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1、,高中数学高一年级,8.6.1直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定,目标导航,复习引入,空间中两条直线的位置关系,相交直线,平行直线,异面直线,在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度,如图.,在空间,如图所示,正方体ABCDEFGH中,异面直线AB相对于HF的倾斜程度可以怎样来刻画呢?,异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb则把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,如果两条异面
2、直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为ab,新课探究,新课探究,思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?,aa,aaaa(基本事实4),解答：如图,设a与b相交所成的角为1,a与b所成的角为2,又bb,1=2(等角定理),答:这个角的大小与O点的位置无关.,在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等),知识总结,锐角(或直角),090,90,ab,当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为,方法总结,求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角（或其补角）为所求的异面直线
3、所成的角三求：在一恰当的三角形中求出角,作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线);中位线平移法;补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).,例1、如图，已知正方体ABCDABCD中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？（2）直线BA和CC所成的角是多少？（3）直线BA和AC所成的角是多少？,解：（1）,（2）由可知，（或其补角）是异面直线与所成的角,所以异面直线与所成的角为450。,巩固练习,例1、如图，已知正方体ABCDABCD中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？（2）直线BA和CC所成的角是多少？（3
4、）直线BA和AC所成的角是多少？,（3）如图，连接AC.因为ABCDABCD是正方体，所以AA与CC平行且相等.可得四边形ACCA为平行四边形.所以AC可平移至AC.连接BC，易证ABC为等边三角形，从而求得直线BA与AC所成角为60。,巩固练习,巩固练习,例2、在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为()A.150B.60C.120D.30,取AC的中点M，连接EM，FM.,M,则EMBC，FMAD，EM=FM=1，所以EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成角.在MEF中，cosEMF=所以EMF=150.所以异面
5、直线AD与BC所成角的大小为30.,实例导入,问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？,一条直线与一个平面垂直的意义是什么？,旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直,与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,直线垂直于平面内的任意一条直线,新课探究,新课探究,直线与平面垂直的定义：,如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直记作：l,l叫做的垂线,叫做l的垂面,l与的唯一公共点P叫做垂足。,说明：l等价于对任意的直线m，都有lm.,符号语言：任意a，都有la.,三、应用新知,三、应用新知,画直线与
6、平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,新课探究,1.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.2.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.,点到该平面的距离：,新课探究,直线与平面垂直的判定定理：,一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.,作用：线线垂直线面垂直,符号语言：l.,新课探究,巩固练习,如图,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,求证:BCPC.,析：首先利用PA平面ABC得到PABC,然后根据圆的性质得到ACBC,进而利用线面垂直判定定理证得BC平面PAC,从而得到BCPC.,证明:PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB是O的直径,BCAC.又PAAC=A,BC平面PAC.PC平面PAC,BCPC.,延时符,总结提升,直角,互相垂直,ab,锐角或直角,延时符,总结提升,任意一条,垂线,垂面,垂足,延时符,总结提升,两条相交,延时符,课后作业,作业：1.课堂练习。2.课后练习。,