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1、4.2 微积分基本定理(79)31 1、变速直线运动问题、变速直线运动问题变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为21( )dTTv tt 另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 4.2.1 原函数存在定理原函数存在定理2121( )d()(),TTv tts Ts T ).()(tvts 其中其中4.2 微积分基本定理(79)4( )d( )d .xxaaf xxf tt 考察定积分考察定积分( )( )d .xaxf tt 2 2、积分上限函数、积分上限函数4.2 微积分基本定理(79)5abxyoxx 证证()( )dxxaxxf tt )()(xxx (
2、)d( )dxxxaaf ttf tt)(x x)(xfy 4.2 微积分基本定理(79)6 ( )d( )d( )dxxxxaxaf ttf ttf tt( )d ,xxxf tt 由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x),(xxx 或或4.2 微积分基本定理(79)7补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证0( )( )0( )( )d( )db xa xF xf ttf tt( )0( )db xf tt ( )0( )d ,a xf tt )()()()(
3、)(xaxafxbxbfxF ( )( )d( )( )ddb xa xFxf ttx 4.2 微积分基本定理(79)8例例1 1 求极限求极限21cos20edlim.txxtx 解解21cosdeddtxtx 2cos1ded ,dxttx 2cose(cos )xx 2cossine,xx 21cos20edlimtxxtx 2cos0sinelim2xxxx 1.2e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.4.2 微积分基本定理(79)9证证0d( )ddxtf ttx ),(xxf 0d( )ddxf ttx ),(xf 0020( )( )d(
4、 )( )d( )( )dxxxxf xf ttf xtf ttFxf tt 4.2 微积分基本定理(79)10 020( )() ( )d( ),( )dxxf xxt f ttFxf tt )0(, 0)( xxf0( )d0,xf tt ,00, 0)()(xttftx ，且且不不恒恒为为又又0() ( )d0,xxt f tt ).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.4.2 微积分基本定理(79)11证证0( )2( )d1,xF xxf tt , 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数.
5、, 01)0( F10(1)1( )dFf tt 101( )df tt , 0 令令4.2 微积分基本定理(79)12定理定理 （原函数存在定理原函数存在定理）定理的定理的重要重要意义：意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.4.2 微积分基本定理(79)13定理定理 2 2（微积分基本定理微积分基本定理） 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，证证4.2.2 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4.2 微积分基本定理(79)14令令ax ,)(
6、)(CaaF ( )( )d0aaaf tt ,)(CaF ( )d( )( ),xaf ttF xF a ( )( )d,xaF xf ttC 令令 bx( )d( )( ).baf xxF bF a 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式CxxF )()(,bax 4.2 微积分基本定理(79)15( )d( )( )baf xxF bF a 微积分基本定理表明：微积分基本定理表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意:求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化
7、为求原函数的问题.baxF)( 4.2 微积分基本定理(79)16例例4 4 求定积分求定积分 20(2cossin1)d .xxx 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf20( )df xx 解解解解212001( )d( )d( )df xxf xxf xx在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf,12012 d5dx xx原原式式. 6 xyo124.2 微积分基本定理(79)17例例6 6 求积分求积分 222max ,d .x xx 解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xx
8、xxxx01222201dddxxx xxx 原原式式.211 xyo2xy xy 122 4.2 微积分基本定理(79)18例例7 7 求积分求积分 解解121d . xx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,121dxx 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin dAx x 0cos x. 2 4.2 微积分基本定理(79)193.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数( )( )dxaxf tt 2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx ( )d( )( )baf xxF bF a 4.2.5 小结与思考
9、题小结与思考题1-2牛顿莱布尼茨公式沟通了牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学微分学与与积分学积分学之间的关系之间的关系4.2 微积分基本定理(79)20思考题思考题4.2 微积分基本定理(79)21思考题解答思考题解答d( )d( )dxaf ttf xx d( )d( )dbxf uuf xx 4.2 微积分基本定理(79)22课堂练习题课堂练习题4.2 微积分基本定理(79)234.2 微积分基本定理(79)24课堂练习题答案课堂练习题答案4.2 微积分基本定理(79)25定理定理34.2.3 定积分法定积分法1 1、换元积分法、换元积分法4.2 微积分基本定理(79)26证证( )d( )(
10、);baf xxF bF a ),()(tFt 设设dd( )ddFxtxt )()(txf ),()(ttf ( )( )d( )( ).fttt 4.2 微积分基本定理(79)27)()( )()( FF ),()(aFbF ( )d( )( )baf xxF bF a )()( ( )( )d .fttt 4.2 微积分基本定理(79)28应用换元公式时应应用换元公式时应注意注意:（1）（2）4.2 微积分基本定理(79)29例例9 9 计算定积分计算定积分250cossin d .xx x 解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t250cossin dxx x 051dt
11、t 1066t .61 dsin d ,tx x 例例10 10 计算定积分计算定积分350sinsind .xx x 4.2 微积分基本定理(79)30解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 350sinsindxx x 320cossindxxx 3220cossindxxx 322cossindxxx 3220sindsinxx 322sindsinxx 2025sin52 x 2522sin5x .54 4.2 微积分基本定理(79)31例例11 11 计算定积分计算定积分解解34eed.ln (1ln )xxxx 原式原式34eed(ln )ln (1ln )xxx
12、34eed(ln )ln(1ln )xxx 34ee2d ln21( ln)xx 34ee2 arcsin( ln)x .6 4.2 微积分基本定理(79)32例例12 12 计算定积分计算定积分解解220d,(0).axaxax 令令,sintax ax ,2t0 x, 0 tdcos d ,xat t 原式原式2220cos dsin(1sin)at tatat 20cos dsincost ttt 201cossin1d2sincosttttt 201 1ln sincos2 22tt.4 4.2 微积分基本定理(79)33证证00( )d( )d( )d ,aaaaf xxf xxf
13、xx4.2 微积分基本定理(79)340( )daf xx 0()daftt 0()d ,aftt )(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx02( )d ;af tt )(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx. 0 4.2 微积分基本定理(79)35奇函数奇函数例例13 13 计算定积分计算定积分解解21212cosd .11xxxxx 原式原式21212d11xxx 121cosd11xxxx 偶函数偶函数21204d11xxx 22120(11)4d1
14、(1)xxxx 1204(11)dxx 120441dxx 4. 单位圆的面积单位圆的面积4.2 微积分基本定理(79)36证证（1）设）设2xtdd ,xt 0 x,2t2x , 0 t20(sin )dfxx 20sind2ftt 4.2 微积分基本定理(79)372200(sin )d(cos )d .fxxfxx（2）设）设xtdd ,xt 0 x,tx , 0 t0(sin )dxfxx 0() sin()dt ftt 0() (sin )d ,t ftt 20(cos )dftt 4.2 微积分基本定理(79)380(sin )dftt 0(sin )dtftt 0(sin )df
15、xx 0(sin )d ,xfxx 00(sin )d(sin )d .2xfxxfxx0(sin )dxfxx 4.2 微积分基本定理(79)39解解20sind1cosxxxx 20sind21cosxxx 20d(cos )21cosxx 0arctan(cos )2x 2.4 ()244 4.2 微积分基本定理(79)40几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式.定积分的换元法定积分的换元法:()dbafxx ( )( )dfttt 4.2.5 4.2.5 小结与思考题小结与思考题3 34.2 微积分基本定理(79)41思考题思考题解解 令令,sectx ,4332
16、: tdtan sec d ,xtt t 222d1xxx 3423sectan dsectantt ttt 3423d.12t 4.2 微积分基本定理(79)42思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是222d1xxx txsec 3423sectan dsectantt ttt 3423d.12t 4.2 微积分基本定理(79)43课堂练习题课堂练习题4.2 微积分基本定理(79)444.2 微积分基本定理(79)45课堂练习题答案课堂练习题答案4.2 微积分基本定理(79)46
17、定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv () d,bbaauvxuv dd ,bbbaaauvu v xuvx dd .bbbaaau vuvv u2、分部积分法、分部积分法4.2 微积分基本定理(79)47例例1515 计算定积分计算定积分120arcsin d .x x 解解令令,arcsin xu dd ,vx 2dd,1xux ,xv 120arcsin dx x 210arcsin xx 1220d1x xx 621 1222011d(1)21xx 12 21021x 31.122则则4.2 微积分基本定理(79)48例例1616 计算定积分计算定积分解解4
18、0d.1cos2x xx ,cos22cos12xx 40d1cos2x xx 420d2cosx xx 40d tan2xx 401tan2xx 401tan d2x x 401lnsec82xln2.844.2 微积分基本定理(79)49例例1717 计算定积分计算定积分解解120ln(1)d .(2)xxx 120ln(1)d(2)xxx 101ln(1)d2xx 102)1ln( xx101dln(1)2xx 32ln 1011d21xxx xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 4.2 微积分基本定理(79)50解解10( )dxf xx 1201
19、( )d()2f xx 1201( )2x f x 1201d ( )2xf x )1(21f 1201( )d .2x fxx 4.2 微积分基本定理(79)5121sin( )d ,xtf xtt ,sin22sin)(222xxxxxxf 10( )dxf xx )1(21f 1201( )d2x fxx 12012 sind2xxx 12201sind2xx 102cos21x ).11(cos21 11sin(1)d0,tftt 4.2 微积分基本定理(79)52证证 设设,sin1xun dsin d ,vx x 2d(1)sincos d ,nunxx x ,cos xv 211
20、 ( 1) 20(1)!sind( )!2nnnx xn 4.2 微积分基本定理(79)532212200sincos(1)sincosdnnnIxxnxx x x2sin1 022200(1)sind(1)sindnnnInx xnx x nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止4.2 微积分基本定理(79)54,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m200d,2Ix 210sin d1,Ix
21、x 221 233 1 (21)! ,2224 2 2(2)!2mmmmImmm .!)!12(!)!2(325476122212212 mmmmmmIm于是于是4.2 微积分基本定理(79)55定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 dd .bbbaaau vuvv u（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）4.2.5 4.2.5 小结与思考题小结与思考题3 34.2 微积分基本定理(79)56思考题思考题4.2 微积分基本定理(79)57思考题解答思考题解答10(2 )dxfxx 101d(2 )2x fx 110011(2 )(2 )d22xfxfxx 10
22、)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 4.2 微积分基本定理(79)58课堂练习题课堂练习题4.2 微积分基本定理(79)59课堂练习题答案课堂练习题答案4.2 微积分基本定理(79)60*4.2.4 定积分的近似计算法定积分的近似计算法1、定积分定积分近似计算近似计算的理由：的理由：(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数不能用初等函数表示；(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；表格给出的；(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难函数很困难4.2
23、 微积分基本定理(79)612 2、解决办法：、解决办法：4 4、常用方法：、常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法3 3、研究思路、研究思路：分的近似值分的近似值面积，就得到所给定积面积，就得到所给定积出相应的曲边梯形的出相应的曲边梯形的的面积，只要近似地算的面积，只要近似地算在数值上表示曲边梯形在数值上表示曲边梯形)0)()( xfdxxfba建立定积分的近似计算方法建立定积分的近似计算方法4.2 微积分基本定理(79)62一、矩形法一、矩形法(平均值法平均值法)窄矩形的高，如图窄矩形的高，如图作为作为值值取小区间左端点的函数取小区间左端点的函数等分，等分，将区间将区间
24、用分点用分点), 1 , 0(,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny1111( )d(1)nbiainiif xxyxbayn 则有则有4.2 微积分基本定理(79)63的高，如图的高，如图作为窄矩形作为窄矩形取右端点的函数值取右端点的函数值), 2 , 1(niyi 11( )d(2)nbiainiif xxyxbayn oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny则有则有（1）、（）、（2）称为）称为矩形法矩形法（平均值法平均值法）公式）公式4.2 微积分基本定理(79)64二、梯形法二、梯形法梯形法就
25、是在每个小梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图梯形的面积，如图oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y01121012111( )d()()221()21()(3)2bannnnf xxyyxyyxyyxbayyyyyn 4.2 微积分基本定理(79)65 用矩形法和梯形法计算积分用矩形法和梯形法计算积分的近似值的近似值例例19210edxx 解解,ix设设分分点点为为把把区区间间十十等等分分相应的函数值为相应的函数值为2e(0,1,10)ixiyi )10, 1 , 0( iiixiy01234
26、501 . 02 . 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表:4.2 微积分基本定理(79)66iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 061263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得21019010ed()10 xxyyy .77782. 0 利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得211210010ed()10 xxyyy .71461. 0 4.2 微积分基本定理(79)67利用梯形法公式
27、（），得利用梯形法公式（），得21010129010 1ed ()102xxyyyyy 实际上是前面两值的平均值，实际上是前面两值的平均值，2101ed(0.777820.71461)2xx .74621. 0 4.2 微积分基本定理(79)68三、抛物线法三、抛物线法到定积分的近似值到定积分的近似值原来的曲线弧，从而得原来的曲线弧，从而得段弧来近似代替段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一轴的二次抛物线上的一行于行于许多小段，用对称轴平许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为抛物线法是将曲线分为y), 2 , 1 , 0().(),(,10nixfyyxMnbxxxaiiiiin 点为点为这些分
28、点对应曲线上的这些分点对应曲线上的（偶数）等分，（偶数）等分，把区间分成把区间分成用分点用分点oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y4.2 微积分基本定理(79)69因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM 组组互相衔接的分成互相衔接的分成故可将这些曲线上的点故可将这些曲线上的点.,)2, 2 , 1(,22122222221222线弧线弧近似代替曲近似代替曲的二次抛物线的二次抛物线用经过点用经过点上上应的子区间应的子区间所对所对在每组在每组rqxpxyMMMxx
29、nkMMMkkkkkkkk 4.2 微积分基本定理(79)70边梯形的面积边梯形的面积为曲边的曲为曲边的曲的抛物线的抛物线上过三点上过三点计算在计算在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可由下列方程组确定：可由下列方程组确定：抛物线方程中的抛物线方程中的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由由此此得得4.2 微积分基本定理(79)71于是所求面积为于是所求面积为2()dhhApxqxrx rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有关有关及底边所在的区间长度及底边所在的区间长度标标的纵坐的
30、纵坐只与只与显然，曲边梯形的面积显然，曲边梯形的面积hyyyMMM2,210210 4.2 微积分基本定理(79)72组曲边梯形的面积为组曲边梯形的面积为由此可知由此可知2n),(),(43222101431431yyyhAyyyhA.nabh 其中其中0242131( )d()2()34().(4)bnnanbaf xxyyyyynyyy ),(nnnnyyyhA1224314.2 微积分基本定理(79)73例例20对如图所示的图形测量所得的数据如下表对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示所示,用抛物线法计算该图形的面积用抛物线法计算该图形的面积 .A0123451 6站号站号y高高030
31、5. 2865. 4974. 6568. 8559. 9011.10183.1078910111213站号站号y高高200.10200.10200.10200.10200.10200.10200.1014151617182019站号站号y高高400.10416. 9015. 8083. 6909. 3814. 104.2 微积分基本定理(79)74yxo1A2A米米站之间的距离为站之间的距离为站到站到而而）为）为两站之间的距离（站距两站之间的距离（站距米，相邻米，相邻站之间的距离为站之间的距离为站到站到这里，这里，501359. 72018.14718.147200 4.2 微积分基本定理(7
32、9)75解解来近似表示，即来近似表示，即轴构成的三角形的面积轴构成的三角形的面积的交点的连线与坐标的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴它可以用曲线同坐标轴表示表示站这一段的面积用站这一段的面积用站到站到从从101A 305. 25211 A).(763. 5平方米平方米 根据抛物线公式根据抛物线公式(4)，得，得3)(2)(4)(1842195312002xyyyyyyyyyA ).(839.1194平方米平方米 839.1194768. 521 AAA).(602.1200平方米平方米 4.2 微积分基本定理(79)76求定积分近似值的方法：求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法注意：注意：对于以上三种方法当取得越大时近对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好似程度就越好n4.2.5 4.2.5 小结与思考题小结与思考题4 44.2 微积分基本定理(79)77课堂练习题课堂练习题4.2 微积分基本定理(79)78课堂练习题答案课堂练习题答案4.2 微积分基本定理(79)79Newton, Isaac (1642-1727) EnglandLeibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) German