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1、泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用颜世艳颜世艳目录目录利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式估计数值利用泰勒公式估计数值 泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在方程中的应用 4123本文论述泰勒公式的基本内容，介绍其在数学分析中的一些应用。本文论述泰勒公式的基本内容，介绍其在数学分析中的一些应用。5泰勒公式在近似计算中的应用泰勒公式在近似计算中的应用泰勒公式的基本介绍泰勒公式的基本介绍 对于一些较复杂函数，为了便于研究，往往希望用一些简单函数来对于一些较复杂函数，为了便于研究，往往希望用一些简单函数来近似表达。由于用多项式表示的函数，只要对自变量
2、进行有限次加减乘近似表达。由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加减乘三种算术运算，便能求出函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达三种算术运算，便能求出函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。函数。 在微分应用中已经知道，当在微分应用中已经知道，当 很小时，有如下近似等式：很小时，有如下近似等式： ，ln(1+x) xln(1+x) x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子，显然，在这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子，显然，在x=0 x=0处这些处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数对一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其
3、导数对应值。应值。 但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于产生的误差仅是关于x x的高阶无穷小；其次是用它来做近似计算时，不能的高阶无穷小；其次是用它来做近似计算时，不能具体估算出误差大小。因此，对精确度要求较高且需要估计误差时，就具体估算出误差大小。因此，对精确度要求较高且需要估计误差时，就必须用多次高项式来近似表达函数，同时给出误差公式。必须用多次高项式来近似表达函数，同时给出误差公式。xxxex 1利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限v对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是对于函数多项式或
4、有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题。类似多项式或有理分式的极限问题。v满足下列情况时可以考虑用泰勒公式求极限满足下列情况时可以考虑用泰勒公式求极限v（1）用洛必达法则时，次数较多，且求导及化简）用洛必达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁琐。过程较繁琐。v（2）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小的替代形式。转化为等价无穷小的替代形式。v（3）所遇
5、到的函数展开为泰勒公式不难。）所遇到的函数展开为泰勒公式不难。利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式v如果函数如果函数 的二阶和二阶以上导数存在且有界的二阶和二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式证明不等式。，利用泰勒公式证明不等式。v证明思路：证明思路：v（1）写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；）写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；v（2）根据最高阶导数的大小对展开式进行缩放。）根据最高阶导数的大小对展开式进行缩放。 xf用泰勒公式估计数值用泰勒公式估计数值泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在近似计算中的应用泰勒公式在近似计算中的应用v利用泰勒公式求极限时，宜将函数用
6、带佩亚诺余利用泰勒公式求极限时，宜将函数用带佩亚诺余项的泰勒公式表示；若用于近似计算，则应将余项的泰勒公式表示；若用于近似计算，则应将余项以拉格朗日型表达，比便于对误差的估计。项以拉格朗日型表达，比便于对误差的估计。结论结论v本文主要介绍了泰勒公式以及它的五个应用本文主要介绍了泰勒公式以及它的五个应用,使我使我们对泰勒公式有了更深一层的理解们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识公式解题有了更深一层的认识.在日常的学习生活在日常的学习生活中，只要在解题训练中注意分析中，只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及研究题设条件及其形式特点其形式特点,并把握上述处理规则并把握上述处理规则,就能比较好掌握就能比较好掌握利用泰勒公式的解题技巧利用泰勒公式的解题技巧.谢谢谢谢