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1、4.1因式分解,探究,整式的积,多项式,整式的乘法,多项式,整式的积,因式分解,因式分解,整式乘法,一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。,定义,整式乘法：,因式分解:,因式分解与整式乘法是互逆的关系。,因式分解,一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。,注意：1.研究的对象是多项式，结果是几个整式积的形式；2.因式分解不是一种运算，而是一种恒等变形。,定义,填一填,（1）3a(a+4)=3a2+12a3a2+12a=()();（2）(a+3)2=a2+6a+9a2+6a+9=()()
2、;（3）(2a)(2+a)=4a24a2=()();,因式分解与整式乘法是互逆的关系。,辨一辨,是,不是，整式的乘法,不是，不是积的形式,不是，变形不对,不是，不是整式,是,下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？,因式分解的结果必须达到两个要求：（1）各式是整式（2）积的形式,例1：检验下列因式分解是否正确：,（1）,（2）,（3）,(1)1012992,(2)872+8713,(3)512251+1,例2：计算下列各题。,例3已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是(2x-1)(x+0.25),求m,n的值.,4.2提取公因式,复习回顾,因式分解:,把多项式转化为几个整式的积的
3、形式,因式分解与整式的乘法互为可逆的关系。,因式分解：,把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。,解:,公因式,多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式,提公因式法,提取公因式法,怎么提？提取后留什么？,系数：各项系数的最大公约数字母：相同字母的最低次幂的积,公因式,提取的结果：公因式商式（商式）,（商式中的项数与原多项式的项数相同）,默认的规律：多项式首项系数是负数时，应提取负公因式，同时，商式各项要变号。,下面的因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？,漏掉一个因式“1”,还有公因式没提取,下面的因式分解对吗
4、？如果不对，应怎样改正？,提取系数为负的公因式，没有变号,提取部分公因式后，式子不是乘积形式,练习,试一试,例2：分解因式,括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“”号，括到括号里的各项都变号。,添括号法则：,练习：分解因式,小结,提公因式法,（1）确定应提取的公因式（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式（3）把多项式写成这两个因式积的形式。,提取公因式的一般步骤：,当为奇数时当为偶数时,.整体的思想,体会.分享,因式分解是整式中的一种恒等变形。因式分解是将多项式转化为几个整式的积的形式。因式分解和整式乘法是互逆的关系。,4.3用乘法公式分解因式（1）,用平方差
5、公式分解因式,1.提取公因式法,如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做“提取公因式法”,知识回顾,1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。,2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。,3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。,2.确定公因式的方法：,合作学习,平方差公式,把一张如图形状的卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸的衬底，你认为该怎么剪？你能给出数学解释吗？,a,b,a,a-b,b,a2-b2,=(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)(a-b)=a2-
6、b2,a2-b2=(a+b)(a-b),整式的乘法的公式,因式分解公式,运用平方差公式来分解因式(简称公式法),两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。,a2-b2=(a+b)(a-b),新概念,下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。,(1)4x2+y2(2)4x2-(-y)2(3)-4x2-y2(4)-4x2+y2(5)a2-4(6)a2+3,能用平方差公式分解因式的多项式的特征：,1、由两部分组成；,2、两部分符号相反；,3、每部分都能写成某个式子的平方。,特别告诉你,说一说,注：这里公式中的,都表示整式.,例1.分解因式,(1),解：原式,(2)m2n2+4p2,
7、解：原式=,(2p)2(mn)2,=(2p+mn)(2pmn),解：原式=,(4)(x+z)2-(y+z)2,解：原式=,=(x+z+y+z)(x+zyz),(1)公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.(2)分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。,注意：,=(x+y+2z)(xy),(1)x2-1(2)m2-9(3)x2-4y2(4)25x2-4(5)0.01s2-t2(6)121-4b2(7)a6-81(8)x2+25(9)16a2-9b2(10)-4a2b2+c2,例把下列各式分解因式：,a2-b2=(a+b)(a-b),课堂练习,=(x+1)(x-1),=
8、(m+3)(m-3),=(x+2y)(x-2y),=(5x+2)(5x-2),=(0.1s+t)(0.1s-t),=(11+2b)(11-2b),=(a3+9)(a3-9),=(5+x)(5-x),=(4a+3b)(4a-3b),=(c+2ab)(c-2ab),=x2-(2y)2,=m2-32,=x2-12,=(0.1s)2-t2,=(5x)2-22,=(a3)2-92,=52-x2,=(4a)2-(3b)2,=c2-(2ab)2,=112-(2b)2,1、把多项式4x3y-9xy3分解因式？,解:原式=xy(4x2-9y2),(公因式先提出),=xy(2x)2-(3y)2,(能分解再分解),
9、=xy(2x+3y)(2x-3y),2、请问993-99能被100整除?,温馨提示：,（2）提取公因式后，还能继续分解因式吗？,（1）能否提取公因式？,993-99=99(992-1),解:提取公因式,=99(99+1)(99-1)=99x100 x98,993-99能被100整除.,例2,1.分解因式：（1）4x3-x(2)a4-81（3）(5x8y)2(3x+4y)2（4）16(3m2n)225(mn)22、计算（1）99929982（2）252652135225,聪明题,X(2x+1)(2x1),(a2+9)(a+3)(a3),8(2xy)(x6y),(17m13n)(7m3n),=(9
10、99+998)(999998),=1997,=25(26521352),=25(265+135)(265135),=25400130,=1300000,=1.3106,回顾整理归纳小结,(1)优先考虑提取公因式法，(2)其次看是否能用公式法（如平方差公式），(3)务必检查是否分解彻底了，(4)务必检查是否化简了。,1.（因式分解）平方差公式：,a2-b2=(a+b)(a-b),2.分解因式的步骤：,4.3用乘法公式分解因式（2）,用完全平方公式分解因式,探究,有4张纸片（尺寸如图），它们的面积之和是多少？,你能用这四张纸片拼成一个大正方形吗？,它的面积呢？,因式分解,整式乘法,形如的多项式称为
11、完全平方式.,两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍,完全平方公式：,判别下列各式是不是完全平方式?,不是,是,是,是,试一试：,你能总结出完全平方式的特点吗？,不是,思考：,是,完全平方式的特点：,1有三项组成,2其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，且这两项同号,3.另一项是上述两数（或式）的乘积的2倍，符号可正可负,是,是,是,是,判别下列各式是不是完全平方式?,不是,试一试：,不是,指出下列完全平方式中相应的a，b?,试一试：,比较一下：,会选择合适的公式进行因式分解,1、有两项,1、有三项,2、两项可写成数或式的平方形式，且符号相同,2、两项可写成数或式的平方形式，且符号
12、相反,3、一项是两数乘积的两倍,找朋友,从下面8张纸片中任意找出3张纸片组成一个多项式（不改变原有符号），使得它能用完全平方公式进行因式分解,2、再根据项数选用合适的公式进行因式分解,1、先考虑提取公因式,注意:,当二次项系数为负时，应先将负号提出,因式分解的一般步骤：,练习：,分解因式：,例2：,分解因式：,把2xy看做a22abb2中的字母“a”，即设a2xy，这种数学思想称为整体思想,1、分解因式:,巩固提高：,注意:,因式分解要彻底，直到不能分解为止。,2、用简便方法计算：,巩固提高：,小结：,2、再根据项数选用合适的公式进行因式分解,1、先考虑提取公因式,注意:,（1）当二次项系数为
13、负时，应先将负号提出,因式分解的一般步骤：,（2）注意整体思想的应用，公式中的a，b具有广泛意义,（3）因式分解要彻底，直到不能分解为止,补充：十字相乘法分解因式,合作学习,x2+5x+6,x2+5x+6=(x+2)(x+3),x2-5x+6,x2-5x+6=(x-2)(x-3),x2+5x-6,x2-5x-6,X2+5x-6=(x-1)(x+6),x2-5x-6=(x+1)(x-6),x2+(p+q)x+pq,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),1=11,6=23,2+3=5,1=11,6=(-2)(-3),(-2)+(-3）=-5,1=11,1=11,1=11,-6=(-1)(
14、6),-6=1(-6),pq=pq,(-1)+(6）=5,(-6)+1=-5,P+q=p+q,(1)首尾竖式先分解：1=1.1，8=(-2)(-4)；(2)交叉相乘再相加：1.(-2),1.(-4);-2-4=-6；(3)横写乘积得因式：x26x8=（x-2）(x-4),步骤为：,把x26x8分解因式,-2-4=-6,试一试,十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。,分解因式x2(pq)xpq,新概念,=(xp)(xq),x2(pq)xpq,x2+12x+20=(x+2)(x+10),x2-5x-6=(x-6)(x+1),x2+2x-63=
15、(x-7)(x+9),x2-10 x+24=(x-4)(x-6),把下列各式分解因式：,课堂练习1,例1把下列各式分解因式：,12,2+3=5,12,6+1=7,23=5,12,12,61=7,2=12,3=13=(-1)(-3),(1)2x2-7x+3,在把x2+pxy+qy2分解因式时，我们也可以利用十字相乘法来帮助分解：,2x2-5x-14,3.x2-3xy+2y2,2-7=-5,11,解：x25x14=(x+2)(x-7),解:x2-3xy+2y2=(x-y)(x-2y),y2y=3y,11,a=a1a2,c=c1c2,a1,a2,c1,c2,a1c2+a2c1,=b,ax2+bx+c
16、=(a1x+c1)(a2x+c2),正因数,在二次三项式ax2+bx+c（a0)中，a、b和c各满足什么条件时，可以分解因式？,探究活动,例2把6a27a5分解因式,23,-10+3=-7,解：-10+3=-7,6a2-7a-5=(2a+1)(3a-5),用十字相乘法分解因式：,12x2+3x+1,23a2-7a-6,课堂练习2,找窍门,设二次项系数a为正数,常数项是正数时，分解成的两个因数应取，它们的符号与的符号一致,常数项是负数时，分解成的两个因数应取，交叉相乘时的符号应与一次项系数一致,一次项系数,同号,异号,绝对值较大因数,在二次三项式ax2+bx+c（a0)中，,（1）把-6x27x
17、5分解因式,解：,-6x2+7x+5=-(6x2-7x-5),用十字相乘法,把6x27x5分解因式，得,6x27x5=,6x2+7x+5=(2x+1)(3x5),23,10+3=-7,(2x+1)(3x5),聪明题,(2）把4(xy)2+3(xy)1分解因式。,回顾整理归纳小结,十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。,分解因式x2(pq)xpq,=(xp)(xq),x2(pq)xpq,a=a1a2,c=c1c2,a1,a2,c1,c2,a1c2+a2c1,=b,ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),正因数,在二次三项式ax2
18、+bx+c（a0)中，a、b和c各满足什么条件时，可以分解因式？,把下列各式分解因式：,（1）x212x+35,（2）x2-x-6,（3）x2+2x-8,（4）x2+10 x+9,（5）x2+4x+12,（7）6x213xy+5y2,（6）2x25x12,（8）2(a+b)2+5(a+b)3,(9)4x4+3x2-1,(10)2(4x2+1)2-2x(4x2+1)-40 x2,补充：分组分解法分解因式,1.什么叫做因式分解,2.我们已经学过分解因式的方法,1提公因式法,把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.,2公式法平方差公式，完
19、全平方公式,3十字相乘法,知识回顾,(a+b)(m+n),=a(m+n)+b(m+n),=am+an+bm+bn,am+an+bm+bn,=a(m+n)+b(m+n),=(a+b)(m+n),因式分解,把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法,整式乘法,合作学习,新概念,例把a2-ab+ac-bc分解因式,分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b.,解：a2-ab+ac-bc,=(a2-ab)+(ac-bc),=a(a-b)+c(a-b),=(a-b)(a+c),分组,组内提公因式,各组间再提公因式,想一
20、想,有没有其他分组的方法；如果有，因式分解的结果是不是一样?,解(2)：a2-ab+ac-bc,=(a2+ac)-(ab+bc),=a(a+c)-b(a+c),=(a+c)(a-b),分解因式：,（1）3a-3b+ax-bx,课堂练习,解：,原式=(3a-3b)+(ax-bx),=3(a-b)+x(a-b),=(a-b)(3+x),（2）x3+x2y-xy2-y3,解：,原式=(x3+x2y)+(-xy2-y3),=x2(x+y)-y2(x+y),=(x+y)(x2-y2),=(x+y)(x+y)(x-y),=(x+y)2(x-y),例2分解因式：,（1）a2-2ab+b2-c2,解：,原式=
21、(a2-2ab+b2)-c2,=(a-b)2-c2,=(a-b+c)(a-b-c),（2）x2+xy-2y2+x-y,解：,原式=(x2+xy-2y2)+(x-y),=(x-y)(x+2y)+(x-y),=(x-y)(x+2y+1),把下列各式分解因式：,(2)x2-3xy+2y2+x-y,(3)x2+2xy+y2-x-y-2,课堂练习2,(1)a2-4b2+12bc-9c2,=a2-（4b2-12bc+9c2),=(x2-3xy+2y2)+(x-y),=(x2+2xy+y2)+(-x-y)-2,=a2-(2b-3c)2,=(a+2b-3c)(a-2b+3c),=(x-y)(x-2y)+(x-
22、y),=(x-y)(x-2y+1),=(x+y)2-(x+y)-2,=(x+y-2)(x+y+1),四项或四项以上的多项式分解因式，首先考虑提公因式，再用分组分解法结合所给的多项式的结构特点，选择合理的分组方法把多项式的有关项分成两组，各组可提取公因式或运用公式分解，使得两组之间可再分解,分组分解规律：,(1)分组；,(2)在各组内提公因式或运用公式；,(3)直至完全分解.,分组分解步骤：,回顾整理归纳小结,回家作业,把下列各式分解因式：,（2）x2xy2x+2y,（1）bx+cx+by+cy,（3）ab1+ab,（4）2x2+4xy6ax+3ax2y,（5）x2+2x+1y2,（7）x23xy+2y2+x2y,（6）116m2+8mnn2,（8）a2+2ab+b2+5a+5b14,