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1、 单层的宏观力学分析是层合结构分析的基础。 本章研究正交各向异性、均匀、连续的单层在线弹性、小变形情况下的刚度和强度。13221 2 12 1正应力的符号：拉为正，压为负；正应力的符号：拉为正，压为负；剪应力的符号：正面正向或负面负剪应力的符号：正面正向或负面负向为正，否则为负。向为正，否则为负。 1、2，12表示材料主方向 （正轴向）相应的三个应变分量。 应变符号： 正应变 ： 伸长为正，缩短为负。 剪应变 ： 与坐标方向一致的直角与坐标方向一致的直角 减小减小为为正正 ， 增大增大为为负。负。 单层板是正交各向异性材料 考虑复合材料处于线弹性、小变形情况，故叠加原理仍能适用，所以，全部应力
2、分量引起某一方向的应变分量，等于各应力分量引起该方向应变分量的代数和。因而可以把组合应力看成单轴应力的简单叠加。利用单轴试验的结果建立正轴的应力 - 应变关系。21211 2 12 12112+212 2 1+111111)1(12)1(1)1(1EE纵向泊松比, 即)1(1)1(2211 212(T)1(L)1112PP = P/A11E112121E21(L)2(T)22222)2(22)2(122)2(21EE )2(2)2(1122 21PP = P/A21212121G2(T)1(L)1G12121212ytxyMMx薄壁圆管扭转试验211 2 12 12112+212 2 1+11
3、S利用叠加原理：利用叠加原理：12121222111)2(2)1(2221211)2(1)1(11111GEEEE12211221122112211000101GEEEE 122166221212111221S000SS0SS1266222221112111111GSESEESES 柔量分量与工程弹性常数的关系： .,1,1,111211221266122221112SSSSSGSESE 解出1，2和12，得到应力-应变关系式； 121222121221211112,GMEEMEMME 式中 1)1 (21M 模量分量（或刚度分量） . 0,62266116212112121266222111
4、QQQQEMQEMQGQMEQMEQ 以模量分量表示的应力-应变关系式： 12216622211211122166626126222116121112210000QQQQQQQQQQQQQQ 缩写为 1Q12211212)1 (,22211111226612222111QQQMQQQQQGMQEMQE模量分量与工程弹性常数的关系模量分量与工程弹性常数的关系模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵互为逆矩阵模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵互为逆矩阵,11Q.1111QQQ,111IIQQ111 Q11QSSQ工程弹性常数工程弹性常数由简单试验由简单试验(如拉伸、压缩、剪切、如拉伸、压缩、剪切
5、、弯曲等弯曲等)获得获得或用细观力学方法预测，或用细观力学方法预测，具有明显的物理意义、更直观。具有明显的物理意义、更直观。柔量分量柔量分量应变应变-应力关系式的系数，用于从应力关系式的系数，用于从应力计算应变，它与工程弹性常应力计算应变，它与工程弹性常数的互换非常简单数的互换非常简单模量分量模量分量应力应力-应变关系式的系数，用于从应变应变关系式的系数，用于从应变求应力，它是计算层合板刚度的一组求应力，它是计算层合板刚度的一组基本常数基本常数可以互换，各有用处可以互换，各有用处2211EE刚度性能必须满足互等关系式：刚度性能必须满足互等关系式：测量的数据不准确；测量的数据不准确；进行的计算有
6、错误进行的计算有错误材料不能用线弹性应力材料不能用线弹性应力- -应变关系式描述应变关系式描述如果不满足如果不满足4 4个独立的常数，个独立的常数，E E1 1,E,E2 2, , 1212和和G G1212)6 , 2 , 1,()6 , 2 , 1,(jiSSjiQQjiijjiij模量或柔量都存在对称性模量或柔量都存在对称性2112SS00066,22,1166,22,1112, 2, 1QQQSSSGEE012, 2, 1GEE2211EE单层的弹性模量、具有重复下标的柔量分量及模量分量均为正值。单层的弹性模量、具有重复下标的柔量分量及模量分量均为正值。由式（2-11）知， Q11 =
7、 M E1 ，M 0，利用式（2-17） 可得 2121/ EE1222/ EE或或工程弹工程弹性常数性常数的限定的限定条件条件121)1 (M2211EE弹性常数的限制作用n突破传统材料的概念，大胆设计复突破传统材料的概念，大胆设计复合材料合材料n可以用来检验材料的试验数据，看可以用来检验材料的试验数据，看他们在数学弹性模型的范围内是否他们在数学弹性模型的范围内是否与实际一致与实际一致n解微分方程时，确定合适的工程实解微分方程时，确定合适的工程实用解用解ESESSSSSSS1211122112111112121112211)(20000 122166111212111221Q000QQ0QQ
8、G)1(2EQ1EQ1EQ66212211 对于各向同性材料，已知对于各向同性材料，已知E、G、 ，求，求Qij和和Sij？015. 1)1 ()1 (11221121EEMGPaGQGPaEMQQGPaMEQGPaMEQ14. 418. 239. 8,2 .391266212112222111(3)求模量分量求模量分量 例例 2-2已知实验测得硼纤维/环氧复合材料的 E1=83.0GPa, E2=9.31GPa 97. 11, 22.02。试判断测试结果是否合理？ n材料的主方向往往和几何上适应解题要材料的主方向往往和几何上适应解题要 求的坐标轴方向不一致求的坐标轴方向不一致n斜铺或缠绕斜铺
9、或缠绕12y+2.2 x单层的偏轴刚度为单层非材料主方向的刚度。单层的偏轴刚度为单层非材料主方向的刚度。复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。 例如，当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正例如，当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态是偏轴轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态是偏轴下给出的（即计算坐标系一般设在圆柱壳的轴向和周下给出的（即计算坐标系一般设在圆柱壳的轴向和周向），因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（或向），因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（或应变）的转换。应变
10、）的转换。p2xxyyxxyy1yxy2xx xyyxxyy1+TT_2.2.1 应力转换和应变转换应力转换和应变转换(1) 转换的术语转换的术语121xyxyxyyxyy2 (1) X，y表示偏轴向。单元体外法线方向x 与材料主 方向1之间的夹角为，角称为角称为单层的方向角单层的方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角逆时针转向为正，顺时针转向为负。坐标转换角坐标转换角（材料力学） 它表明坐标转换前后的夹角。规定由转换前的轴（旧轴）转至转换后的轴（新轴），逆时针转向为正，顺时针转向为负。偏轴至正轴的转换偏轴至正轴的转换 = + 正转换正轴至偏轴的转换正轴至偏轴的转换 = - 负转换(2) 应力转
11、换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系。 由偏轴至正轴的应力转换 xyyxnmmnmnmnmnmnnm2222221221221xT22222222nmmnmnmnmnmnnmT122122222222nmmnmnmnmnmnnmxyyx缩写为 方阵 称为应力转换矩阵应力转换矩阵T式中 m = cos，n = sin。 由正轴应力求偏轴应力的公式11 TxT缩写为 ,方阵 称为应力负转换矩阵应力负转换矩阵 1(3)由偏轴应变分量求正轴应变分量的公式xyyxnmmnmnmnmnmnnm2222221221221xT由正轴应变求偏轴应变的公式122122222222nmmnmnmnmnm
12、nnmxyyx11TxT-QijT TQij(i, j =1, 2, 6)(i, j =1, 2, 6)正轴应力正轴应力正轴应变正轴应变偏轴应变偏轴应变偏轴应力偏轴应力2121xxyyxyxy21212.2.2 单层板的偏轴模量单层板的偏轴模量xxy(1) 利用应变正转换将偏轴应变转换为正轴应变利用应变正转换将偏轴应变转换为正轴应变xyyxT1221(2) 利用正轴应力利用正轴应力-应变关系式（应变关系式（2-12）得到偏轴应变与正轴应）得到偏轴应变与正轴应力的关系力的关系 ，由式（，由式（2-12）得到）得到xyyxTQQ12211221(3) 利用应力的负转换得到偏轴应变与偏轴应力的关系。
13、利用应力的负转换得到偏轴应变与偏轴应力的关系。 将式（将式（a）代入式（）代入式（2-26）得）得xyyxxyyxTQT1xyyxxyyxQQQQQQQQQ6662612622211612111TQTQnmQQQmnQQQQmnQQQnmQQQQnmQQQQnmQQnmQQQnmQQmQnmQQnQQnQnmQQmQQ3661222366121126366122236612111622661222114466662266221144121242222661241122422226612411112)2(2)2(22)(4)(2222x=Qx。).4cos2cos43(81sin),4sin2s
14、in2(81sincos,4cos181sincos),4sin2sin2(81sincos),4cos2cos43(81cos443322223344nmnnmnmm4sin2sin5 . 04sin2sin5 . 04cos4cos4cos2cos4cos2cos32263216356634123212232111QQQQQQQQQQQQQQUUQUUQUUQUUQUUUQUUUQ).(21)42(81),46(81),42(81),(21),4233(814166122211566122211466122211322112661222111QQQQQQQUUQQQQUQQQQUQQQQU
15、QQUQQQQU正轴模量的线性组合262216114,4QQQQ)()90(2211QQ)()90(2616QQ计算ijQ时，11Q起主要作用 11Q、12Q、22Q和66Q中的QU1、QU4和QU5是常数项 12Q和66Q的变化频率和幅值相同 偏轴模量的特性偏轴模量的特性4cos2cos32111QQQUUUQ举例：举例：0/20/20/20/2Q1111Q1U1U 2cosU22U 4cosU33U常数常数低频变量低频变量高频变量高频变量不随角度的变化，是刚度的有效量值不随角度的变化，是刚度的有效量值1Uxyxy2121xxyy偏偏-S Sij+Sij(i, j =1, 2, 6)(i,
16、j =1, 2, 6)正轴应变正轴应变正轴应力正轴应力偏轴偏轴应力应力偏轴应变偏轴应变2.2.3 单层板的偏轴柔量单层板的偏轴柔量2121yxxT T （ 1） （a）到（）到（b）是从偏轴应力到正轴应力的正转换）是从偏轴应力到正轴应力的正转换 .1221xyyxT（2） （b）到（）到（c）由正轴应力求正轴应变用正轴物理方程）由正轴应力求正轴应变用正轴物理方程.12211221xyyxTSS（3） （c）到（）到（d）由正轴应变到偏轴应变做负的转换）由正轴应变到偏轴应变做负的转换.112211xyyxxyyxTSTTxyyxxyyxSSSSSSSSS666261262221161211xxS
17、1TSTSnmSSSmnSSSSmnSSSnmSSSSnmSsSSnmSSnmSSSnmSSmSnmSSnSSnSnmSSmSS366122236612112636612223661211162266122211446666226622114412124222266124112242222661241111)22()22()22()22()422(2)()()()2()2(4sin22sin4sin22sin4cos44cos4cos2cos4cos2cos32263216356634123212232111SSSSSSSSSSSSSSUUSUUSUUSUUSUUUSUUUS).( 2)2(2
18、1),6(81),2(81),(21),233 (814166122211566122211466122211322112661222111SSSSSSSUUSSSSUSSSSUSSSSUSSUSSSSU倍角函数形式的偏轴柔量公式倍角函数形式的偏轴柔量公式2.2.4n正轴工程弹性常数正轴工程弹性常数 (E1、E2、G12、12 ） 实测 ，可直接引用n偏轴工程弹性常数偏轴工程弹性常数 实测困难 偏轴实验会产生多种变形的耦合作用 由已知的偏轴应力-应变关系式来推求单层在偏轴向受单轴应力或纯剪应力时的刚度性能参数单层在偏轴向受单轴应力或纯剪应力时的刚度性能参数 设x0，y=xy=0 xyyxxyy
19、xSSSSSSSSS666261262221161211,111)(SExxxx,1121)()(SSxxxyyxx;1161)()(,SSxxxxyxxy.,61)(21)(11)(xxxyxxyxxxSSS2262)()(,2212)()(22)(,1SSSSSEyyyxyyxyyyyxxyyyyyy6626)()(,6616)()(,66)(,1SSSSSGxyxyxyyxyyxyxyxyyxyxxyxyxyxy式中 Gxy为剪切弹性模量； xyx,和xyy,为剪拉耦合系数； xxy,和yxy,为拉剪耦合系数。 无量纲无量纲表明由一种外力引起另一种基本变形的应变与表明由一种外力引起另一种
20、基本变形的应变与此种外力此种外力引起相应的基本变形的应变之比。引起相应的基本变形的应变之比。xyyyxyxxxyxyxyyyxxxyxyxyyxGSESESGSESESGSESES1,1,166,62,61,262221,161211以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分量的关系式以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分量的关系式xyyxxyyyxyxxy,xxyxyyyxxxyxyxyyxGEEGEEGEE111,xyyxcSSGEbSSGEaSSEExyyxyyyxyxyxxyxxxyyxyx2266,1166,1122=耦合系数之间一般没有对称性耦合系数之间一般没有对称性 选取不同的方向角选取不同的方
21、向角,调整各种刚度的比值调整各种刚度的比值),(),(),(),(,)111()(,)111()(),(1)1422(21,1)21(11,1)21(113326,3316,3362,3361,22122144111222122144111244122212112166422211124122422211124111nBmAmnGSGBmnnAmGSGnBmAmnESEBmnnAmESEnmGEEnmEESEnmGEEnmEESEnmGnmGEEESGmEnmEGnESEnEnmEGmESExyxyxyyxyxyxyxyyyxyxxxxyyyyxxxxyyx奇奇函函数数偶偶函函数数312112
22、23121121,31211223121121,441222121122142221121241221221441142221121241cossin122cossin122cossin122cossin122)cos(sin1cossin122221cos1cossin21sin11cossin111)cos(sinsin1cossin21cos11GEEGEEEGEEGEEEGGEEEGEEGEEGEEEEEEGEEyyxyxxxyxyyxxx非主方向的非主方向的xyxy坐标系下受力的正交各向异性单层板的工程常数为：坐标系下受力的正交各向异性单层板的工程常数为：n通过上述分析可见：通过上述
23、分析可见：u正交各向异性单层板在与材料主方向成一正交各向异性单层板在与材料主方向成一定角度方向上受力时，表观各向异性弹性定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模量是随角度变化的。模量是随角度变化的。u琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）并不一定发生在材料主方向。小值）并不一定发生在材料主方向。u设计材料设计材料 Ex、Ey、Gxyx、y是的偶函数， xy，x、xy，y、x,xy、y，xy是的奇函数 拉伸（或压缩）弹性模量xE的方向性 0方向的拉压模量由纤维模量控制，取值最高；90方向由基体控制，取值最低；纤维模量越大，含量越高，两者差异就越大0和90方向
24、拉压模量随经、纬纤维量的接近而接近； 1:1平衡型织物复合材料，45方向的拉压模量最低 剪切弹性模量xyG的方向性 0和90方向的剪切模量最小，由基体剪切模量控制； 45时剪切模量最大，由纤维拉压模量控制、 纵向泊松比纵向泊松比x的方向性 090间有一最大值，90取值最小。 1:1 织物复合材料，45取值最大。 拉剪耦合系数拉剪耦合系数xxy,的方向性 0和90方向为零方向为零? ?，在中间角度有较大值。 独立的偏轴工程弹性常数只有 4 个。存在 2 个关系式：221222214141211211EGEGEEEEEEyyxyyyyx 利用极值分析法 确定工程弹性常数的极大值、极小值极大值、极小
25、值xyyxxyyxSSSSSSSSS666261262221161211耦合效应耦合效应受正应力作用时，不仅会产生正应变，还会产生剪应变;在剪应力作用下，不仅 会产生剪应变，还会产生正应变。61)()(,SExxxxxyxxy的 物理意义物理意义，表示只在 x 方向作用正应力x产生单位线应变（)(xx=1）时的剪应变大小。xyyxxyyxSSSSSSSSS666261262221161211),900(0001,xxxxyxyxxyxyxxxEEEx 0、y=xy=0 xxyxyx),900(0100,xyxyxyxyxyyxyxyxyxxyyxGGG 复合材料在纯剪应力时的变形形状复合材料在
26、纯剪应力时的变形形状xy 0、x=y=0（5） 偏轴工程弹性常数的演算过程偏轴工程弹性常数的演算过程正轴工程正轴工程弹性常数弹性常数正轴模量正轴模量偏轴模量偏轴模量正轴柔量正轴柔量偏轴柔量偏轴柔量偏轴工程偏轴工程弹性常数弹性常数QijijQSijijS例 2-3设一单层板在x0、xy 0、y=0 的作用应力情况下，求使单层板出现表观无限大的剪切刚度应满足的条件。解解 所谓出现表观无限大的剪切刚度，即xy=0。由式（2-42）有 06661xyxxySS根据式（2-52），上式变为 xxyxyxxyxxyxyxxxxyGEoGE,1即,而按照式（2-54） xyxxxyxyxGE,所以得应满足的
27、条件为 xxyxyx,.的试验确定单向增强单层板在和单向增强单层板在和1-1-方向成方向成45450 0角的单向拉伸试验角的单向拉伸试验45450 02y1 1xPPxx1Ex211112212111112411121411/EEEEGEGEEEAPExxxx测量测量 x xG G1212根据根据 强强度度指指标标 各向同性材料 一个 塑性材料 屈服极限s； 脆性材料 强度极限b。 s= =（0 0. .5 50 0. .6 6）s。 复合材料单层（正交各向异性材料） 五个 Xt纵向拉伸强度； Xc纵向压缩强度； Yt横向拉伸强度； Yt横向压缩强度； S面内剪切强度 强强度度准准则则 各向同
28、性材料 强度准则旨在用单向应力状态下的 实测强度指标来预测复杂应力状态下材料的强度 各向异性材料 强度准则是利用基本强度建立判别 单层在各种平面应力状态下是否失效的准则。c1例：例：考虑单向纤维单层板，假设强度为：考虑单向纤维单层板，假设强度为：222cm/N2000Scm/N1000Ycm/N50000X 其应力场为：其应力场为：2122221/1000/2000/45000cmNcmNcmN最大主应力低于最大强度，但最大主应力低于最大强度，但 2比比Y大，在大，在2方向上破坏。方向上破坏。n正交各向异性材料正交各向异性材料u强度随方向不同变化；强度随方向不同变化；u拉伸和压缩失效的机理不同
29、；拉伸和压缩失效的机理不同；u面内剪切强度也是独立的。面内剪切强度也是独立的。1 22 12 强度和刚度的试验确定n基本强度特性基本强度特性uX Xt t纵向拉伸强度；纵向拉伸强度；X Xc c纵向压缩强度纵向压缩强度uY Yt t横向拉伸强度；横向拉伸强度；Y Yc c横向压缩强度横向压缩强度uS S面内剪切强度面内剪切强度n刚度特性为：刚度特性为：uE E1 11-1-方向上的弹性模量；方向上的弹性模量；E E2 22-2-方向上的弹性模量方向上的弹性模量u 1 1 - - 2 2/ / 1 1，当，当 1 1= = ，而其他应力皆为零；，而其他应力皆为零；u 2 2 - - 1 1/ /
30、 2 2，当，当 2 2= = ，而其他应力皆为零；，而其他应力皆为零；uG G1212在在1-21-2平面内的剪切模量平面内的剪切模量强度和刚度的试验确定n试验的基本原则试验的基本原则 当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力材料的应力- -应变关系也应该是线性的。应变关系也应该是线性的。n一般来讲，拉伸试验的线性保持很好，而压缩一般来讲，拉伸试验的线性保持很好，而压缩和剪切，尤其是剪切对大多数复合材料来说，和剪切，尤其是剪切对大多数复合材料来说，是非线性的。是非线性的。n试验中的关键，是使试件承受均匀的应力，这试验中的关键，是使试件承受均匀的应力，
31、这对对各向同性材料各向同性材料是容易的。对是容易的。对正交各向异性材正交各向异性材料料，当载荷作用在非材料主方向时，正交各向，当载荷作用在非材料主方向时，正交各向异性性能常常导致异性性能常常导致耦合效应耦合效应。SYYXXctct122211或或2.3.2 最大应力准则和最大应变准则最大应力准则和最大应变准则（1） 最大应力准则最大应力准则式中，式中，工作应力为代数值，基工作应力为代数值，基本强度为绝对值。本强度为绝对值。上述表达式左边的量都上述表达式左边的量都小于小于右右边的量，边的量，则表示单则表示单层未失效；层未失效；只要只要满足式（满足式（2-58）中）中任何一个任何一个，则认为材料已
32、，则认为材料已经失效。经失效。未考虑各应力分量对材未考虑各应力分量对材料强度的相互影响。料强度的相互影响。当作用应力在偏轴向，当作用应力在偏轴向，必须转换到正轴向。必须转换到正轴向。tsycYtxcXt122211)()(或或,211221EYEXGSEYEXcYccXcStYttXt（2）最大应变准则）最大应变准则 最大应变准则考虑了另外一个最大应变准则考虑了另外一个弹性主方向应力的影响。弹性主方向应力的影响。121212121222212111G)(E1)(E1 SYYXXctct12122211)()(拉伸时拉伸时压缩时压缩时各 向 同 性 材 料 （ Mises） 屈 服 准 则 为
33、222222226sxyzxyzyxxzzy. 式 中 s为 单 轴 拉 伸 的 屈 服 应 力 。平 面 应 力 状 态 22223sxyyxyx 纯 剪 屈 服 应 力 s= 3/s， 12222222sxysyxsysx 蔡蔡 -希希 尔尔 准准 则则 12212222221221SYXX. 若 为 拉 、 压 强 度 不 同 的 材 料 ， 则 对 应 于 拉 应 力 时 用 拉 伸 强 度 ，而 对 应 于 压 应 力 时 用 压 缩 强 度 蔡 -希 尔 准 则 将 基 本 强 度 联 系 在 一 个 表 达 式 中 若 等 式 左 侧 各 项 之 和 大 于 或 等 于 1， 则
34、 材 料 失 效 。 该 准 则 与 实 验 结 果 吻 合 较 好 。 原 则 上 只 能 用 于 Xc = Xt = X， Yc = Yt = Y 的 单 向 板单层板强度的方向性及各种强度准则的比较单层板强度的方向性及各种强度准则的比较 偏轴单向拉伸偏轴单向拉伸(压缩压缩)强度曲线强度曲线121221222121SYYYYXXXXYYXXcttccttcctct当Xc = Xt、Yc = Yt时，上式就成为蔡-希尔准则了 假定在应力空间中的破坏表面存在下列形式 1jiijiiFF 对于平面应力状态，在材料的正轴方向展开 1222662211622661162666222221122111
35、FFFFFFFFF Fi和 Fij称为应力空间的强度参数。 是一个球心不在坐标原点的椭圆方程。 在单层板的正轴方向上，材料的剪切强度不受剪应力方向 的影响，如图 2-12 12221121266222221122111FFFFFF12121212+-+-材料主方向上的剪应力材料主方向上的剪应力与材料主方向上成与材料主方向上成45度角的的剪应力度角的的剪应力. 0, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 1; 0, 0, 112266222222222222111211111211仅且仅且仅且仅且仅SFYFYFYFYFXFXFXFXFccttcctt,1,1,11,1,11266
36、222111SFYYFYYFXXFXXFctctctct12221121266222221122111FFFFFF 采用双向加载实验 实施困难， 目前常用几何分析的方法 ctctYYXXFFF12121221112. 理论与实验值符合较好 可取 F12=0，其误差很小 例2-4 T300/5208复合材料单向板的应力状态如图2-13 所示。已知MPax500,MPay40,MPaxy60，15。试分别用最大应力准则、最大应变准则、蔡-希尔准则和蔡-吴张量准则校核其强度。解解 由表2-1可知T300/5208复合材料单向板的基本强度为 Xt=1500MPa，Xc=1500MPa， Yt= 40M
37、Pa，Yc= 246MPa， S= 68MPa。（1） 首先求出单向板的正轴应力。 将m=cos15=0.966，n=sin15=0.259 代入式（2-24）得yxxyy1 MPanmmnmnmnmnmnnmxyyx03.6382.4017.4996040500259. 0966. 0259. 0966. 0259. 0966. 0259. 0966. 02966. 0259. 0259. 0966. 02259. 0966. 0222222222222221221 （2）按最大应力准则校核；MPaYMPat4082.402，不安全。 （3）按最大应变准则校核；由表 2-1 可查得E1=18
38、1GPa，E2=10.3GPa，28. 01，G12=7.17 GPa。由式（2-17）求得16. 01122EE。 ).(03.60),(83.3217.499016. 082.40),(74.48782.4028. 017.49912122211MPaMPaMPa因为 .03.60,83.32,74.487SMPaYMPaXMPatt所以式（2-61）的三个表达式都可满足，因而按最大应变准则校核是安全的。（4）按蔡-希尔准则校核：代入式（2-64）得，不安全。1002. 2)68(02.63)40(82.40)1500(82.4017.499)1500(17.499222222222122
39、22221221SYXX（ 5） 按 蔡 -吴 张 量 多 项 式 准 则 校 核 ：由 表 2-4 查 得 T300/N5208 复 合 材 料应 力 空 间 的 强 度 参 数 并 代 入 式 (2-68)不安全。，18549. 182.401093.2003.63102 .21682.40106 .10182.4017.4991036. 3217.49910444. 0262626626221121266222221122111FFFFFF-32.3.5 2.3.5 单层板强度的计算方法单层板强度的计算方法（1） 强度比的定义强度比的定义iaiR)( 单层在施加应力作用下，极限应力的某一
40、分量与其对应的施加应力分量之比 “对应”的含义基于假设i是比例加载的,比例加载在应力空间中的含义为应力矢量方不变。 )(1)(21212aa根据强度比取值的含义，显然：根据强度比取值的含义，显然：a. 施加的应力或应变为 0 时，即i=i=0，R=。b. 施加的应力或应变为安全值时，R1。 R 是安全裕度的一种量度。 c. 施加的应力或应变恰好达到极限时，R=1。 R小于 1 没有实际意义。但设计计算中出现 R 1，它表明必须使施加的应力下降，或 加大有关结构尺寸。d. 当施加的应力或应变为一单位矢量时， 强度比 R的值就是应力或应变的极限值。6)(62)(21)(1aaaRiaiiaiR)(
41、)(12212222221221SYXX012)(122)(22)(2)(12)(1）（）（）（SYXXaaaaa0122122222121RSYXX）（）（）（012ARa.蔡希尔准则的强度比方程蔡希尔准则的强度比方程12221121266222221122111FFFFFF01)()2(2211221266222221122111RFFRFFFF.012 BRARAABBR242例 2-5有一用单向复合材料制成的薄壁圆管，平均半径mmR200，壁厚mmt2，在两端受一外力偶矩mkNM3 . 0及拉力kNP15作用下（图 2-15）。试问：（1）为使单向复合材料的纵向为最大主应力方向，其纵向
42、与圆管轴向应成多大角度？（2）按蔡-吴张量准则确定能承受的极限载荷；（3）欲使圆管不发生轴向变形，必须满足什么条件？已知圆管材料为碳/环氧，应力空间中的强度参数211)(129. 1GPaF,222)(7 .370GPaF,212)(23.10GPaF,266)(5 .500GPaF,1211)(17.26,)(387. 0GPaFGPaF；正轴柔量的线性组合131211)(81. 7,)(55.51,)(56.69TPaUTPaUTPaUSSSyzMMxPR00tPxxyy21x31.7（1）圆管的应力状态 t RPx02tRMxy20213 . 0/020. 015/0*MPRxyx由于无
43、内、外压力或径向力，故y为零。(2) 单向复合材料纵向位置的确定相位角可由下式计算： yxxytg2210 2020. 0153 . 022211010tgtgPRMtg =4 .2434 .63或。取4 .63，所以7 .310 （3）计算正轴应力 设在7 .310偏轴下的GPaxyx1，GPamnnmxyyx618. 118942. 017239. 02221，GPamnmnxyyx618. 018942. 012761. 02222，012。 （4）计算强度比 将上述应力分量及给出的强度参数代入强度比方程式（2-87）中，得01)618. 017.26618. 1387. 0()618.
44、 0(7 .370)618. 0(618. 1)23.10(2618. 1129. 1 222RR即得强度比方程 018 .161652RR，其根为 165216548 .168 .162R 0427. 0144. 0这里，R=0.144是本题欲求的强度比。（5）计算极限载)(1044. 1)(144. 0144. 018)(PaGPaRxax，)(1044. 1)(144. 0144. 018)(PaGPaRxyax。)(1061. 3002. 0020. 021044. 12480)(maxNtRPax。)(722002. 0020. 021044. 122820)(maxmNtRMax。 （6）圆管不发生轴向变形的条件 0l， 即0llx。 0161211xyyxxSSS，由于1/, 0 xyxy，得0)(1611XxSS， 01611SS。0)4sin24(cos)2sin2(cos321SSSUUU，得数值解为 8 . 31， 3 .352。荷感谢聆听！