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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二章第二章 平面向量平面向量 第三节第三节 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示第二课时第二课时 平面向量的正交分解及坐标表平面向量的正交分解及坐标表示示我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思考思考：给定平面内任意两个向量：给定平面内任意两个向量e1，e2，请你作出向量，请你作出向量3e12e2、e12e2平面内的任一向量是否都可以用形如平
2、面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示呢？的向量表示呢？我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，是同一平面内两个不共线的向量，a是这是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与与e1、e2之之间的关系间的关系e1e2a我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物CaAe1e1e2aONMBe2NM即即a=1e1+2
3、e2由图可知，由图可知，OC=OM+ON=1OA+2OB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1、2，使，使a=1e1+2e2我们把不共线的向量我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所有向量的一组有向量的一组基底基底（base）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，
4、为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示关于向量的夹角，规定：角来表示关于向量的夹角，规定：OabBA当当=0时，时，a与与b同向；当同向；当=180时，时，a与与b反反向如果向如果a与与b的夹角是的夹角是90，我们说，我们说a与与b垂直垂直，记作，记作ab 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b如图，如图，
5、作作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0180）叫做向量）叫做向量a与与b的夹角的夹角我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1已知向量已知向量e1、e2，求作向量，求作向量- -2.5e1+3e2.e1e23e2- -2.5e1OABC2.作平行四边形作平行四边形AOBC作法作法:1.如图，任取一点如图，任取一点O，作，作OA=- -2.5e1，OB=3e2OC就是求作的向量就是求作的向量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的
6、猜测没有错：表里边有一个活的生物MOCNa（1）一组平面向量的基底有多少对？）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）（有无数对）思考思考EFANBMaOCMEN我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物MOCNaEF（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数）若基底选取不同，则表示同一向量的实数1、2是否相同？是否相同？ （可以不同，也可以相同）（可以不同，也可以相同）ABOC=OF+OE OC=2OA+OE OC=2OB+ON NE我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽
7、的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特别的，若特别的，若a=0，则有且只有：，则有且只有：1=2=0可使可使 0=1e1+2e2若若1与与2中只中只有一个为零，情况有一个为零，情况会是怎样？会是怎样？特别的，若特别的，若a与与e1（e2）共线，则有）共线，则有2=0（1=0），使得：），使得：a=1e1+2e2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如图，光滑斜面上一个木块受到重力如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面
8、的力生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2也也就是说，重力就是说，重力G的效果等价于的效果等价于F1和和F2的合力的效果，即的合力的效果，即G=F1+F2G=F1+F2叫做把重力叫做把重力G分解分解类似地，由平面向量的类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意基本定理，对平面上的任意向量向量a，均可以分解为不共线，均可以分解为不共线的两个向量的两个向量1a1和和2a2，使，使a=1a1+2a2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实
9、我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量向量正交分解正交分解如图，重力如图，重力G沿互相垂直的两个方向沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解分解就是正交分解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如图，在平面直角坐标系中，分别取与如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴轴方向相同的两个单位向量方向相同的两个单位向量i、j作为基底
10、对于平面内的作为基底对于平面内的一个向量一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数实数x、y，使得，使得a=xi+yjOxyija我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物a=（x，y），其中其中x叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做a在在y轴上的坐轴上的坐标，标，式叫做式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示显然，显然，i=（1，0），），j=（0，1），），0=（0，0）这样，平面内的任一向量这样，平面内的任一向量a都可由都可由x、y唯一确定
11、，唯一确定，我们把有序数对（我们把有序数对（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作Oxyija我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如图，在直角坐标平面中，以原点如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位置由向量的位置由向量a唯一确定唯一确定Oxyijaaxy设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标（的坐标（x，y）就是终）就是终点点A的坐标；反过来，终点的坐标；反过来，终点A的坐标（的坐标（x，y）也就是向）也就是向量量OA的坐标因此，在平的坐
12、标因此，在平面直角坐标系内，每一个面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序平面向量都可以用一有序数对唯一表示数对唯一表示我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物daxiOyj1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -112345-1-2-3-3-4-5AA1A2cb解：由图可知，解：由图可知，同理，同理，例例2如图，分别用基底如图，分别用基底i、j表示向量表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标并求出它们的坐标a=AA1+AA2=2i+3j， a=（2，3）b=- -2i+3j=（- -2，3
13、）；）；c=- -2i- -3j=（- -2，- -3）；）；d=2i- -3j=（2，- -3）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练习练习请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来表示出来ANMCDB已知梯形已知梯形ABCD，AB/CD，且，且AB= 2DC，M、N分分别是别是DC，AB的中点的中点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ANMCDB解析：设解析：设AB=e1，AD=e2，则有：，则有：DC= AB = e11212BC=BD+DC=(AD- -AB)+DC=(e2- -e1)+ e1=- - e1+e21212MN=DN- -DM=(AN- -AD)- - DC12= e1- -e2- - e1 1214= e1- -e2 14我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物