凡自旋为 的的整数倍整数倍 的粒子，波的粒子，波函数对于两粒子交换总是对称的，称为函数对于两粒子交换总是对称的，称为Bose子子.例如例如介子介子 ，光子，光子 .0,1,2,s 0s 1s 凡自旋为凡自旋为 的的半奇数倍半奇数倍 的粒子，的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为Fermi子子.例如电子，质子，中子等例如电子，质子，中子等.31,22s 对于给定的一类全同粒子对于给定的一类全同粒子, 其多粒子体系的波其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的函数的交换对称性是完全确定的, 而且与而且与粒子的自粒
9、子的自旋旋有确定的关系有确定的关系.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 设有两个全同粒子设有两个全同粒子 (忽略它们的相互作用忽略它们的相互作用)，Hamilton 量量表示为表示为12Hh qh q 64.5.2 两个全同粒子组成的体系两个全同粒子组成的体系 kkkh qqq 71h q 表示单粒子的表示单粒子的Hamilton 量量. 与与 形式形式上完全相同，只不过上完全相同，只不过 互换而已互换而已.显然，显然，2h q12qq12,0.PH h q h q设设的本征方程
10、为的本征方程为量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 这种与这种与交换相联系的简并交换相联系的简并, 称为交换简并称为交换简并.但这但这两个波函数还不一定具有交换对称性两个波函数还不一定具有交换对称性. 在上式中，在上式中， 为单粒子能量为单粒子能量, 为相应的为相应的归一化单粒子波函数归一化单粒子波函数, 代表一组完备的量子代表一组完备的量子数数.k kqk 设两个粒子中有一个处于设两个粒子中有一个处于 态态,另一个处另一个处于于 态态,则则 与与 对对应的能量都是应的能量都是 1
11、k2k1212kkqq1221kkqq12kk量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 对于对于Bose子子，要求波函数对于交换是对称，要求波函数对于交换是对称的的.这里要分两种情况：这里要分两种情况：1 212121212211,2sk kkkkkq qqqqq12 是归一化因子是归一化因子12kkk（b ) ,归一化波函数为归一化波函数为 （a） ，归一化的对称波函数可如下构成，归一化的对称波函数可如下构成12kk 8121212112kkPqq1 21212,sk kkkq qq
12、q 9量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 1 212121212211,2Ak kkkkkq qqqqq1122121212kkkkqqqq 对于对于Fermi子子，要求波函数对于交换是反对，要求波函数对于交换是反对称的称的.归一化的波函数可如下构成归一化的波函数可如下构成10121212112kkPqq量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 著名的著名的Pauli不相
13、容原理不相容原理： 不允许有两个全同的不允许有两个全同的Fermi子处于同一单子处于同一单粒子态粒子态（这里（这里 k 代表足以描述代表足以描述Fermi 子量子态子量子态的一组完备的量子数，特别要注意：对于有自的一组完备的量子数，特别要注意：对于有自旋的粒子，必须包含描述自旋态的量子数）旋的粒子，必须包含描述自旋态的量子数）.0A12kk 在上式中在上式中, 若若 ，则，则 ，即这样的，即这样的状态是不存在的状态是不存在的.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 先考虑三个先考虑三
14、个无相互作用无相互作用全同全同Fermi 子组成的体系子组成的体系.3k2k1k 设三个粒子处于三个不同的单粒子态设三个粒子处于三个不同的单粒子态 , ,和和 , 则反对称波函数可表示为则反对称波函数可表示为1111 2 22223331231231231231,3!kkkAk k kkkkkkkqqqq q qqqqqqq4.5.3 N个全同个全同Fermi子组成的体系子组成的体系量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 1232313123211231231231231231232
15、1313213!kkkkkkkkkkkkkkkkkkqqqqqqqqqqqqqqqqqq233112232331121,3!IP PP PPPP123123kkkqqq11其中其中称为称为反对称化算符反对称化算符.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 111222112121121,!NNNNkkkNkkkNAkkNkkkNqqqqqqqqNqqq 类似类似可以推广到可以推广到N个全同个全同Fermi子组成的体系子组成的体系.设设N个个Fermi子分别处于子分别处于 态下，态下，则
16、反对称波函数可如下构成则反对称波函数可如下构成 12Nkkk121212ANkkkNqqq量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 P 代表代表N个粒子的一个个粒子的一个置换置换 ( permutation) . N 个粒子分别排列在个粒子分别排列在N个单粒子态上个单粒子态上 , 共有共有N！个置换（包括恒等变换个置换（包括恒等变换 I ）。）。在上式中在上式中1!PPPN称为反对称化算符称为反对称化算符.1212,kkkNNqqqP1212NkkkNqqq 从标准排列从标准排列 经过
17、经过各种可能的置换各种可能的置换P，得到，得到 一共得出一共得出N！项，即行列式展开后得出的！项，即行列式展开后得出的N! 项项.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 Bose 子不受子不受Pauli原理限制，可以有原理限制，可以有任意数目任意数目的的Bose子处于子处于相同的单粒子态相同的单粒子态. 设有设有 个个Bose子子处于处于 态上态上 ， ，这些，这些 中，中，有些可以为有些可以为0，有些可以大于，有些可以大于1.此时，对称的多粒此时，对称的多粒子波函数可以表示成子波函
18、数可以表示成 inik1,2,iN1NiinNin111212121211kknknknnPnnPqqqq 个个134.5.4 N个全同个全同Bose子组成的体系子组成的体系量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 注意注意： 这里的这里的P是指那些是指那些只对处于不同单粒子态上的粒只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换子进行对换而构成的置换，因为只有这样，式（而构成的置换，因为只有这样，式（13）的求和中的各项才彼此正交的求和中的各项才彼此正交.这样的置换共有这样的置换共有12!NN
19、n nn！个个.1111!,!NNisinnNkkNPnqqPqqN14因此，归一化的对称波函数可表示为因此，归一化的对称波函数可表示为量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)4.5 4.5 全全 同同 粒粒 子子 体体 系系 与与 波波 函函 数数 的的 交交 换换 对对 称称 性性 最后应当指出，全同粒子体系的波函数的这种表最后应当指出，全同粒子体系的波函数的这种表达方式是比较达方式是比较繁琐繁琐的的. 描述全同粒子体系的量子态更为方便的理论形描述全同粒子体系的量子态更为方便的理论形式是所谓的式是所谓的二次量子化二次量子化 (second quantization)方法，方法，即即粒子填布数粒子填布数（occupation number）表象表象.这些知识我们将在高等量子力学中学习这些知识我们将在高等量子力学中学习!