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1、11 简谐振动及其描述简谐振动及其描述2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程3 简谐振动的能量简谐振动的能量4 简谐振动的合成简谐振动的合成5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振讨论课之五讨论课之五机械振动机械振动2基本要求基本要求教学基本内容、基本公式教学基本内容、基本公式掌握简谐振动及其特征量（频率、周期、振幅和周相），掌握旋转矢量掌握简谐振动及其特征量（频率、周期、振幅和周相），掌握旋转矢量法。能熟练建立谐振动运动学方程。理解谐振动的能量。熟悉阻尼振动、法。能熟练建立谐振动运动学方程。理解谐振动的能量。熟悉阻尼振动、受迫振动、共振。掌握同方向同频率谐振动的合成。了解同方向
2、不同频受迫振动、共振。掌握同方向同频率谐振动的合成。了解同方向不同频率谐振动的合成，相互垂直的谐振动的合成。了解频谱分析。率谐振动的合成，相互垂直的谐振动的合成。了解频谱分析。1. 振动、振动、简谐振动简谐振动任何物理量在某值附近变化都称任何物理量在某值附近变化都称振动振动。简谐振动简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移：物体运动时，离开平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或或正弦正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。)cos(0tAx简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相位）简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相位）振幅振幅 A周期周期T 和频率和频率 2TT1
3、相位相位)(0t初相位初相位03xxmka20dd222xtx谐振动微分方程谐振动微分方程 该方程的通解可写为：该方程的通解可写为：)cos(0tAxmkA和和 0由初始条件由初始条件确定确定22020vxA000 tan xv动力学分析：动力学分析：物体所受的力物体所受的力F跟位移跟位移x正比反向，物体作谐振动。正比反向，物体作谐振动。 ,2xxmka,kxF物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐振动。物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐振动。 固有固有( (圆圆) )频率，频率，由系统内在性质所决定。由系统内在性质所决定。42. 简谐简谐振动的能量振动的能量 (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振
4、子为例) 动能动能)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEP势能势能系统总的机械能：系统总的机械能：221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒3. 简谐振动的合成简谐振动的合成(1)(1)两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成合振动合振动仍是简谐振动仍是简谐振动, ,其频率与分振动的频率相同。其频率与分振动的频率相同。 )cos(21020212221AAAAA)cos(),cos(20221011tAxtAx)cos(021tAxxx若两分振动同相若两分振动同相 20 10 = 2k ( k = 0,1,2, )则则A=A1+A2
5、 , 两分振动相互加强两分振动相互加强若两分振动反相若两分振动反相 20 10 = (2k+1) ( k = 0,1,2, )则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱5(2)(2)同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 1和和 2很接近，很接近，合成产生合成产生拍现象。拍现象。12拍频拍频: : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数(3)(3)两个同频率相互垂直的两个同频率相互垂直的简谐振动的合成简谐振动的合成合运动一般一个椭圆。合运动一般一个椭圆。 (4)(4)方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方
6、向垂直的不同频率的简谐振动的合成两振动的频率成整数比，两振动的频率成整数比，合运动轨迹称为李萨如图形。合运动轨迹称为李萨如图形。)cos(),cos(02220111tAxtAx两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：)2cos()2cos(201212ttAx6两个同频率相互垂直的两个同频率相互垂直的简谐振动的合成的简谐振动的合成的几种特殊情况几种特殊情况10200243452347474. 阻尼振动阻尼振动1)运动方程运动方程kxF （胡克定律）（胡克定律）恢复力恢复力 阻尼力阻尼力 txvFxxdd 阻阻阻尼振动阻尼振动振幅振幅(或能量或能量)随时间不断减少的振动随时间不断减少的振动.能
7、量减少的原因能量减少的原因: 摩擦阻尼和辐射阻尼摩擦阻尼和辐射阻尼. 为方便，均为方便，均视为摩擦阻尼视为摩擦阻尼txkxtxmdddd22 mk 20 m2 0为固有频率为固有频率, 令令 为阻尼因数为阻尼因数 0dd2dd2022 xtxtx 8220 2.) 运动学特征运动学特征 0 )cos(e tAxt(1)欠阻尼振动欠阻尼振动其解：其解：其中：其中：tA e)cos( t振幅随时间衰减振幅随时间衰减 周期振动周期振动 阻尼越小，越接近谐振动阻尼越小，越接近谐振动阻尼越大，阻尼越大，“周期周期”越长越长22022 T准周期准周期 txoA0 9 c1、c2是由初始条件定的常数是由初始
8、条件定的常数. (2) 过阻尼状态（阻尼大）过阻尼状态（阻尼大）0 ttccx)(2)(1202202ee 其解：其解： 此时物体不再作振动，以非周期运动的方式慢此时物体不再作振动，以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置，如弹簧振子放入粘性大的油中慢回到平衡位置，如弹簧振子放入粘性大的油中.具具体运动过程与初速体运动过程与初速v0有关有关.0dd2dd2022 xtxtx 10 c1、c2亦由初始条件定亦由初始条件定.振动物体从静止开始运动振动物体从静止开始运动回复到平衡位置时最短回复到平衡位置时最短.(3) 临界阻尼状态临界阻尼状态 ttccx e)(210 一般解：一般解：过阻尼过阻尼临界阻尼
9、临界阻尼欠阻尼欠阻尼txO115 5 受迫振动受迫振动 受迫振动受迫振动振动系统在周期性外界强迫力作用下振动系统在周期性外界强迫力作用下的振动的振动. （1. ）动力学方程）动力学方程 tFtF cos)(0 设驱动力设驱动力 对弹簧振子对弹簧振子 mFfmmk 020,2, F0为力幅为力幅 tFtxkxtxm cosdddd022 tfxtxtx cosdd2dd02022 得得 令令 12在小阻尼情况，通解为：在小阻尼情况，通解为：)cos()cos(e0 tAtAxt2）受迫振动的运动特征）受迫振动的运动特征 经一段时间经一段时间,振子达稳定振动状态振子达稳定振动状态,其特点：其特点：
10、为纯阻尼振动为纯阻尼振动t此项为零此项为零 不随不随 t 衰减衰减, 稳态解稳态解 (1) 频率与驱动力频率相同频率与驱动力频率相同. (2) 并非决定于初始条件，是稳定振动的位移与驱并非决定于初始条件，是稳定振动的位移与驱动力的相位差动力的相位差.2202tan 13222220004 ）（fA(3) A0由固有参量决定由固有参量决定 tx（3）共振）共振 位移共振位移共振振动系统受迫振动时振动系统受迫振动时,其振幅达极大值的现象其振幅达极大值的现象.A0 0Or0dd0 A220r2 由由 得共振频率得共振频率 (位移共振条件位移共振条件 ) 共振时位移与驱动力的相位差共振时位移与驱动力的
11、相位差 220r2tan 14速度共振速度共振（速度振幅最大）（速度振幅最大）.0 速度共振条件速度共振条件 v0=A0 O0=不同物理量有不同的共振条件不同物理量有不同的共振条件. = 2151. 一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位置向当它由平衡位置向x轴正方向运轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为间为 (A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4 x02A3/旋转矢量法旋转矢量法首先画出二分之一最大位移处首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图，旋转
12、矢量图，然后，再画然后，再画最大位移处最大位移处旋转矢量旋转矢量图。图。设所求的时间为设所求的时间为 t，则有，则有3tT26Tt C162. 如图所示，质量为如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为的物体，由劲度系数为k1和和k2的两个轻弹簧的两个轻弹簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 m k1 k2 (A) (B) (C) (D) mkk212mkk2121212121kmkkk )(212121kkmkk D 21111kkk2121kkkkkmk2T)(2112121kkmkkT173 将以弹簧振子的弹簧剪掉一半
13、，其振动周期变为（A） 原来的一半原来的一半 （B）原来的一倍）原来的一倍 （C) 原来的原来的 倍倍 （D）原来的）原来的 倍倍21/ 2k1k2k2121kkkkkD12=22mmTkk112= 2kkkk184. 一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) /6 (B) 5 /6 (C) -5 /6 (D) - /6 (E) -2 /3 v (m/s)t (s)Ovmmv21答案：答案：(C) 参考解答：参考解答：令简谐振动的表达式：令简谐振动
14、的表达式： )cos(tAx对对 t 求导数得速度表达式：求导数得速度表达式： )sin()sin(ttAmvvAmv.sin, 00mtvv在本题中，在本题中， ,2, 00mtvv .21sin.61,65),cos(ddttmvv,cosdd0mvvtt考虑考虑 0dd0ttv即即 , 0cos.65195. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的其动能是总能量的_（设平衡位置处势能为零）当这物块在平（设平衡位置处势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长衡位置时，弹簧的长度比原
15、长长 l，这一振动系统的周期为，这一振动系统的周期为_ 3/4，gl /2m0llxxo弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置伸伸 长长平衡位置平衡位置k位移等于振幅的一半时位移等于振幅的一半时)(sin21022tkAEk，得)cos(tAx21)cos(t3)(t43212kA221kAEEEpk总代入2Ax mglkmkglT22lmgk/20例题例题2 弹簧振子如图所示弹簧振子如图所示,弹簧原长弹簧原长L，质量，质量ms，劲度，劲度系数系数k，振子质量，振子质量m，计算弹簧振子系统的固有频率，计算弹簧振子系统的固有频率.mxOldl解解 以弹簧子自由伸长处为原以弹簧子
16、自由伸长处为原点建立坐标点建立坐标Ox，距弹簧固定端，距弹簧固定端l 处取一元段处取一元段d l.振子发生位移振子发生位移x, 则则dl 段的动能段的动能lxlLmxLlllmEd21)(d(21d223s2sk 2s0223s0k)3(21d21dxmlxlLmEELLk 2k21xmE s31mm 等效质量等效质量21mmm T弹簧振子系统的总质量弹簧振子系统的总质量3sT0mmkmk 系统的固有频率系统的固有频率对吗？对吗？( )lx lxL假设假设是否合理？是否合理？mxOldl226. 图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦
17、函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为的合成结果，则合振动的方程为x = x1+ x2 = _(SI) x (m)t (s)Ox1x2120.08-0.04设：设：)cos(),cos(222111tAxtAx04. 0,08. 0,221AAT, 0, 01xt, 0dd00ttxv.2, 0cos11.2, 0sin11同理：同理：, 0, 02xt.2, 0cos22, 0dd00ttxv.2, 0sin22)2cos(04. 0),2cos(08. 021txtx0 x1A2AA)2cos(04. 0tx237. 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱分别敲
18、击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱的拍音若测得在的拍音若测得在20 s内拍的次数为内拍的次数为180次，标准音叉的频率为次，标准音叉的频率为300 Hz，则待测音叉的频率为则待测音叉的频率为_12拍频拍频: : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数Hz3001设992112，或者则有：Hz291Hz30922，或者248. 一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点时作为计时起点点( t = 0 )，经过，经过2秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经过秒后质
19、点第二次经过B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求：求：(1) 质点的振动方程；质点的振动方程；(2) 质点在质点在A点处的速率点处的速率 ABx解：解：，做旋转矢量图，做旋转矢量图由由BvvAx0ABAvBv0tst2st4可知可知42, 42TT(1) 以的中点为坐标原点，以的中点为坐标原点，x 轴指向右方轴指向右方 t = 0时，时， coscm5Ax t = 2s时，时， sin)2cos(cm5AAx由上二式解得由上二式解得 1tan因为在因为在A点质点的速度大于零，所以点质点的速度大于零，所以（如图）（如图）
20、或或4543)cos(tAx)sin(tAvBvvAA和和B所对应的旋转所对应的旋转矢量在同一直线上。矢量在同一直线上。Bv258. 一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点时作为计时起点点( t = 0 )，经过，经过2秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且 AB = 10 cm求：求：(1) 质点的振动方程；质点的振动方程；(2) 质点在质点在A点处的速率点处的速率 ABx解
21、：解：x0ABAvBv0tst2st4443Bv t = 0时，时， coscm5Axcm25)4/3cos(5A 振动方程振动方程 (SI)434cos(10252tx (2) 速率速率 )434sin(41025dd2ttxv当当t = 0 时，质点在时，质点在A点点 m/s1093. 3)43sin(10425dd22txv26单摆周期的研究单摆周期的研究: （1）单摆悬挂于以加速度）单摆悬挂于以加速度a 上升的电上升的电梯内；（梯内；（2） 单摆悬挂于以加速度单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电）下降的电梯内梯内; (3)单摆悬挂于以加速度单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的沿水
22、平方向直线行驶的车厢内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为车厢内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.279如图如图1所示，一定滑轮的半径为所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为，转动惯量为I，其上挂一轻绳，绳，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示设弹簧的劲度系数为示设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力现将物体气阻力现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角
23、频率谐振动，并求出其角频率 m 图 1 解：取如图解：取如图x坐标，平衡位置为原点坐标，平衡位置为原点O，向下为正，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长在平衡位置时弹簧已伸长x0 ) 1 (0kxmg 设设m在在x位置，分析受力位置，分析受力, 这时弹簧伸长这时弹簧伸长 0 xx )2()(02xxkT由牛顿第二定律和转动定律列方程：由牛顿第二定律和转动定律列方程： )3(1maTmg)4(21IRTRT)5(Ra 0 xx0mg1T1T2T联立解得联立解得 mRIkxa)/(2由于由于x系数为一负常系数为一负常数，故物体做简谐振数，故物体做简谐振动，其角频率为动，其角频率为 222)/(mRI
24、kRmRIk28劲度系数为劲度系数为k、质量为质量为m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，在光滑水平面内作直线运动。求其动力学方程。的物体，在光滑水平面内作直线运动。求其动力学方程。系统机械能系统机械能系统机械能守恒，有系统机械能守恒，有22111()232Mmkx常量v0dd)3(kxtmMv03dd22xmMktx222111()232EMmkxv将能量守恒式对将能量守恒式对t 求导求导MxO292222xyEty 纵波的波动方程纵波的波动方程 2222xyGty 横波的波动方程横波的波动方程 2222xyFtylT 柔软弦中的横波柔软弦中的横波 302222xyEty 纵波的波动方程纵波的波动方程 YSE边界条件边界条件MxO31要满足X(0)=032tan()/mMk mk m202111tan()33/k/M 1/13k MmM近似解：/tan( /)/k mk mm M严格解满足：