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1、傅里叶分析傅里叶分析Fourier变换的提出1807年傅立叶写成关于热传导的基本论文热的传播，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝.1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1817年傅立叶由于对传热理论的贡献于当选为巴黎科学院院士。1822年成傅立叶为科学院终身秘书。 热的解析理论正式出版傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。热的解析理论热的解析理论影响了整个影响了整个19世纪分析严世纪分析严格化的进程和各个学科的发展，是数学和科格化
2、的进程和各个学科的发展，是数学和科学中的伟大发明之一。学中的伟大发明之一。让巴普蒂斯约瑟夫傅里叶1768年3月21日1830年5月16日法国数学家、物理学家时间序列 2011coscos 2.NNiiiiiitaaa三角级数定义 由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数n基本函数族 组成：1，cos(nt)，sin(nt) 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性； 1021(cossin)nnnf taantbntcoscos0sinsin0ntmtdtntmtdtnm，1cossin0,coscosntmtdtntntdtn傅里叶展开11coscoscos2cos22n
3、tntdtntntntdtdx11cos2cos22sin2022ntdtntd ntdntnn傅里叶展开定理：其中：可得展开系数：11( )cos,( )sinnnaf tntdtbf tntdt傅里叶展开的意义傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数例子：对称方波的傅立叶展开0, 4/0, 4/)(xxxfmnmnxnxS112) 12sin()()()(limxfxSmm-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f-3-2-1123-1-0.50.51S1-3-2-1123-0.75-0
4、.5-0.250.250.50.75S2-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S3-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S6-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S12-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S24-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f傅里叶级数推广（1）问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：方法：对基本公式作变换 ,/22xtxt LL1021)sincos()(nLtnnLtnnbaatf,cos)(1LLLtnndtt
5、fLaLLLtnndttfLbsin)(1傅里叶级数推广（2）问题：把定义在 -L, L 上的函数 f(t)展开；方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期为2L的函数的一部分)，再按推广1展开；拓延前：拓延后：问题：把定义在 0, L 上的函数 f(t)展开；方法：先把它延拓为-L, L上的奇函数或偶函数再按上述方法展开；傅里叶级数展开的复数形式基本函数族：正交性：展开系数：nLxnnicxf)exp()(ZniLxn，)exp(,exp()exp()2Ln xm xn mLLLiidxL1exp() ( )2Ln xnLLcif x dxL展开公式：傅里叶级数在海洋工程中应用举例幅值
6、的获取3阶Stokes波波浪在潜堤上传播数值模型的验证如何计算02( )cos,1,2.,1,2.NTiatn tdtNnNT需注意：1. 必须在整周期内计算2. cos或者sin函数的选取根据波形的起始情况特殊情况处理办法 时间不连续序列的分析由于在波浪作用下自由水面是上下振动的，在测波浪点压力时，模型自由水面附近有一部分时间段会在波谷到达测点时会露出水面，这段时间测不到压力值，会导致所测时间序列的不连续，因此无法用前述方法进行计算。计算步骤：假定有效测量时间Te为波动的周期，在Te时间内对上式进行积分 1021(cossin)Nnnnp taan tbn t压力时间序列为： 1021cos
7、cos(coscossincos)eeeeTTNnnnTTp tn tdtan tdtan tn dtbn tn dt 1021(cossin)eeeeTTNnnnTTp t dtadtan tdtbn tdt 1021sinsin(cossinsinsin)eeeeTTNnnnTTp tn tdtan tdtan tn dtbn tn dt22nnnpab可求得：傅里叶变换非周期函数的傅里叶展开 非周期函数的傅立叶展开 问题： 把定义在（， ）中的非周期函数 f (x)展开； 思路： 把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L ； 实施： 展开公式nLxnnicxf)exp()(展开系数：
8、dxxfiLcLxnLLn)(exp(21）n困难 展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。 解决方法： 把 n/L 作为新变量，即定义n = n/L ； 把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/. 公式的新形式： 展开公式：nnnnxiFxf)exp()()(展开系数：dxxfxiFnLLn)()exp(21)(n取极限： 傅立叶变换：dxxfxiF)()exp(21)(傅立叶积分：dxiFxf)exp()()(例例 矩形脉冲函数为矩形脉冲函数为 1101tf tt如图所示如图所示: :1-1Otf (t)1 44,22,422nnf tf tnnnT1-13T=
9、4f4(t)t 现以现以f (t)为基础构造一周期为为基础构造一周期为T的周期函数的周期函数fT(t), 令令T=4, , 则则则： 222142111144111441sin11sinc0, 1, 2,22TnTnnnnnjtnTjtjtjtjjnnnnncf t edtTf t edtedteeejjn 0sinsincsincsin0,lim1sinsinc 01,1,0 xxxxxxxxxx函函数数定定义义为为严严格格讲讲函函数数在在处处是是无无定定义义的的 但但是是因因为为所所以以定定义义用用不不严严格格的的形形式式就就写写作作则则函函数数在在整整个个实实轴轴连连续续。sinc(x)
10、xsinc函数介绍函数介绍26前面计算出前面计算出1sinc 0, 1, 2,22,2nnncnnnnT 可将可将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上nc27如果令如果令T=16, , 可计算出可计算出 1sinc0, 1, 2,82,168nnncnnnn 再将再将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上nc 当周期当周期T越来越大时越来越大时, , 各个频率的正弦波的频率间各个频率的正弦波的频率间隔越来越小隔越来越小, , 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状函数的形状, , 因此因此, , 如果将方波函数如果将方波函数f (t)看作是周看
11、作是周期无穷大的周期函数期无穷大的周期函数, , 则它也可以看作是由无穷多个无则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成穷小的正弦波构成, , 将那个频率上的轮廓即将那个频率上的轮廓即sinc函数的函数的形状看作是方波函数形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布的各个频率成份上的分布, , 称称作方波函数作方波函数f (t)的傅里叶变换的傅里叶变换. .傅里叶变换的实质时间时间/空间域空间域频频/波数域波数域傅里叶变换的算法连续傅里叶变换1( )exp() ( )2Fi t f t dt实际中采集的数据都是离散形式（间隔为离散形式（间隔为 t）并且采集点数是有限有限的： 0 ,2
12、,3 ,.1f tffff N离散傅里叶变换 10101( )( )exp()10 exp( 0) .exp().1 exp(1)1exp()NtjNjFf ti t dtNfifji j tf NiNtNfji j tN 假定数据是周期性的，采样间隔为t, 则频率分辨率为2N t频率可表示为： 22220,2,.1nnNN t N tN tN t 1012( )exp()NjF nfjinjNN离散傅里叶变换可表示为：写成矩阵形式： 221242211221111001111122111NNNNNFfWWWFfWWWFfNF Nf NWWW其中：2exp2/,1NNWiNWW一个算例取n =
13、 0,1,2,4, t = 1/4。 o52cos903cos2nf nn 001111111112211113311FfFfjjFfNFfjj 051233FFiFFi离散傅里叶逆变换： 102( )exp()NnfjF ninjN离散傅里叶变换是关于离散傅里叶变换是关于N/2对称的对称的 22expexpnfjF ninjF NniNn jNN 10101*012exp()122expexp()12exp()NjNjNjF NnfjiNn jNNfjiNjinjNNNfjinjFnNN *22expexp222 RecosImsin22cosargnfjF ninjFninjNNF nnj
14、F nnjNNF nnjTF nNT快速傅里叶变换-FFTN = 8FFT中的蝶形运算DFT vs FFTMatlab FFT 实用方法命令命令:fft: 计算时间序列的fftfftshift ：把fft计算的结果按照频率顺序排列，N/2对应的是对应的是 零频率零频率需注意的是：需注意的是：N必须是2的整数次方：8, 16, 32256,.10241.计算截止频率2.计算频率分辨率3.去势（把零频率成分去掉）4.计算fft12cft/ 2cffN0,2,.,.2Nfffn fffft( )Ay yyE yfftshift()AA /AANangle()A 212S fAf栅格效应X(f)f0f如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。解决办法：增加频率分辨率解决办法：增加频率分辨率1. 增大采样间隔增大采样间隔2. 增多采样次数增多采样次数能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。泄露解决方法 -加窗函数举例幅值的提取ia (1)(1)022222201().,1,2,.2iiiiaAAAAAi作业 动手编程演示序列幅值提取 动手编程序列的计算fft，并演示栅栏效应和泄露，以及通过加窗解决问题 程序发到邮箱：