第九章-扭转ppt课件.ppt

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1、9 9 圆轴扭转的力学模型圆轴扭转的力学模型一、扭转变形一、扭转变形 杆件两端作用两个大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这样的变形形式称为。 2 2、变形特点：、变形特点： 纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕轴线发生转动。绕轴线发生转动。 杆件受到一对力偶矩的杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直的力偶作用的力偶作用。1 1、外力特点、外力特点 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面

2、垂直于杆件杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线产生相对转动杆的任意两横截面将绕轴线产生相对转动，这种受力与变形形式称为这种受力与变形形式称为扭转扭转（torsiontorsion）汽车转向轴汽车转向轴传动轴传动轴假设假设：圆轴扭转变形后。v横截面上各点无轴向变形，故。v横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故。v各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面。圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力1 1、扭转变形、扭转变形受力特点受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件

3、轴线的力偶。且作用面垂直于杆件轴线的力偶。变形特点变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对转动的变形。这种变形称为转动的变形。这种变形称为。扭转时杆件两个横截面相对转动扭转时杆件两个横截面相对转动的角度称为的角度称为扭转角扭转角-以扭转为主的杆件通常称为以扭转为主的杆件通常称为轴轴。截面形状为圆形的轴称为截面形状为圆形的轴称为圆轴圆轴。本章主要讨论圆轴本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。2 2、按输入功率和转速计算、按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶每秒作功完成：外

4、力偶每秒作功完成：1000(N.m)WP260nWm如果功率如果功率P P的单位用马力（的单位用马力（1 1马力马力=735.5 W= 0.7355=735.5 W= 0.7355 k kWW ），则），则600009549N m2PPmnn7024N mr/minPmn马力外力偶矩计算外力偶矩计算 扭转内力扭转内力外力偶矩的计算外力偶矩的计算转速转速：n (转转/分分)输入功率输入功率：N(kW)m1分钟输入功：分钟输入功：N600001000N60W 1分钟分钟m 作功：作功：WW nm21n2mmWNmnN9550m 单位单位力偶在单位时间内所作之功即功率力偶在单位时间内所作之功即功率P

5、，等于力偶之矩，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。与相应角速度的乘积。二、功率、转速和外力偶矩之间的关系二、功率、转速和外力偶矩之间的关系 工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下nPm9549kWmin/rmN三、扭矩和扭矩图三、扭矩和扭矩图截面法：截面法：mT T为圆轴扭转时截面上的内力为圆轴扭转时截面上的内力-扭矩扭矩扭矩正负的规定：按右手螺旋法则扭矩正负的规定：按右手螺旋法则扭矩图扭矩图： 圆轴扭转时的内力及内力图圆轴扭

6、转时的内力及内力图1、圆轴扭转时的内力圆轴扭转时的内力-扭矩扭矩以扭转变形为主的杆以扭转变形为主的杆-轴轴扭转时的内力称为扭矩扭转时的内力称为扭矩2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mmmMn0MX0mMnmMn3、扭矩正负号的规定、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手法则：确定扭矩方向的右手法则：4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。扭矩正负号：扭矩正负号：外力偶矩正负号的规定外力偶矩正负号的规定和所有外力的规定一样，和所有外力的规定一样，与坐标轴同向为正，反向为负与坐标轴同向为正，反向为负指向截面指

7、向截面离开截面离开截面T = Me2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图用截面法研究横用截面法研究横截面上的内力截面上的内力扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩图扭矩图 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图4 4、扭矩图、扭矩图扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示计算外力偶矩计算外力偶矩mNnNMmNnNMMmNnNMDDBCBA

8、A63795505 .477955015929550作扭矩图作扭矩图Tnmax=955NmMBMCMDMABCAD477.5Nm955Nm637NmTn例例 已知已知A轮输入功率为轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。，画出该轴扭矩图。例例 传动轴如图所示，转速传动轴如图所示，转速 n n = 500 = 500转转/ /分钟，主动轮分钟，主动轮B B输入功输入功率率N NB B= 10= 10KWKW，A A、C C为从动轮，输出功率分别为为从动轮，输出功率分别为 N NA A= 4= 4

9、KWKW ， N NC C= = 6 6KWKW，试计算该轴的扭矩。试计算该轴的扭矩。ABC先计算外力偶矩先计算外力偶矩Nm4 .7650049550nN9550mAANm191500109550nN9550mBBNm6 .11450069550nN9550mCC计算扭矩：计算扭矩：AB段段mAMn1设为正的设为正的xxMn10MX0mMA1nNm4 .76mMA1nBC段段Mn2设为正的设为正的Nm6 .114M2nmcMn20MX二、扭矩二、扭矩T T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆横截面上产生的内力，称为横截面上产生的内力，称为扭矩扭矩

10、T T，单位为，单位为KN.mKN.m或或N.mN.m如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手四指与扭矩转向一致，右手四指与扭矩转向一致，拇指指向截面外法线方向为拇指指向截面外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)外力偶矩计算外力偶矩计算 扭转内力扭转内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图3 3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “ “T T”的转向与截面

11、外法线方向满足右手螺旋法则。让的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让其它四指与其它四指与T T转向一致，右手拇指指向外法线为正。转向一致，右手拇指指向外法线为正。扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 1 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。mmmTmTmTmx00 x 2 2 截面法求扭矩截面法求扭矩4 4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时

12、，轴轴各段横截面上的扭矩将是各段横截面上的扭矩将是的，这时需用的，这时需用确确定各段横截面上的扭矩。定各段横截面上的扭矩。外力偶矩计算外力偶矩计算 扭转内力扭转内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为的单位为N.mN.m，尺寸单位为，尺寸单位为mmmm。 试试 ：画出圆轴的扭矩图。：画出圆轴的扭矩图。 例题例题外力偶矩计算外力偶矩计算 扭转内力扭转内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图110315 0315xMTT 220315 315 063

13、0 xMTT 330486 0486xMTT 例例 如图，主动轮如图，主动轮A A的输入功率的输入功率P PA A=36kW=36kW，从动轮，从动轮B B、C C、D D输输出功率分别为出功率分别为P PB B=P=PC C=11kW=11kW，P PD D=14kW=14kW，轴的转速，轴的转速n=300r/minn=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。试画出传动轴的扭矩图。3507004463695491146 .300AMN m119549350 .300BCMMN m149549446 .300DMN m1350.BTMN m 2()700BCTMMN m 3446DTM(kN

14、m)TTM截面一侧从最外母线看，外力偶切线方向与从最外母线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。扭矩图从左到右突变方向相同。 例例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.mnA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（

15、扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBCBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37讨论题取左边部分取左边部分平衡平衡由平衡方程：由平衡方程： 0MT 假想切面假想切面外力偶外力偶 内力偶内力偶 由平衡方程：由平衡方程： TMT0取右边部分取右边部分假想切面假想切面取左边部分取左边部分平衡平衡外力偶外力偶 扭矩扭矩 扭矩扭矩外力偶外力偶 平衡

16、平衡T 和和T 是同一截面上的内力，应当有是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。相同的大小和正负。32负负正正33201 10mkN20mkN10mkN10 xomkNT/mkN10TmkNTAB10AB段段：mkN20TmkNTBC 20BC段段：345kN5kN3kN+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN 向：201 10mkNT/按右手法确定按右手法确定 向mkN20mkN10mkN10 xo35nPMAA55. 9mkN46. 570040055. 9nPMMBCB55. 9mkN64. 170012055. 9nPMDD55. 9mkN18. 270016055. 9m

17、NT3280mkNMmkNMMmkNMDCBA18. 264. 146. 5BC段段mkNT64. 11CA段段mkNT28. 32AD段段mkNT18. 23T1T2 T3ACBDT /kN.m1.643.282.18mNMmNMMmNMDCBA218016405460：3.282.18ACBDT /kN.m按右手法确定按右手法确定 向1.642010按右手法确定按右手法确定 向xo40kN.m20kN.m10kN.m10kN.mmkNT/20 xo40kN.m10kN.m10kN.mAM求反力偶：求反力偶：mkNMA 202010按右手法确定按右手法确定 向mkNT/20用截面法求扭矩用截

18、面法求扭矩 留左半，求扭矩留左半，求扭矩 留右半，求扭矩留右半，求扭矩 扭矩的扭矩的xMB351702468MADABCMBMCMDIMBMCMDT(Nm)MADABCMBMCMDT(Nm)351702468MADABCMBMCMDT(Nm)3517024683 . 标明特殊截面的内力标明特殊截面的内力 数值数值变形体静力学的基本研究思路：变形体静力学的基本研究思路：+圆周线相对旋转了一个角度，形状、尺寸、相邻圆周线之间的距离无变化。纵向线仍近似直线，只是倾斜了一个微小角度。矩形变成菱形。应力应力内力分布内力分布1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线）在圆轴的外表面上纵向作平行直线2）在圆轴的外表

19、面上横向作平行圆周线）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线abcdabcd静力关系静力关系几何关系几何关系物理关系物理关系变形几何规律变形几何规律实验观察实验观察3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。，观察变形。abcdabcdabcdMM3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。，观察变形。4）观察变形）观察变形abcdab c d 提出假设：提出假设： ac、bd代表的是两个横截面代表的是两个横截面横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴转过一定的角度，仍维持为圆截面。转过一定的角度

20、，仍维持为圆截面。平面假设成立平面假设成立!1）平面假设成立）平面假设成立2）轴向无伸缩）轴向无伸缩3）纵向线变形后仍为平行直线）纵向线变形后仍为平行直线4）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度）横截面上同一圆周上所有的点绕轴心转过相同的角度观察到的变形：观察到的变形：abcdabcd受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格方格,然后加载。然后加载。mm(1) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变离没有改变根据以上实验现象根据以上实验现象,可得结论：可

21、得结论：圆筒横截面上没有正应力，只有剪应圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径于半径。观察到如下现象：观察到如下现象：mm剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径TT根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式上式的误差不超过的误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。rATA ddAdArATAdrrtT 2trT22r实验现象：实验现象：（1 1）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无）各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离均无变化，只是绕轴线转了不

22、同的角度；变化，只是绕轴线转了不同的角度；（2 2）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同）所有纵向线仍近似地为一条直线，只是都倾斜了同一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。一个角度，使原来的矩形变成平行四边形。平面假设：平面假设： 圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小圆轴受扭前的横截面，变形后仍保持为平面，且大小与形状不变，半径仍保持为直线。与形状不变，半径仍保持为直线。推论：推论：（1 1）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，）横截面上各点均发生剪应变，因而必然有剪应力存在，且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；且为与半径方向垂直的圆周方向的剪应力；（2 2）变

23、形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，）变形时相邻横截面间距离不变，圆轴没有伸长或缩短，线应变等于零，所以正应力为零。线应变等于零，所以正应力为零。变形几何关系：变形几何关系：dxRddxAAdxddxEEdxd单位长度扭转角，用单位长度扭转角，用 表示。对于表示。对于同一截面各点，同一截面各点， 是常量。是常量。E EEEbb1a剪切剪切胡克定律胡克定律薄壁圆筒实验的结果表明：剪应力与剪应变之薄壁圆筒实验的结果表明：剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系间存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应即当剪应力不超过材料的剪切比例极限力不超过材料的剪切比例极限p时时,剪应力与剪

24、剪应力与剪应变成正比应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切剪切胡克定律胡克定律。 G 剪切弹性模量剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比GE2 1 ()对于各向同性材料对于各向同性材料, E、G、 三个弹性常数之三个弹性常数之间存在着如下关系间存在着如下关系: 从上式中可看出：只要知道其中两个，就可从上式中可看出：只要知道其中两个，就可求出第三个。因此，三个弹性常数中只有两个求出第三个。因此，三个弹性常数中只有两个是独立的。是独立的。圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规律：圆轴扭转时横截面上各点的剪应变变化规

25、律： 圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为 的同一圆周上各点的剪应变相等。的同一圆周上各点的剪应变相等。二、利用物理关系求剪应力分布规律二、利用物理关系求剪应力分布规律 GdxdGG 剪切虎克定律剪切虎克定律圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律：圆轴扭转时横截面上各点的剪应力变化规律： 圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离圆轴横截面上某一点的剪应力大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在

26、半径为 的同一的同一圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。圆周上各点的剪应力均相等，其方向与半径相垂直。剪应变的变化规律： 现从圆轴中取出长为dx的微段,若截面nn对mm的相对转角为 d根据平面假设可知：横截面 nn相对于mm象刚性平面一样，绕d角，半径oa也转过了一个 d角到达oa。 轴线转了一个 于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是： Rdaa dxdabeeeedR直角abc的角度改变量： dxdRadaa（a） 圆截面a点处的剪应变，在垂直于半径oa的平面内。 同样道理：在距离圆心

27、为处的剪应变为： ddx（b） 讨论：讨论：由图中可看出：（a）(b)两式中的 dxd为扭转角 沿轴线x的变化率。对某一给定的截面来说 dxd=常量。 由此和(b)式可得出剪应力的变化规律如下：2、物理关系：、物理关系：将剪切虎克定律代入上面的剪应变公式（b）中。 GdxddxdG （4-2） 讨论：由于对于某一特定的横截面 dxd=常数。 故由（4-2）式可看出： 再根据剪应力互等定理可知：在纵截面和横截面上，沿半径剪应力的分布规律如图所示： 对于某一特定的横截面来说 与 成正比。又因为 发生在垂直于半径的平面 内，所以 也与半径垂直。d3、静力学关系：、静力学关系： 虽然前面已经求出了（4

28、-2）式，但由于（4-2）式中的 dxd尚未求出，所以仍然无法用它计算剪应力，为此，我们还必须来研究静力平衡关系。 （1）公式推导： 如图所示在横截面内取环形微分面积dA ddA 2由于 d很微小，故可认为在环形面积内， =常量。 将微面积上的剪应力对o点取力偶矩，可得：d0dA 则：整个横截面上的扭矩， ATdA dxdG故：22pAAdddTGdAGdAG Idxdxdx截面极惯性矩截面极惯性矩2pAIdA（4-3）令：（2） 讨论：讨论：maxtTW 由公式可见，当R时。m axRpTRI代入，得：用ptIWR（4-5）pdTG IdxdGdxPTI（4-4）则：则：R0T称为抗扭截面模

29、量tWTITWptmaxmaxmax时的情况。pmaxb. 当圆形截面沿轴线的变化缓慢时，例如小锥度的圆锥形杆， 也可近似的应用以上公式。c. 由于在推导上述公式时运用了虎克定律，因此只适用于a. 由于上述公式是在平面假设的基础上导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此上述公式只适用于等直圆杆。pI（3） 求解截面极惯性矩和抗扭截面模量Wt公式4-3，4-4，4-5的适用范围：doIApA2d 2022dd/2302dd/2244dd432WItpmaxIdp2d316实心圆轴：实心圆轴：空心圆轴：外径空心圆轴：外径D，内径，内径dIApA2d 2222ddD/(

30、)Dd4432WItpmaxIDp2D34161 ()D44132()Dd极惯性矩：实心圆：空心圆：抗扭截面模量：实心圆：空心圆：Idp432IDdDp()()444432321Wdt316WDt34161()Dd二、强度条件max不超过材料的许用剪切应力 。 故强度条件为： 同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍然是： max讨论讨论：的确定max处），即：发生在Tmax 处（扭转最大的截面 对于等截面直杆，max maxmaxtTW（4-9）（4-10）三、利用静力学关系求剪应力的大小三、利用静力学关系求剪应力的大小( ( 剪应力对圆心的合力矩即截面上的扭矩剪应力对圆心的合力矩

31、即截面上的扭矩) )dAdTTAAdAdxdGdATAA2dAdxdGTA2dAA 2 式中的积分式中的积分 是一个只决是一个只决定于横截面的形状和大小的几何定于横截面的形状和大小的几何量，称为量，称为横截面对形心的横截面对形心的，用，用IpIp表示。表示。T TT TT TdAAp 2 PGITdxdppITGITGdxdG应力计算式应力计算式：pITGIP 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的为圆轴的。pITRmax令令抗扭截面模量抗扭截面模量WpTmaxdxbdacRxAdxxMM dxx dA dAAbd 取一小段取一小段dx圆轴研究之，如上图示圆轴

32、研究之，如上图示OO外表面上：外表面上：bbdxdR 内部内部A： AAdxd dxbdacRxAdxx dA dAAbd 同一截面上（选择了参考面后），同一截面上（选择了参考面后）， 相同相同dxd -单位长度上横截面的相对扭转角单位长度上横截面的相对扭转角dxd 变形几何规律变形几何规律dxdG P当当时，时， G （剪切胡克定律）（剪切胡克定律）剪应力分布规律：剪应力分布规律：3）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动，）从变形可以看出，没有长度的变化，只有相对的转动， 横截面上点沿圆周线位移，横截面上点沿圆周线位移， 与半径线垂直，且顺着与半径线垂直，且顺着 T的方向。的方向。

33、1）同一截面上，）同一截面上， 与与 成正比，即成正比，即 沿半径线线性分布沿半径线线性分布2）同一截面上，）同一截面上， 在同一圆周上有相同的大小。在同一圆周上有相同的大小。T TdxbdacRx dAAbd x dATD 横截面上内力系合成的结果横截面上内力系合成的结果dA TT内力合力内力合力T AdAdxdG2 令令 dAIP2 横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩AAdTdAGdAdx 仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。仅与图形的面积分布有关而与外界条件无关，反映截面性质的量。PIdxdGT PIGTdxd PITdxdG maxPPT RTIWPPI

34、WR抗扭截面系数，与截面的大小、抗扭截面系数，与截面的大小、形状、尺寸等有关。形状、尺寸等有关。1、圆轴扭转、圆轴扭转2、弹性范围内、弹性范围内p max dD1、实心圆轴、实心圆轴 RPddAI0222 3116PWD4432121DR 2 2、空心圆轴、空心圆轴)1(321)(3214444 DdD)(2124422rRddAIRrP 341(1)16PWDDd max maxPWT max 2、设计截面尺寸：、设计截面尺寸：,max PTW3、设计载荷：、设计载荷：max ;PTW )(maxTfP 1、校核强度：、校核强度：其中其中 称为许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：称为

35、许用剪应力。依此强度准则可进行三种强度计算：扭转变形、扭转刚度条件扭转变形、扭转刚度条件pGITl 1、扭转变形、扭转变形扭转角扭转角为了描述扭转变形的变形程度，为了描述扭转变形的变形程度，引入单位长度扭转角的概念。引入单位长度扭转角的概念。物理意义物理意义：相距单位长度的两横相距单位长度的两横截面在扭转变形过程中相对错动截面在扭转变形过程中相对错动的角度。的角度。pGITl单位单位m/rad或或m/dxdGG-(3)dxOCDrC D doTdAAdxdGG-(3)TdAdxdGA2odATdAdxdGA2 令：令：AdAI2ITdxdG-(4)oTWTIrT/max AdAI2 )1 (3

36、232)(244442/2/3 DdDdIDd)1 (3244DI )1 (3244DI)1(1643 DWT=d/D=0324DI dx -(1)d / +dxdGG -(2)+ATdAdxdG 2 -(3)-(4) GITdxd/ -(5)相同相同相同相同不同不同)1 (3244DI324DI )1 (3244DI)1(1643 DWT四、圆截面的四、圆截面的I p 与与 W p 的计算的计算实心轴实心轴空心轴空心轴令令则则实心轴与空心轴实心轴与空心轴 I Ip p 与与 W Wp p 对比对比 应力分布应力分布（空心截面）（实心截面）GITdxd/dxOCDrC D dd LBA GIL

37、TAB/ 1161311111maxDdDTWTT)24/18(1 241610150433MPa8 .80N-mm-Mpa单位制单位制 22 18 2410001000ABC1501001162322222maxDdDTWTT)22/18(1 221610100433MPa7 .86 22 18 2410001000ABC150100radGIlT2GIT1BCBCABlABAC183.0 maxmax/maxssAFN/max TWT180max GI T/max TWT180max GIT324DI 163DWT mNT32803.282.18ACBDT /kN.m1.643max16T

38、D mm75361040328016)(10753m2) 按刚度设计，有：按刚度设计，有：mmD7518032/1804max DGTGIMT则有：则有：42max18032 G TD 42911080180328032 )(109 .693m mm70 =76.4mm34 max)1 (16 TD3641040)5 . 01 (328016 按刚度设按刚度设计，有：计，有：18032/)1 (44max DGTmax则有：则有：=71mm44291)1 (1080180328032 Dmaxmax TT16/ )1 (43max DWT)5 . 0( 1/ )1 ()2/()2/()2/(2

39、222 LDLDD实心轴实心轴空心轴空心轴16/3maxmax DMWTT16/3D mkNmmN.7 .15.107 .1516/1008063 maxTWT /maxs sAFN/smaxTWTssAFN180GIMT)1 (3244DI324DI)1 (1643DWT163DWT2、扭转刚度条件、扭转刚度条件 pGIT以每米弧度为单位时以每米弧度为单位时以每米度为单位时以每米度为单位时 180pGIT 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=T=19301930N Nm m, ,传动传动轴用外径轴用外径D D=89=89mmmm、壁厚、壁厚 =2.5=2.5m

40、mmm的钢管做成。材料为的钢管做成。材料为2020号号钢，钢， =70=70MPaMPa. .校核此轴的强度。校核此轴的强度。29)945.01(9.82.0)1(2.0945.04343 DWDdT 70MPa66.7MPaPa107661029193066.WTTmax 5 5吨单梁吊车，吨单梁吊车，NKNK=3.7=3.7kWkW, ,n n=32.6r/min.=32.6r/min.试选择传动轴试选择传动轴CDCD的直径，并校核其扭转刚度。轴用的直径，并校核其扭转刚度。轴用4545号钢，号钢， =40=40MPaMPa, ,G G=80=8010103 3MPaMPa, , = 1 /

41、= 1 /m m。kW85. 127 . 32 kkNN轮轮5436 .3285. 195509550 nNTTk轮轮轮轮cm07. 4m0407. 010402 . 0543 2 . 02 . 03633 TdTdTWT由强度条件得m1m945. 014. 3180045. 01 . 0108054318049 pGIT 一传动轴，已知一传动轴，已知d=4 5cm,n=300r/min。主动轮输入功率。主动轮输入功率NA=36 7kW, ,从动轮从动轮B、C、D输出的功率输出的功率NB=14 7kw,NC=ND=11kW。轴的材料。轴的材料为为4545号钢，号钢，G=80 103MPa，=4

42、0MPa,=2 /m，试校核轴的强度和刚度。，试校核轴的强度和刚度。mN3513001195509550mN4683007 .1495509550mN11703007 .3695509550 nNTTnNTnNTCDCBBAAmN3513514681170mN7024681170mN468321 CBABABTTTTTTTTTmN702max T40MPaMPa8 .38Pa108 .38045.02 .070263maxmax TWTm2m23. 114. 3180045. 01 . 0108070218049maxmax pGIT、扭转应力、扭转应力切应力切应力A、根据以上结论：扭转变形横

43、截面上的切应力分布如图a)所示横截面上任一点处横截面上任一点处的切应力的大小的切应力的大小 与该点到圆心的距与该点到圆心的距离离 成正比。成正比。B B、切应力计算公式、切应力计算公式令令抗扭截面系数抗扭截面系数T为横截面的扭矩 为横截面上欲求应力的点处到圆心的距离Ip为横截面对圆心的极惯性矩。C. C. IpIp 与与 WpWp 的计算的计算实心轴实心轴极惯性矩Ir/mm4抗扭截面系数Wn/mm3 440.132DID4n33/3220.216IDDWRDD444444(1)3232320.1(1)DdDID34n341160.21IDWRD圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形PGITdxddx

44、GITdPdxGITlP0*若为等扭矩、等截面若为等扭矩、等截面PGITl*若为阶梯扭矩、阶梯截面若为阶梯扭矩、阶梯截面PiiiiIGlTGIpGIp：抗扭刚度单位长度扭转角：单位长度扭转角：PGITl圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算一、圆轴扭转时的强度条件一、圆轴扭转时的强度条件 PWTmax1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：五、圆轴扭转时的强五、圆轴扭转时的强 刚度设计刚度设计 PWTmaxmax maxmax)(PWT二、圆轴扭转时的刚度条件二、圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 米单位为弧度

45、最大单位长度扭转角/, - rad/m maxmaxPGIT180pGIT若若 的单位用的单位用 /m/m，则刚度条件式为：，则刚度条件式为：许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素许用单位扭转角是根据载荷性质和工作条件等因素决定，具体数值可从机械设计手册查得。决定，具体数值可从机械设计手册查得。应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决应用扭转的强度和刚度条件同样可以解决校核、设计和确定许用载荷三大类问题校核、设计和确定许用载荷三大类问题/m/m扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T 、D 和和，校核强度校核强度已知已知T 和和， 设计截面设计截面已知已知D 和和，确定许可

46、载荷确定许可载荷已知已知T 、D 和和 ，校核刚度校核刚度已知已知T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D 和和 ， 确定许可载荷确定许可载荷 PWTmax180pGIT圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算已知：已知：P7.5kW， n=100r/min，最大，最大剪应力剪应力不得超过不得超过40MPa，空心圆轴的内，空心圆轴的内外直径之比外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作

47、用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.dmNnPT2 .7161005 . 795499549MPadTWTp40163111max已知：已知：P7.5kW, n=100r/min，最大切，最大切应力应力不得超过不得超过40MPa，空心圆轴的内外，空心圆轴的内外直径之比直径之比 = 0.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直和空心轴的外直径径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax23422

48、1640MPa1xxPMMWDTTTT确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶矩。 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最

49、后进行轴的强度及刚度计算。 M=9550 P/nM外力偶矩，Nm；P轴传递的功率，kW；n轴的转速，r/min。 工程实际中，作用于轴上的外力偶矩，一般并不是直接给出的，而是根据所给定轴的转速n和轴传递的功率P，通过公式确定： 扭矩的正负号规定扭矩的正负号规定 为了使不论取左段或右段求得的扭矩的大小、符号都一致，对扭矩的正负号规定如下： 按，四指顺着扭矩的转向握住轴线，大拇指的指向离开截面时(与横截面的外法线方向一致)，扭矩为正；反之,拇指的方向指向截面时(与横截面的外法线方向)，扭矩为负。 解题前须知： （1）当圆轴有多个外力偶作用时，应在选取截面来求解其内力。（2）在外力偶矩作用处，其扭矩

50、等于该截面上外力偶矩的数值。（）当横截面上的扭矩的实际转向未知时，一般先假设扭矩为正。若求得结果为正则表示扭矩实际转向与假设相同；若求得结果为负则表示扭矩实际转向与假设相反。 传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知。已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d