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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第八章第八章 玻色统计与费米统计玻色统计与费米统计26-6.626-6.6我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式非简并条件有四种：非简并条件有四种：1lla1)2(232hmkTNVe1)2(2323mkThVNn* 由于玻耳兹曼系统与玻色系统和费米系统具有粒子可否分辨的由于玻耳兹曼系统与玻色系统和费米系统具有粒子可
2、否分辨的差异，微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏差异，微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性影响。因此玻色气体和费米气体的内能和物观性质将产生决定性影响。因此玻色气体和费米气体的内能和物态方程也有差异。态方程也有差异。一、一、 几个基本概念几个基本概念1. 定域系统和满足经典极限条件的玻色定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米费米)系统遵从玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。分布。2. 满足非简并条件的气体为非简并气体。满足非简并条件的气体为非简并气体。3. 不满足非简并条件的气体为简并气体。不满足非简并条件的气体为简并气体。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和
3、恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物玻色分布：玻色分布：1leall 费米分布：费米分布：1leall 1leall系统的平均总粒子数为：系统的平均总粒子数为：llllleaN1二、二、 基本热力学量基本热力学量1. 系统的平均粒子数系统的平均粒子数引入巨配分函数引入巨配分函数llleZ1 llleZ)1ln(ln )1ln(11lllllllllleeeeNZln我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2. 内能：无规则运动
4、总能量的统计平均值内能：无规则运动总能量的统计平均值 )1ln(llle Zln3. 物态方程物态方程外界对系统总的广义作用力为：外界对系统总的广义作用力为： lllllllllyeeyeayYlll11 )1ln(1llley Zyln1物态方程为：当物态方程为：当pY，Vy 时，时，lllllllllllleeeaU11 ydydWY 广义力为：广义力为：ZVpln1 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由熵的定义和热力学第一定律知：由熵的定义和热力学第一定律知：)(1)(11YdydUTd
5、WdUTdQTdSln1)ln()(dyyZZdYdydUdyyZZdln)ln(由由llleZ1 知，知，Z是是、和和y的函数，的函数，、Zln也是也是和和y 的函数的函数4. 熵熵dyyZdZdZZdlnlnlnln我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物dyyZZdYdydUln)ln()(dyyZdZZdlnln)ln(dZZdZdlnln)ln()ln(lnln)ln(ZdZdZdZd因为因为ZNlnNdZZZdYdydUlnlnln)(lnlnln)(ZZZdNdYdydU我吓了一跳，蝎
6、子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对于闭系：对于闭系：0Ndlnlnln)(ZZZdYdydU是是YdydU 的积分因子，的积分因子，YdydU 同样有积分因子同样有积分因子T1kT1lnlnln)(1ZZZkdYdydUTdS积分得：积分得：lnlnlnlnUNZkZZZkS我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对于开系，热力学基本方程为：对于开系，热力学基本方程为：dnYdyTdSdU因为因为Nddn)()
7、(单个粒子化学势单位摩尔化学势TdSNdYdydU与与TdSNdYdydU比较比较kT5. 玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系ln)(lnkUNZkS我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体3. 把公用电子看作金属内部作自由运动的近独立粒子，电子的集把公用电子看作金属内部作自由运动的近独立粒子，电子的集合称为自由电子气。合称为自由电子气。一、一、 自由电子气体自由电子气体1. 原子结合成金属后，价电子可以脱离原子在整个金属内运动，原子结合成金属后，价电子可以脱离
8、原子在整个金属内运动，成为公用电子。成为公用电子。2. 失去价电子后的原子称为离子，在空间形成规则的点阵。失去价电子后的原子称为离子，在空间形成规则的点阵。1e13n或或。4. 金属中的自由电子形成强简并的费米气体，即金属中的自由电子形成强简并的费米气体，即我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11kTeafdmhVdDd21233)2(4)(1)2(421233kTedmhVfd二、自由电子的费米分布二、自由电子的费米分布Vd在体积在体积内，在内，在能量范围内，电子的量子态为能量范围内，电子的量
9、子态为Vd在体积在体积内，在内，在能量范围内，平均电子数为：能量范围内，平均电子数为：T时，处在能量为时，处在能量为的一个量子态上的平均电子数为：的一个量子态上的平均电子数为：温度为温度为(考虑电子的自旋考虑电子的自旋)27-6.1327-6.13我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0212331)2(4kTedmhVN1f)0(0f)0(NTV在给定电子数在给定电子数，温度，温度和体积和体积时，总粒子数为：时，总粒子数为：TVNn 化学势化学势是温度是温度和粒子数密度和粒子数密度的函数。的函数
10、。)0(表示表示0 K时电子气体的化学势时电子气体的化学势 以以0T K时的电子分布时的电子分布1. 11kTeaf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)0( (3) 是是0 K时电子的最大能量。时电子的最大能量。)0()0(021233)2(4dmhVN由下式确定：由下式确定：3222)3(2)0(VNm)0(被称为费米能级。被称为费米能级。T)0()0(说明：说明：(1) 在在0 K时，在时，在的每一个量子态上平均电子数的每一个量子态上平均电子数的每一个量子态上平均电子数为的每一个量子态上平
11、均电子数为0。 为为1；在；在0)0(的状态起依次填充至的状态起依次填充至(2) 电子从电子从上。上。mpFF2)0(23122)3(npF令令Fp是是0 K时电子的最大动量，称为费米动量。时电子的最大动量，称为费米动量。mpvFF，称为费米速率，称为费米速率我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特点：费米气体的绝对零度时，特点：费米气体的绝对零度时，21f21f21f其中的其中的)0( 说明：在说明：在0T K时，在时，在的每一个量子态上平均电子数大于的每一个量子态上平均电子数大于21；在；在的
12、每一个量子态上平均电子数小于的每一个量子态上平均电子数小于210T K时的自由电子分布时的自由电子分布2.熵为零。熵为零。11kTef知：知： 由由我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)0(* 原因：在原因：在0 K时，电子占据了从时，电子占据了从0到到 的每一个量子态，温的每一个量子态，温度升高时，由于度升高时，由于热激发电子热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状有可能跃迁到较高的未被占据的状态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态
13、，必须吸取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变。占据情况实际上并不改变。只在费米面附近，数量级为只在费米面附近，数量级为kT的能量范围内，电子的分布与的能量范围内，电子的分布与0T K时的分布有差异。时的分布有差异。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8.12 室温下某金属中自由电子气体的数密度室温下某金属中自由电子气体的数密度328m106n某半导体中导电电子的数密度为某半导体中导电电子的数密度为320
14、m10n。试验证这两种电子。试验证这两种电子；气体是否为简并气体。气体是否为简并气体。1e，即，即13n的情形下费米气体满足非简并条件，的情形下费米气体满足非简并条件，1e，即，即13n的情形下，气体形成的情形下，气体形成解：在解：在遵从玻耳兹曼分布；在遵从玻耳兹曼分布；在强简并费米气体。强简并费米气体。2323)2(mkThnn 因为：因为：sJ10626. 634hkg101 . 931m K/J10381. 123k 其中的常数为：其中的常数为：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物把把K3
15、00T，328m106n代入，代入，11033n说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。说明金属中的自由电子形成强简并的费米气体。说明半导体中的导电电子是非简并气体，用玻耳兹曼统计讨论。说明半导体中的导电电子是非简并气体，用玻耳兹曼统计讨论。K300T，320m10n代入，代入，11053n 把把我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8.13 银的导电电子数密度为银的导电电子数密度为 ，试求，试求0 K时电子气体的费米时电子气体的费米能级和费米速率。能级和费米速率。328m109 . 5解：解：
16、0 K时，金属中自由电子气体的费米能级时，金属中自由电子气体的费米能级(电子的最大能量电子的最大能量)和和费米速度费米速度(电子的最大速率电子的最大速率) 取决于电子气体的密度。取决于电子气体的密度。 将将kg101 . 931msJ10626. 634h328m109 . 5n代入代入 费米速度：费米速度：mvmmpFF22)0(222 m/s104 . 1)0(26mvF3222)3(2)0(VNm因为：因为：eV6 . 5J10876. 0)0(18 其中其中J10602. 1eV119 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实
17、我的猜测没有错：表里边有一个活的生物8.14 试求绝对零度下金属自由电子气体中电子试求绝对零度下金属自由电子气体中电子的平均速率的平均速率v1fFpp 0fFpp 解：在绝对零度下，自由电子气体中电子动量的分布为：解：在绝对零度下，自由电子气体中电子动量的分布为：Fp为费米动量，即为费米动量，即0 K时电子的最大动量时电子的最大动量ddmhVd21233)2(4中的电子的量子态数为中的电子的量子态数为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在在dppp中的电子的量子态数为中的电子的量子态数为dpphVd238总电子数：总电子数：FpdpphVdfN0238 总动量：总动量：FpdpphVdfpp0338总FFFpppppdpphVdpphVpFF4331418834023033电子的平均速率为：电子的平均速率为：FFvmpmpv4343