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1、专题：图形变换中的探究型问题1. 问题情境：小明将两个全等的RtABC和RtDEF重叠在一起，其中ACBDFE90，ABCDEF30，AC1.固定DEF不动，将ABC沿直线ED向左平移，当B与D重合时停止移动猜想证明：(1)如图，在平移过程中，当点D为AB中点时，连接DC，CF，BF，请你猜想四边形CDBF的形状，并证明你的结论；(2)如图，在平移过程中，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积；探索发现：(3)在平移过程中，四边形CDBF有什么共同特征？(写出两个即可)_，_；(4)请你提出一个与ABC平移过程有关的新的数学问题(不必证明和解
2、答)2. 问题情境勤奋小组在一次数学活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，如图、，ACB90，AC6，BC8，DEF90，DE3，EF4.如图，勤奋小组将DEF的直角边DE与ABC的斜边AB重合在一起，使点B与点E重合，发现BCDF.独立探究(1)请你证明勤奋小组发现的结论；合作交流(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究，如图，在图的基础上，将DEF沿BA方向平移，设DF、EF分别与边BC交于点G、H，发现当DEF位于某一位置时点H恰好在DF的垂直平分线上请你求出此时BE的长；探索发现如图，在图的基础上，将DEF沿BA方向平移，当点D到达A处时，停止平移(3)在平移过程中，当FGHBEH时，
3、求GH的值；(4)在平移过程中，当GH为何值时，点D位于ABC某一边的垂直平分线上，任选一边，直接写出此时GH的值3. 问题情境在综合实践课上，老师让同学们以“全等等腰直角三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动已知两张全等的等腰直角三角形纸片ABC和DEF，ACBDFE90，ACBCDFEF12 cm.操作发现(1)如图，点F在边AB的中点M处，ABDE，将DEF沿射线AB方向平移a cm，则当a_cm时，四边形CAFD是菱形，菱形CAFD的面积为_cm2.(2)如图，勤奋小组将图中的DEF以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，DF交BC于点G，EF交AC于点H，发现CGHA，请你证明
4、这个结论实践探究(3)请你参照以上小组的操作过程，将图中的DEF在同一平面内进行平移或旋转变换，在图中画出变换后的图形，标明字母，说明变换方法，并结合图形提出一个问题，不必解答4. 综合与实践在RtABC中，ACB90，点D为斜边AB上的动点(不与点A，B重合)(1)操作发现：如图，当ACBC6时，把线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，连接DE，BE.CBE的度数为_；当BE_时，四边形CDBE为正方形；(2)探究证明：如图，当BC2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90后并延长为原来的两倍，记为线段CE，连接DE，BE.在点D的运动过程中，请判断CBE与A的大小关系，并证明；当CDAB
5、时，求证：四边形CDBE为矩形；(3)拓展延伸：在(2)的探究条件下，当BC6时，在点D运动过程中，请在图中画出DEBC时的CDE，并直接写出此时四边形CDBE的面积5. 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，如图，矩形ABCD中，AB4，BC3.操作发现(1)将图中的矩形ABCD绕点A逆时针旋转角，使DAB，得到如图所示的矩形ABCD，分别连接DD，BB，则DD与BB的位置关系是_；(2)创新小组将图中的矩形ABCD绕点A逆时针旋转角，使点B恰好落在DC边上，得到如图所示的矩形ABCD，连接DD，BB并延长，延长线交于点P，发现BDP是直角三角形，请你证明
6、这个结论；实践探究(3)勤奋小组将图的矩形ABCD绕点A逆时针旋转角(90，连接DD，BB，你能从中得到什么结论，请直接写出，无需作答4. 问题情境在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动如图，现有矩形纸片ABCD，AB4 cm，AD3 cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到ABD和BCE.保持ABD位置不变，将BCE从图的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为(0360)操作发现(1)在BCE旋转过程中，连接AE，AC，则当0时，的值是_；(2)如图，将图中的BCE旋转，当点E落在BA延长线上时停止旋转，求出此时的值；实践探究(3)如图，将图中的B
7、CE继续旋转，当ACAE时停止旋转，直接写出此时的度数，并求出AEC的面积；(4)将图中的BCE继续旋转，则在某一时刻AC和AE还能相等吗？如果不能，则说明理由；如果能，请在图中画出此时的BCE，连接AC，AE，并直接写出AEC的面积值5. 如图，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，ABC90，ABBC.过点A作ADl于点D.过点B作BEl于点E.观察发现：(1)如图，当A，B两点均在直线l的上方时猜测线段AD，CE与BE的数量关系，并说明理由；直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：(2)将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图位置时，线段DC，AD与BE又有怎样
8、的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：(3)将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图位置时，AD与BC交于点H，若CD3，AD9.请直接写出DH的长度；(4)参照上述探究思路，将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续逆时针旋转，当点D与点C重合时，画出图形，找出一对相似三角形，不需要证明2. (11分)综合与实践问题情境在一节数学活动课上，李老师让每个学习小组拿出课前就制作好的RtABC，其中AC5，BC12，ACB90，通过折叠，展开数学活动探究发现(1)“自强”小组将RtABC折叠使点B与点C重合，折痕为DE，如图，他们很快研究出了SADC：SDEC的值. 请你写出计算过程；(
9、2)“奋进”小组将RtABC折叠使点B与点A重合，折痕为DE，如图，有同学认为图、图两种折叠方法折痕DE的长是相等的你同意他的观点吗？请说出你的理由；问题解决(3)“开拓”小组将B沿DE折叠， 使点B落在了点B，且BEAB于点F，如图.当AD8时，试判断以B、D、C、A为顶点的四边形的形状，并说明理由；(4)“创新”学习小组用“开拓”学习小组的折叠方法使点F恰好是边AB的中点除A与B互余外，你还能发现哪些互余的角，写出一组，不需要证明第2题图3. (12分)综合与实践问题背景在一节数学活动课上，张老师把一些宽度均为3 cm的矩形纸条分发给各个小组，要求各小组通过折纸来研究数学问题. 实践操作(
10、1)“明志”小组提出：将纸条按如图的方式折叠，并将重叠部分剪下，得到图中的四边形ABCD，再将四边形ABCD沿MN折叠，使点B落在边AD上的点B处，点C落在点C处，若AB1，则折痕MN的长度是_；(2)“明理”小组在进行了如图的折叠后，把得到的四边形向右折叠了两次，如图所示将重叠部分剪下得到如图的四边形EFGH，然后将四边形EFGH沿PQ折叠，使点G恰好落在边EH上的点G处；若测得PQG30，请求出四边形QPHG的面积；(3)“明德”小组用与“明理”小组同样的方法得到四边形EFGH，如图，然后将四边形EFGH沿IJ折叠，使点G与点E重合，点H落在了点H处请判断四边形EJGI的形状，并说明理由；
11、拓展创新(4)在图中，由折叠的性质可以知EHGH3 cm，那么能否求出四边形EJIH其他边的长度呢？若能，直接写出一条边的长度，若不能，请说明理由第3题图1. 解：(1)菱形；(1分)证明：由平移得CFAD，CFAD，(2分)点D为AB的中点，ADBD，CFBD，(3分)又CFAD，CFBD，四边形CDBF是平行四边形(4分)在RtACB中，CD为边AB的中线，CDDB，(5分)四边形CDBF是菱形；(6分)(2)四边形CDBF的面积是定值(7分)如解图， 过点C作CGAB于点G，在RtAGC中，sin60，AC1，CG.(8分)AB2，S四边形CDBF(CFDB)CG(ADDB)CGABCG
12、SABC2；(9分)第1题解图(3)四边形CDBF的对角线互相垂直；四边形CDBF一组对边平行；四边形CDBF面积是一个定值；(11分)(写出两个即可，答案不唯一)(4)(答案不唯一，只要符合要求即可得1分)如：平移过程中，求FDB与CBD的和(12分)2. (1)证明：如解图，设BC与DF相交于点G.ACB90，DEF90，ACBDEF.AC6，DE3，2.BC8，EF4，2，ABCDFE，BACFDB，ACDF，DGBACB90，BCDF；(3分)第2题解图(2)解：如解图，连接DH，设HEx，则FH4x，BC垂直平分DF，DHFH4x，在RtDEH中，由勾股定理得x232(4x)2，解得
13、x，EH，HEBC90，BB，BEHBCA，BE；(6分)第2题解图(3)解：设GHy，在DEF中，由勾股定理得DF5，由(1)可知BCDF，DEFHGF，即 ，HF，EH4，当FGHBEH时，GHEH，即y4，解得y，GH；(9分)(4)解：选AB边，此时GH.(12分)【解法提示】在RtABC中，AC6，BC8，由勾股定理得AB10.当点D位于AB的垂直平分线上时，即点D是AB的中点，BDAB5，DE3，BE2，易证ABCHBE，即，HE，FHEFHE4，由(3)可知DEFHGF，即，GH.类型三图形旋转型跟踪训练1. (1)解：126；72；(4分)【解法提示】当四边形CAFD是菱形时，
14、ACAF12，在RtABC中，由勾股定理得AB12，M为AB中点，AM6，a(126)cm；如解图，设EF与AC交于点N，易求得NF6，S菱形CAFDACNF12672cm2.第1题解图(2)证明：如解图，连接CF，M是AB中点，点F与M重合，ABC是等腰直角三角形，CFAB，AFCG45，AFCF，AFCEFD90，AFHHFCHFCCFG90，即AFHCFG，在AFH和CFG中，AFHCFG，CGHA；(8分)第1题解图(3)解：变换过程：如解图，将DEF绕点F逆时针旋转，连接DC、AE，CF，当C、A、E三点共线且点A位于C、E之间时，求线段AE的长(12分)第1题解图【解法提示】易证D
15、CAE，设DCAEx，则CE12x，在RtCDE中，由勾股定理得DE2CD2CE2，即122122x2(12x)2，解得x66(负值已舍去)，此时AE的长为(66)cm.2. (1)解：45；(2分)【解法提示】ACBDCE90，ACDDCBDCBBCE，ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，CBECAD45.解：3；(4分)【解法提示】当四边形CDBE为正方形时，CDB90，BECDBC3.(2)解：CBEA，证明如下：如解图，BC2AC，CE2CD，又ACBDCE90，ACDDCBDCBBCE，ACDBCE，ACDBCE，CBEA；第2题解图证明：由(2)得CBEA，DBEDBC
16、CBEDBCA90，CDAB，CDB90，又DCE90，四边形CDBE是矩形；(8分)(3)解：画出图形如解图，四边形CDBE的面积为.(12分)【解法提示】BC6，AC3，在RtABC中，由勾股定理得AB3，如解图，设DE与BC交于点F，由(2)可知CBEA，易证ACBDCE，ACDE，DEBC，DCE90，易得ECBCDE，由(2)可得ACBE，ACDEECBCBE，ECEB，又DEBC，点F为BC的中点，DF为ABC中位线，CDAB，ACBDCE，即，解得DE，S四边形CDBESCDBSCEBBCDFBCEFBC(DFEF)BCDE6.第2题解图3. (1)解：DDBB；(3分)【解法提
17、示】如解图，延长DD交BB于点E.四边形ABCD是矩形，DAB90，由旋转知，DADBAB90，ADAD，ABAB，DADBAB180，ADD45，ABB45，D、A、B三点在同一条直线上ADDABB454590，DEB90，DDBB.第3题解图(2)证明：由旋转知，ABAB，ADAD，BABDAD，ABB，ADD.ABBADD.第3题解图ADC90，ADDCDP90.ABC90，ABBPBC90，CDPPBC.如解图，设DP与BC相交于点Q，CQDBQP，BPDC90，BDP是直角三角形；(7分)(3)解：；(10分)【解法提示】由(2)知，BPD90，如解图，设BB与CD交于点F，DFP是
18、直角三角形B在AB的垂直平分线上，ABBB.又ABAB，ABABBB4，ABB是等边三角形，ABB60，CBF30.在RtBCF中，CFBCtanCBF3tan30，BF2，DFCDCF4，BFBBBF42.CBFCFB90，CFB903060，DFPCFB60.在RtDFP中，PFDFcosDFP(4)cos60，PBPFBF(42).第3题解图(4)解：结论：ADDABB.(答案不唯一，合理即可)(12分)第3题解图【解法提示】如解图，由旋转知，ADAD3，ABAB4，BADBAD90，DADBAB，ADDABB.4. 解：(1)；(2分)【解法提示】如解图，连接AC，在矩形ABCD中，A
19、B4 cm，AD3 cm，ACBD5 cm，AEAD3 cm，.第4题解图(2)如解图，过点C作CFAB于点F，(3分)图中四边形ABCD是矩形，AB4，AD3，BDBE5.sinFBCsinEBC，cosFBCcosEBC.在RtBFC中，BFBCcosFBC3，FCBCsinFBC3，(4分)AFABBF4.在RtAFC中，AC.(5分)AEBEAB541.；(6分)第4题解图(3)的度数为60.(7分)如解图，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AHBC的延长线于点H，GCH180ECB1809090.ACAE，AGEC.AGCGCHAHC90.四边形AGCH是矩形GCAHEC42(cm
20、)在RtABH中，AH2 cm，AB4 cm，BH2(cm)，(9分)ABH30，则903060.AGCHBHBC(23)cm.SAECECAG4(23)(46)cm2；(10分)第4题解图(4)AC和AE还能相等，BCE位置如解图所示；(11分)第4题解图SAEC(46) cm2.(12分)【解法提示】如解图，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AHCB的延长线于点H.ACAE，AGEC.AGCGCHAHC90.四边形AGCH是矩形GCAHEC42.在RtABH中，BH2，AGCHBHBC23.SAECECAG4(23)(46)cm2.第4题解图5. 解：(1)ADCEBE.(1分)理由如下
21、：如解图，过点B作BFAD.交DA的延长线于点F.第5题解图BEl，BFAD，BECF90.又ADl.FDE90.四边形DEBF为矩形(2分)FBE90.又ABC90，ABCABEFBEABE，即CBEABF.在CBE和ABF中，CBEABF.CEAF，BEBF.又四边形DEBF为矩形，四边形DEBF为正方形，BEDEFDFB.ADCEADAFFDBE；(4分)DCAD2BE；(5分)【解法提示】由可得BFBE，易得四边形DEBF是正方形，BEDFDEAFAD.又CEAF，BECEAD.DCDECEBECE，DCADADDECEADBECEBEBE2BE.(2)CDAD2BE.(6分)证明：如
22、解图，过点B作BGAD，交AD延长线于点G.第5题解图BEl，BGAD，BEDG90.又ADl，GDE90.四边形DEBG为矩形GBE90.又ABC90，ABCABEGBEABE.即CBEABG.在BCE和BAG中，BCEBAG.(9分)CEAG，BEBG.又四边形DEBG为矩形，四边形DEBG为正方形，DEBEBGDG.CDCEDE.CDAGBEADDGBEAD2BE.CDAD2BE；(10分)(3)DH的长度为；(11分)【解法提示】如解图，过点B作BFAD，交DA于点F.同理可证，BAFBCE.四边形DEBF为正方形CEAF，EDBEDF.CDCEED.CDAFBEADDFBEAD2BE
23、.ADCD2BE.CD3，AD9.BEED3，CECDED6.DHEB，.DH.第5题解图(4)(答案不唯一)画出图形如解图，连接AE交BC于点F，则：BECABC，BFECFA.(13分)第5题解图【解法提示】ABAC，ABC90，BCA45，ADl，点C、D重合，ECB904545，又BEl，BECABC90，BECABC；ADl，BEl，BFECFA.6. 解：(1)在RtABC中，BAC90，BC10.(1分)由折叠知：DE垂直平分AC，CEAE，DECDEA90.ADEC90.DEAB.1.(2分)DCBDBC5；(3分)(2)MFME.证明：如解图，连接DM.第6题解图由(1)得D
24、ECDEA90.由旋转知：DFGDEC90，DFDE.(4分)在RtDFM和RtDEM中，RtDFMRtDEM(HL)MFME；(5分)(3)如解图，连接DM.第6题解图由(2)得RtDFMRtDEM，12.FGBC，1MDC.(6分)2MDC.CMCD.(7分)CD5，CM5.AMACCM853；(8分)；(10分)【解法提示】如解图，当GF经过点B时，连接DM，由(2)易得BMDCMD.点D是BC的中点，BMC是等腰三角形MDBC，则CMDCBA.，即.CM10.AMACCM8.第6题解图如解图，DFG和射线GF为所求作的图形此时AM103.(13分)第6题解图【作法提示】先作EDC的平分
25、线，截取DGCD；再作FDGEDC，截取DFDE，连接GF并延长，则DFG和射线GF即为所求【解法提示】如解图，过点P作PHCD于点H，根据作图可知PEPH，CPHCDE，.由(1)知CD5，CE4，DE3.则CPPH.CEPECP，4PHPH.解得PH.则CP，CH2，DHDCCH3.在RtDPH中，DP.PGDGDP.又MGPDCP，则，解得MP.AMACMPCP8103.第6题解图类型四图形折叠型1. 解：(1)67.5，；(4分)【解法提示】四边形ABCD是正方形，BBCDDBAD90，ABAD.正方形ABCD折叠使得点B，D都在对角线AC上的点N处，BCEECNNCFDCFBCD22
26、.5，BECCEN67.5；AEN1802BEC45.AC是正方形ABCD的对角线，EAN45，AEN是等腰直角三角形，由折叠可知BEEN，.(2)四边形EMGF是矩形(5分)理由如下：如解图，四边形ABCD是正方形，BBCDD90.由折叠可知1234，CMCG，BECNECNFCDFC，123422.5.BECNECNFCDFC67.5.由折叠可知MH，GH分别垂直平分EC，FC，MCME，GCGF.5122.5，6422.5.MEFGFE90.(7分)MCG90，CMCG，CMG45.又BME1545，EMG180CMGBME90.(8分)四边形EMGF是矩形；(9分)第1题解图(3)画出
27、菱形如解图；第1题解图(答案不唯一，画出一个即可)(10分)菱形FGCH(或菱形EMCH)(11分)2. 解：(1)将RtABC折叠使点B与点C重合，折痕为DE，DE垂直平分线段BC，即DE为RtABC的中位线，DEAC，ADC边AC上的高与DEC边DE上的高相等，SADCSDEC；(3分)(2)不同意；理由如下：图中，DEAC，图中，易证BDEBCA，在RtABC中，由勾股定理得AB13，由折叠可知DE垂直平分AB，BDAB，解得DE，即图、图两种折叠方法折痕DE的长是不相等的；(6分)(3)平行四边形；理由如下：如解图，延长BD交BC于点G，BEAB，BFDBFE90，BBEF90，由折叠
28、可知BDBE，BDBD1385，DBEBEF90BGE90，即BGBC，BGAC，又BDAC5，以B、D、C、A为顶点的四边形是平行四边形；(10分)第2题解图(4)(答案不唯一)B与BDF互余(B与BEF互余)(12分)证明：如解图，由折叠性质可知，BB，又BEAB，DFB90，BBDF90，BBDF90，即B与BDF互余第2题解图3. 解：(1) cm；(3分)【解法提示】解法一：将矩形纸条按如题图的方式折叠，得到的四边形ABCD是正方形，ABAD3, ABDC90，根据折叠的性质，可设MBMBx，且MBCB90，则AM3x，A90，根据勾股定理得AM2AB2MB2，即(3x)21x2，解
29、得x，AM3x，MBCA90，AMBABM90，ABMDBC90，AMBDBC，ABMDEB，即，解得DE，利用勾股定理得BE，ECBCBEBCBE，又DC90，BEDCEN，DBECNE，解得CNCN，如解图，过点N作NQAB交AB于点Q，则四边形QBCN是矩形，NQ3，MQBMBQBMCN1 , MN cm；解法二：将矩形纸条按题图的方式折叠，得到的四边形ABCD是正方形，如解图，连接BB，过点N作NQAB交AB于点Q, NQADAB3 cm.由折叠的性质可知，折痕MN是线段BB的垂直平分线，ABBQMN90，A90， ABBABB90，ABBQMN，又AMQN90， ABNQ，ABBQN
30、M(AAS)，MNBB cm.第3题解图(2)将矩形纸条按题图的方式折叠，得到的四边形EFGH是矩形，且HGEF3，PQG30，且折叠后点G恰好落在边EH上的点G处，GPQGPQ903060， PGPG, PGQG90，GPH180GPQGPQ60，HGP90GPH30，PGPG2HP，(4分)HPPG3，3HP3，HP1，PGPG2，在RtHGP中，HG.PQG30，G90，PQ2PG4，在RtPGQ中，GQ2.(5分)S四边形QPHGSHGPSPGQ cm2；(7分)(3)四边形EJGI是菱形(8分)理由如下：如解图，连接IG，由折叠可知点E，点G关于折痕IJ对称，IEIG，JEJG，EJ
31、IGJI，EHFG，GJIEIJ，EIJEJI，JEIE，IEIGJEJG，四边形EJGI是菱形；(10分)第3题解图(4)EJ cm；(12分)，【解法提示】已知FG3EF6，EF3，设EJx，FJ6x，在RtEFJ中，根据勾股定理得EJ2EF2FJ2，即x232(6x)2，解得x，即EJ cm.HI cm；(12分)【解法提示】如解图，由折叠的性质得，EIIG，HIHI，HG90，设HIx，则EI6x，在RtEHI中，由勾股定理得EI2HI2HE2，即(6x)2x232，解得x，即HI cm.IJ cm.(12分)【解法提示】如解图，过点I作IMFG，垂足为点M.由知FJ，EI，则JMEIFJ，在RtIJM中，由勾股定理得IJ (cm)第3题解图