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1、第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念【基础知识梳理】1向量：既有大小又有方向的量叫向量 .2有向线段：具有方向的线段叫有向线段.3长度：向量的大小称为向量的长度（或称模），记作. 4零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作. 5单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.6平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任意向量平行.7相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.8共线向量：平行向量也叫共线向量.【重难点探究】1相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量与 相等，记作=. 2共线向量：任一祖平行向量都可以平移到同一条直线上，
2、因此，平行向量也叫做共线向量.6.2平面向量的运算【基础知识梳理】1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2相反向量：我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-，和-互为相反向量.3向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法.4向量的数乘：我们规定实数与向量的积是 一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1）， （2）当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与 的方向相反，由（1）可知，当=0时，由（1）（2）可知，.5运算律：(1) (2) (3) (4) .6线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结
3、果仍是向量.7向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.8夹角：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，则，叫做向量与的夹角.9垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作.10数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或內积），记作，即. 规定：零向量与任意向量的数量积为0.11投影：设，是两个非零向量，我们考虑如下的变换，过的起点A和终点B，分别做所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.【重难点探究】1向量加法的三角形法则：已知非零向量，在平面内取任意一点A，做，则向量叫做与的和，记作，即，这种求向量和
4、的方法，称为向量加法的三角形法则.2向量加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，以OA，OB为邻边作，则以O为起点的向量（OC是的对角线）就是向量与的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.3向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.4数量积的性质：设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则(1) .(2) .(3)当 与 同向时，；当 与 反向时，.特别地，或 . 此外，由还可得到：(4) .5数量积的运算律：(1) ；(2) ；(3) .6.3平面向量基本定理及坐标表示【基础知识梳理】1平面向量基
5、本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.2基底:若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.3正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.4向量的坐标表示：平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作. 其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.5两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.6一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.7实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【重难点探究】1两
6、个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.由此可得(1)若，则，或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么，.(2)设，则.2设，都是非零向量，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.6.4平面向量的应用【基础知识梳理】1向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2解三角形：三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
7、.【重难点探究】1余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍.即a2=b2+c22bccosA，b2=c2+a22accosB，c2=a2+b22abcosC.由余弦定理，可以得到如下推论：.2正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.第七章复数7.1复数的概念【基础知识梳理】1复数：我们把形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.2复数集：全体复数所构成的集合叫做复数集.3实部、虚部：复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.4虚数、纯虚数：对于复数，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实
8、数0；当b0时，它叫做虚数；当a=0且b0时，它叫做纯虚数.5复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.6模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或.即，其中.7共轭复数：一般地。当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.【重难点探究】1复数的几何意义：复数复平面内的点 复数平面向量.7.2复数的四则运算【基础知识梳理】1复数的加法法则：设， 是任意两个复数，那么它们的和.2复数加法交换律、结合律：对任意，有，.3复数的乘法法则：设是任意两个复数，那么它们的积.第八章立体几何初步8.1基本立体图形【基础知识梳理】1空间几何体：如果只
9、考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他元素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.3面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.4棱：两个面的公共边叫做多面体的棱.5顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.6旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.7轴：这条定直线叫做旋转体的轴.8棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.9棱柱的底面、侧面：在棱柱中，两个互相平行的面
10、叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫棱柱的侧面，它们都是平行四边形.10棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.11棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.12直棱柱、斜棱柱：一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；侧棱不垂直与底面的棱柱叫做斜棱柱.13正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.14平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体.15棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的多面体叫做棱锥.16棱锥的底面：这个多边形面叫做棱锥的底面.17棱锥的侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面.18棱锥的侧棱：相
11、邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.19棱锥的顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.20正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.21棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.22棱台的下底面、上底面：在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.23圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.24圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴.25圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面.26圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.27圆柱侧面的母线：无论旋转到什
12、么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.28圆锥：以直角三角形的一边直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.29圆台：与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.30球体：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.31球心：半圆的圆心叫做球的球心.32半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径.33直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.8.2立体图形的直观图【重难点探究】1斜二测画法：利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面
13、图形的直观图，其步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使，它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.8.3简单几何体的表面积与体积【基础知识梳理】1表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.2棱柱的高：是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底
14、面的交点）之间的距离.3棱锥的高：是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.4棱台的高：是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.【重难点探究】1棱柱的体积：一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积.2棱锥的体积：一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积.3棱台的体积：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式，其中，分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.4圆柱表面积：.5圆锥表面积：.6圆台表面积：.7圆柱的体积：.8圆锥的体积：.9圆台的体积：.10球的表面积：.11球的体积：.8.
15、4空间点、直线、平面之间的位置关系【基础知识梳理】1平面：平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的.2图形表示：我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.3字母表示：常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它们写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.4异面直线：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.【重难点探究】1平面的基本性质
16、：（1）过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.符号语言：A,B,C三点不共线有且只有一个平面使.（2）如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.符号语言：.（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言：.推论：（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面.（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面.2两条直线的位置关系：3直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点； （2）直线与平面相交有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行没有公共点. 当直线与平面相交或平行时，直
17、线不在平面内，也称为直线在平面外.符号语言：直线a与平面相交于点A，记作；直线a与平面平行，记作.4两个平面的位置关系：（1）两个平面平行没有公共点； （2）两个平面相交有一条公共直线. 符号表示：平面与平面平行，记作.8.5空间直线、平面的平行【重难点探究】1平面的基本性质：（4）平行于同一条直线的两条直线平行.2等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号表示：.4直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
18、.5平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.符号表示：6两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.8.6空间直线、平面的垂直【基础知识梳理】1异面直线所成角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直，我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2异面直线互相垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作.3异面直线所成角的范围：当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为.所以空间两条直线所成角的取值范围是4线面垂直定
19、义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.5过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.6垂线段：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.7点到面的距离：垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.8平面和直线所成的角：平面上的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.9线面角所成角的范围：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.直线与平面所成的角的取值范围
20、是.10直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.11两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离.12二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.13二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是.14两个平面互相垂直：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面
21、角的直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.【重难点探究】1直线与平面垂直的定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.2直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.3平面互相垂直的定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.4平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.5三种垂直的关系：. 对于任意，有 （交换律），（结合律），（分配律）.【重难点探究】1复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法
22、来进行，这就是复数加法的几何意义.2复数的减法：复数的减法是加法的逆运算，即把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作.第九章统计9.1随机抽样【基础知识梳理】1全面普查：像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.2总体：我们把调查对象的全体称为总体.3个体：组成总体的每一个调查对象称为个体.4抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.5样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本.6样本量：样本中包含的个体数称为样本量.7简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽
23、样.8分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，在把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.9比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.【重难点探究】1总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数.2样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数.9.2用样本估计总体【基础知识梳理】1频数：将样本数据按
24、特征分成若干个小组，各组内数据的个数称为该组的频数.2频率分布表：为了直观地表示样本的频率分布情况，通常将样本的容量、样本中该事件出现的次数以及相应的频率列在一张表中，这样的表格就叫做频率分布表.3百分位数：把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间（13.6,13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第80百分位数，或80%分位数.4第p百分数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的
25、数据大于或等于这个值.5四分位数：在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分数，第75百分数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等分，因此称为四分位数.【重难点探究】1画频率分布表、频率分布直方图的步骤： （1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值得差.（2）决定组距和组数：数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多.当样本容量不超过100时，常分为.为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 分组时可以先确定组距，也可以先确定组数；.（3）将数据分组：我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值
26、.（4）列频率分布表：计算各小组的频率，.（5）画频率分布直方图：横轴为所调查的量，纵轴表示.2方差、标准差、总体方差，总体标准差，样本方差，样本标准差假设一组数据是，用表示这组数据的平均数.我们用每组数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即（i=1,2,n）作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为.为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即.方差：.标准差：.如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则第十章概率10.1随机事件与概率【基础知识梳理】1随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示.2样本点：我们把随机试验E的每个可
27、能的基本结果称为样本点，用表示样本点.3样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，我们用表示样本空间.4有限样本空间：如果在一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间为有限样本空间.5随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了表述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母表示.6基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件.7事件A发生：在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.8必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.9包含：一般地，若
28、事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作（或）.10相等：特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等，记作A=B.11并（和）事件：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作（或）12交（积）事件：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）.13互斥：一般地，如果事件A 与事件B不能同时发生，也就是说
29、是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）.14互相对立：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即,且，那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件，记为.15概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用 表示.16古典概率模型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概率.（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.【重难点探究】1一般地，设试验E是古典模型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率.其中，和
30、分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.2概率的性质（1）对任意的事件A，都有.（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，.（3）如果事件A与事件B互斥，那么.（4）如果事件A与事件B互为对立事件，那么，.（5）如果，那么.（6）设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有.10.2事件的相互独立性【重难点探究】1相互独立：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B 相互独立，简称为独立.2如果三个事件A，B，C两两互斥，那么概率加法公式成立.但当三个事件A，B，C两两独立时，等式一般不成立.10.3频率与概率【基础知识梳理】1频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增加，频率偏离
31、概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此可以用频率估计概率.总体方差：；总体标准差：.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（）个，不妨记为，其中出现的频数为(i=1,2,k)，则总体方差：.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则样本方差：；样本标准差：.3复数减法的几何意义：两个复数在复平面内对应的向量分别是，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量.4复数除法的法则：.7.3复数的三角表示【基础知识梳理】1复数的三角形式：一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角. 叫做复数的三角表示，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.2辐角的主值：我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.【重难点探究】 1复数乘法运算的三角表示：设，则. 也就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.2复数除法运算的三角表示：设，且 则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数辐角所得的差.