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1、第4课时函数的奇偶性与周期性f(x)f(x) f(x)f(x) 原点 原点 y轴 0 一致 相反 偶 奇 奇 奇 奇 5.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(xT)f(x)存在一个最小注意：并不是所有函数都有最小正周期，比如注意：并不是所有函数都有最小正周期，比如f(x)=5.ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)= f(2a-x) f(a
2、-x)=f(a+x)ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 f(x)= f(-x)特例：特例：a=0（1）轴对称性）轴对称性思考？思考？ 若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2x= 直线直线xa6、函数的对称性、函数的对称性（2）中心对称性）中心对称性f(x)=-f(2a-x)或或 f(a-x)=-f(a+x) y=f(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称f(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)或或 y=f(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称若若y=f(x)满足满足f(a-x
3、)=-f(b+x), 若若y=f(x)满足满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2( ,0 )点点则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2( ,c )点点f(x)=-f(2a-x)或或f(a-x)=-f(a+x)xyo a中心对称性中心对称性 a+x a-xy=f(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称baf(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心对称性中心对称性 y=f(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称类比探究类比探究xyo22,0,(7) ( ),0,xx xf xxx x222 ,0,(
4、8) ( )2 ,0,xx xf xxx x解解 当x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x).函数为奇函数.解析答案思维升华易错分析 解题中忽视函数解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算的定义域，直接通过计算f(0)0得得k1.由由f(x)f(x)0可得可得k21，k1.答案答案 1 1 即ln(ax2x2)0，a1.1解析答案抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性练习.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f
5、(x1)f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围.解解对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.解析答案(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；f(x)为偶函数.证明证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数.解析答案(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围.解解 依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16).又f(x)在(0，)上是增函数.0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1.解析答案返回（1）（2）（1）（2）请做：题组层级快练（七）请做：题组层级快练（七）