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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第三十讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2),(yxfy 可降阶的高阶微分方程 第五节)()(xfyn),(yyfy 第七章 一、二、二、三、三、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以
2、公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 （纯（纯 x 型）型）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12
3、sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy 原方程化为一阶方程( , ),pf x p 设其通解为),(1Cxp则得11( ,),( ,)dyyx Cx Cdx 再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、( , )dpf x pdx（缺（缺 y 型）型）,dpypdx则“雪亮工程是以区（县）、乡（
4、镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6.02的通解求 xyyx)(xpy 设,dpypdx则方程为02xppxxpxp1111CdxxeepdxxdxxxCx1231dxxCxy)31(12213ln91CxCx例例2解解“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,dpypdx则代入方程得
5、2(1)2dpxxpdx分离变量21d2dxxxpp积分得,)1(lnln21xCp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8例例4：求满足 022 yyx的积分曲线，使其在点（1，0）处有切线1.yx解：解：由题意可知此为缺 y 型，且1011xxyy令 xpy 代入原方程得22dpxpdx分离变量得22,dpdxpx11
6、1xxpy1110,Cpxxy 222Cxy21021Cyx所得积分曲线为：2122xy111Cxp“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9三、三、( ( ),p y x),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令( )yp y xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy（缺（缺 x 型）型）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治
7、中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10例例5. 求解.02 yyy代入方程得,dd2pyppyyyppdd即两端积分得,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:( )yp y 设xpydd 则xyypddddyppddxdCyyd121lnlnCxCy1lnlnpC y( ( ),p y x“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11例例6 解初值问题解解:
8、令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据,ddyepxy积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得122Cepy22 dd2yppeyddyeyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12例例7：求yyy212 满足1, 200 xxyy的特解。解：解：方程中不含 x 设 ydpdpyypy 代入方程得ypydpdp212yydppdp
9、212两边积分得yCp12ln1lnyCp121122yyyp11C12yp1yp注意到初始条件1yy分离变量xdyyd1两边积分212Cxy22C所求特解为212xy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13.02的通解求方程 yyy解解将方程写成, 0)( yydxd,1Cyy故有,1dxCydy 即积分后得通解积分后得通解.212CxCy注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性较高, , 关键是配导数的方程关键是配导数的方程. .例例8“雪亮工程是以区（县）、
10、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14.0)4()5(的通解求方程 yxy解解),()4(xPy设代入原方程代入原方程,xPP xCP1解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy）（0P,1)4(xCy即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy54233251dxdxdxdxdy例例9“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性
11、治安防控工程”。15内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17 P323 1 (5) (7) (10) ; 2 (3) , (5) ; 3 作业作业